1、工程硕士(GCT)数学-24 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)1.一种货币贬值 15%，一年后又增值( )才能保持原币值。A15.25% B16.78% C17.17% D17.65%（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 a0，cb0，则有( )。（分数：4.00）A.B.C.D.3.解方程 （分数：4.00）A.B.C.D.4.已知 a1，b0，则不等式 的解集是( )。（分数：4.00）A.B.C.D.5.已知数列 an的前 n 项和 Sn=4n2+n，那么下面正确的是( )。Aa n是等差数列 Ba n=2 Ca n=2n+3 DS 10=411（分数：4.00
2、）A.B.C.D.6.在 （分数：4.00）A.B.C.D.7.在一对事件 A，B 中，若事件 A 是必然事件，事件 B 是不可能事件，那么事件 A 和事件 B( )。A是互斥事件，但不是对立事件 B是对立事件，但不是互斥事件C是互斥事件，也是对立事件 D既不是对立事件，也不是互斥事件（分数：4.00）A.B.C.D.8.已知函数 那么函数 y=y1+y2的振幅 A 的值是( )。（分数：4.00）A.B.C.D.9.在ABC 中，A 为锐角， （分数：4.00）A.B.C.D.10.正四棱锥 S-ABCD 中，已知侧棱长等于底面边长，E 是 SA 的中点，则异面直线 BE 与 SC 所成角的
3、余弦值等于( )。（分数：4.00）A.B.C.D.11.已知过球面上三点 A、B、C 的截面与球心距离等于球半径的一半，且 AB=BC=CA=2，则球的半径等于( )。（分数：4.00）A.B.C.D.12.若ABC 的两个顶点 B、C 的坐标分别是(-1，0)和(2，0)，而顶点 A 在直线 y=x 上移动，则ABC 的重心 G 的轨迹方程是( )。（分数：4.00）A.B.C.D.13.已知 A、B 是抛物线 y2=2px(p0)上的两点，O 是坐标原点，若|OA|=|OB|，且ABO 的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线 AB 的方程是( )。（分数：4.00）A.B.C.D.14.下列极
4、限正确的是( )。（分数：4.00）A.B.C.D.15. （分数：4.00）A.B.C.D.16.设 f(x)、g(x)在 x0处二阶可导，且 f(x0)=g(0)=0，f(x 0)g(x0)0，则( )。Ax 0不是 f(x)g(x)的驻点Bx 0是 f(x)g(x)的驻点，但不是极值点C 0是 f(x)g(x)的驻点，且是它的极小值点D 0是 f(x)g(x)的驻点，且是它的极大值点（分数：4.00）A.B.C.D.17.函数 f(x)在1，2有二阶导数，且 f(1)(2)=0，F(x)=(x-1) 2f(x)，则 F(x)在(1，2)上( )。A没有零点 B至少有一个零点C有两个零点
5、D有且仅有一个零点（分数：4.00）A.B.C.D.18.设函数 f(x)连续，则下列变上限定积分定义的函数中必为偶函数的是( )。（分数：4.00）A.B.C.D.19. （分数：4.00）A.B.C.D.20. （分数：4.00）A.B.C.D.21.设 A、B 为 n 阶对称矩阵，则下面四个结论中不正确的是( )。AA+B 也是对称矩阵 BAB 也是对称矩阵CA m+Bm(m 为正整数)也是对称矩阵 DBA T+ABT也是对称矩阵（分数：4.00）A.B.C.D.22.设 =(1，2，t) T，a 1=(2，1，1) T，a 2=(-1，2，7) T，若 可以由 a1、a 2线性表示，则
6、 t=( )。A-5 B5 C-2 D2（分数：4.00）A.B.C.D.23.已知 1， 2是 Ax=b 的两个不同的解，a 1，a 2是相应齐次方程组 Ax=0 的基础解系，k 1、k 2是任意常数，则 Ax=b 的通解是( )。（分数：4.00）A.B.C.D.24. （分数：4.00）A.B.C.D.25.设 =2 是非奇异矩阵 A 的特征值，则矩阵 有一特征值等于( )。（分数：4.00）A.B.C.D.工程硕士(GCT)数学-24 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)1.一种货币贬值 15%，一年后又增值( )才能保持原币值。A15.25% B16.78% C17.
7、17% D17.65%（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题的解题关键在于理解欲保持原币值，应增值的百分比是贬值后的百分比。由题意，设应增值的百分比为 x，则有(1-15%)(1+x)=1解得 2.设 a0，cb0，则有( )。（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 0，故选 C。另外，根据两个数的差的正负直接验证也是处理本题的一种方法。3.解方程 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 此题应用配方法解。4.已知 a1，b0，则不等式 的解集是( )。（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 5.已知数列 an的前 n 项和 Sn=4n2+n，那么下面正确
8、的是( )。Aa n是等差数列 Ba n=2 Ca n=2n+3 DS 10=411（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由已知，a n=Sn-Sn-1=(4n2+n)-4(n-1)2+(n-1)=8n-3(n2)，且 a1=S1=5，所以a n的通项公式为 an=8n-3(nN)，所以 an+1-an=8 为常数。根据定义知a n为等差数列，故 A 为正确答案。6.在 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 7.在一对事件 A，B 中，若事件 A 是必然事件，事件 B 是不可能事件，那么事件 A 和事件 B( )。A是互斥事件，但不是对立事件 B是对立事件，但不是互斥事件C
9、是互斥事件，也是对立事件 D既不是对立事件，也不是互斥事件（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 一事件发生，另一事件必不发生，或两事件都不发生，为互斥事件，题中互斥事件的前一种情况为对立事件。8.已知函数 那么函数 y=y1+y2的振幅 A 的值是( )。（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 9.在ABC 中，A 为锐角， （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由已知，A 为锐角，10.正四棱锥 S-ABCD 中，已知侧棱长等于底面边长，E 是 SA 的中点，则异面直线 BE 与 SC 所成角的余弦值等于( )。（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 设
10、AC 的中点为 O，连结 OE，则 OESC，故有11.已知过球面上三点 A、B、C 的截面与球心距离等于球半径的一半，且 AB=BC=CA=2，则球的半径等于( )。（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 12.若ABC 的两个顶点 B、C 的坐标分别是(-1，0)和(2，0)，而顶点 A 在直线 y=x 上移动，则ABC 的重心 G 的轨迹方程是( )。（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 设顶点 A 的坐标为(x 0，y 0)，则重心 G(x，y)的坐标为13.已知 A、B 是抛物线 y2=2px(p0)上的两点，O 是坐标原点，若|OA|=|OB|，且ABO 的垂心恰
11、是此抛物线的焦点，则直线 AB 的方程是( )。（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由|OA|=|OB|可得 ABx 轴，设 AB 的方程为|x|=|x 0|，则有14.下列极限正确的是( )。（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 通过直接计算各项的极限值，检验与所给结果是否相符。由于在 D 中，有15. （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由 xnay n得 0a=x ny n-xn。16.设 f(x)、g(x)在 x0处二阶可导，且 f(x0)=g(0)=0，f(x 0)g(x0)0，则( )。Ax 0不是 f(x)g(x)的驻点Bx 0是 f(x)g(x
12、)的驻点，但不是极值点C 0是 f(x)g(x)的驻点，且是它的极小值点D 0是 f(x)g(x)的驻点，且是它的极大值点（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 设 F(x)=f(x)g(x)，则17.函数 f(x)在1，2有二阶导数，且 f(1)(2)=0，F(x)=(x-1) 2f(x)，则 F(x)在(1，2)上( )。A没有零点 B至少有一个零点C有两个零点 D有且仅有一个零点（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 f(x)在1，2上连续，在(1，2)内可导且 f(1)=f(2)，由罗尔定理可得，至少存在一点x0(1，2)，使 F(x0)=2(x0-1)f(x0)+(x
13、0-1)2f(x0)=0。又 F(x)在1，x 0)上满足罗尔定理的条件，所以至少存在一点18.设函数 f(x)连续，则下列变上限定积分定义的函数中必为偶函数的是( )。（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 当 f(x)为奇函数时，19. （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由于-2x-1，-8x 30，所以-x 3x 3，则20. （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 A 与 B 均为 31 矩阵，故 BTA 是 11 矩阵，即是一个数，故应排除 D。21.设 A、B 为 n 阶对称矩阵，则下面四个结论中不正确的是( )。AA+B 也是对称矩阵 BAB 也是对
14、称矩阵CA m+Bm(m 为正整数)也是对称矩阵 DBA T+ABT也是对称矩阵（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 逐项计算转置判断是否为对称矩阵即可。因(AB) T=BTAT=BA，但一般有 BAAB，故 B 为正确答案。22.设 =(1，2，t) T，a 1=(2，1，1) T，a 2=(-1，2，7) T，若 可以由 a1、a 2线性表示，则 t=( )。A-5 B5 C-2 D2（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由已知得 a1，a 2不成比例，故 a1，a 2线性无关；若 可由 a1，a 2线性表示，则a1，a 2， 线性相关，而这又是 3 个三维向量，故 a
15、1，a 2， 线性相关的充要条件是|a 1，a 2，|=0，即23.已知 1， 2是 Ax=b 的两个不同的解，a 1，a 2是相应齐次方程组 Ax=0 的基础解系，k 1、k 2是任意常数，则 Ax=b 的通解是( )。（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 的解，而非 Ax=b 的解，由解的结构理论知 A，C 不正确，虽然 a1、 1- 2均为 Ax=0的解，但是否线性无关不确定，因此不一定为基础解系，排除 D，故正确选项为 B。事实上，a 1，a 1-a1均为 Ax=0 的解，且易证明其线性无关，于是 a1，a 1-a2也可作为 Ax=0 的基础解系，而24. （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 线性方程组 Ax=b 无解的充要条件是 r(A)r(A)，为此对增广矩阵作初等行变换有当 a=-1 时，方程组可化为25.设 =2 是非奇异矩阵 A 的特征值，则矩阵 有一特征值等于( )。（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析
