1、 2015 年山东省 济宁 市中考 真题数学 一、选择题 (每小题 3 分，共 30 分 ) 1.(3 分 )-23的相反数是 ( ) A. -23B. 32C. 23D. -32解 析 ： -23的相反数是 23. 答案 ： C. 2.(3 分 )化简 -16(x-0.5)的结果是 ( ) A. -16x-0.5 B. -16x+0.5 C. 16x-8 D. -16x+8 解 析 ： -16(x-0.5)=-16x+8. 答案 ： D 3.(3 分 )要使二次根式 2x 有意义， x 必须满足 ( ) A. x2 B. x2 C. x 2 D. x 2 解 析 ： 根据题意得： x-20
2、，解得： x2. 答案 ： B. 4.(3 分 )一个正方体的每个面都有一个汉字，其展开图如图所示，那么在该正方体中和 “ 值 ”字相对的字是 ( ) A. 记 B. 观 C. 心 D. 间 解 析 ： 对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形，由图形可知，与 “ 值 ”字相对的字是 “ 记 ”. 答案 ： A. 5.(3 分 )三角形两边长分别为 3 和 6，第三边的长是方程 x2-13x+36=0 的两根，则该三角形的周长为 ( ) A. 13 B. 15 C. 18 D. 13 或 18 解 析 ： 解方程 x2-13x+36=0 得， x=9 或 4， 即第三边长为 9 或
3、 4. 边长为 9， 3， 6 不能构成三角形； 而 4， 3， 6 能构成三角形， 所以三角形的周长为 3+4+6=13. 答案 ： A. 6.(3 分 )匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度 h 随时间 t的变化规律如图所示 (图中 OABC 为一折线 )，这个容器的形状是下图中的 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： 注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么速度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关 .则相应的排列顺序就为 C. 答案 ： C. 7.(3 分 )只用下列哪一种正多边形可以进行平面镶嵌 ( ) A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正八边形
4、 D. 正十边形 解 析 ： A、正五边形的每个内角度数为 180 -3605=108 ，不能整除 360 ，不能进行平面镶嵌，不符合题意； B、正六边形的每个内角度数为 180 -3606=120 ，能整除 360 ，能进行平面镶嵌，符合题意； C、正八边形的每个内角度数为 180 -3608=135 ，不能整除 360 ，不能进行平面镶嵌，不符合题意； D、正十边形的每个内角度数为 180 -36010=144 ，不能整除 360 ，不能进行平面镶嵌，不符合题意 . 答案 ： B. 8.(3 分 )解分式方程 2211xxx=3 时，去分母后变形为 ( ) A. 2+(x+2)=3(x-1
5、) B. 2-x+2=3(x-1) C. 2-(x+2)=3(1-x) D. 2-(x+2)=3(x-1) 解 析 ： 方程两边都乘以 x-1， 得： 2-(x+2)=3(x-1). 答案 ： D. 9.(3 分 )如图，斜面 AC 的坡度 (CD 与 AD 的比 )为 1： 2， AC=3 5 米，坡顶有旗杆 BC，旗杆顶端 B 点与 A 点有一条彩带相连 .若 AB=10 米，则旗杆 BC的高度为 ( ) A. 5 米 B. 6 米 C. 8 米 D. (3+ 5 )米 解 析 ： 设 CD=x，则 AD=2x， 由勾股定理可得， AC= 22 25x x x， AC=3 5 米， 5 x
6、=3 5 ， x=3 米， CD=3 米， AD=23=6 米， 在 RtABD 中， BD= 2210 6 =8 米， BC=8 -3=5 米 . 答案 ： A. 10.(3分 )将一副三角尺 (在 RtABC 中， ACB=90 ， B=60 ，在 RtEDF 中， EDF=90 ，E=45) 如图摆放，点 D 为 AB 的中点， DE 交 AC 于点 P， DF 经过点 C，将 EDF 绕点 D 顺时针方向旋转 (0 60) ， DE 交 AC于点 M， DF 交 BC于点 N，则 PMCN的值为 ( ) A. 3 B. 32C. 33D. 12解 析 ： 点 D 为斜边 AB 的中点，
7、 CD=AD=DB ， ACD=A=30 ， BCD=B=60 ， EDF=90 ， CPD=60 ， MPD=NCD ， EDF 绕点 D 顺时针方向旋转 (0 60) ， PDM=CDN= ， PDMCDN ， PM PDCN CD， 在 RtPCD 中， tanPCD=tan30= PDCD， PMCN=tan30= 33. 答案 ： C. 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3分，共 15分 11.(3 分 )2014 年，我国国内生产总值约为 636000 亿元，用科学记数法表示 2014 年国内生产总值约为 _亿元 . 解 析 ： 将 636000 用科学记数法表示为 6.36
8、10 5. 答案 ： 6.3610 5. 12.(3 分 )分解因式： 12x2-3y2=_. 解 析 ： 当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式继续分解 .此题应提公因式，再用公式 . 答案 ： 12x2-3y2=3(2x-y)(2x+y). 13.(3 分 )甲乙两地 9 月上旬的日平均气温如图所示，则甲乙两地这 10 天日平均气温方差大小关系为 S 甲 2_S 乙 2(填或 ). 解 析 ： 观察平均气温统计图可知：乙地的平均气温比较稳定，波动小； 则乙地的日平均气温的方差小， 故 S2 甲 S2 乙 . 答案 ： . 14.(3 分 )在平面直角坐标系中，
9、以原点为中心，把点 A(4， 5)逆时针旋转 90 ，得到的点 A的坐标为 _. 解 析 ： 如图，过点 A作 ACy 轴于点 C，作 ABx 轴于点 B，过 A 作 AEy 轴于点 E，作ADx 轴于点 D， 点 A(4， 5)， AC=4 ， AB=5， 点 A(4， 5)绕原点逆时针旋转 90 得到点 A ， AE=AB=5 ， AD=AC=4 ， 点 A 的坐标是 (-5， 4). 答案 ： (-5， 4). 15.(3 分 )若 12 2-23 2=-127 ； (12 2-23 2)+(34 2-45 2)=-2311 ； (12 2-23 2)+(34 2-45 2)+(56 2
10、-67 2)=-3415 ； 则 (12 2-23 2)+(34 2-45 2)+(2n -1)(2n)2-2n(2n+1)2=_. 解 析 ： 12 2-23 2=-127= -12(41+3) ； (12 2-23 2)+(34 2-45 2)=-2311= -23(42+3) ； (12 2-23 2)+(34 2-45 2)+(56 2-67 2)=-3415 -34(43+3) ； (12 2-23 2)+(34 2-45 2)+(2n -1)(2n)2-2n(2n+1)2=-n(n+1)(4n+3). 答案 ： -n(n+1)(4n+3). 三、解答题：本大题共 7 小题，共 55
11、 分 16.(5 分 )计算： 0+2-1- 14-|-13| 解 析 ： 原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用算术平方根的定义计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果 . 答案 ： 原式 = 1 1 1 212 2 3 3 . 17.(7分 )某学校初三年级男生共 200名，随机抽取 10名测量他们的身高 (单位： cm)为： 181，176， 169， 155， 163， 175， 173， 167， 165， 166. (1)求这 10 名男生的平均身高和上面这组数据的中位数； (2)估计该校初三年级男生身高高于 170cm 的人数；
12、 (3)从身高为 181， 176， 175， 173 的男生中任选 2 名，求身高为 181cm 的男生被抽中的概率 . 解 析 ： (1)利用平均数及中位数的定义分别计算后即可确定正确的结论； (2)用样本平均数估计总体平均数即可； (3)列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可 . 答案 ： (1)平均身高为： 1 8 1 1 7 6 1 6 9 1 5 5 1 6 3 1 7 5 1 7 3 1 6 7 1 6 5 1 6 610 =169cm； 排序后位于中间的两数 167 和 169， 中位数为 168cm； (2)10 人中身高高于 170 的有 4 人， 200 名
13、初三学生中共有 200 410=80 人； (3)身高分别为 181， 176， 175， 173 的四名男生分别用 1， 2， 3， 4 表示， 列表得： 共有 12 种等可能的结果，有 1 的有 6 种， 身高为 181cm 的男生被抽中的概率 6112 2. 18.(7 分 )小明到服装店进行社会实践活动，服装店经理让小明帮助解决以下问题：服装店准备购进甲乙两种服装，甲种每件 进价 80 元，售价 120 元，乙种每件进价 60 元，售价 90元 .计划购进两种服装共 100 件，其中甲种服装不少于 65 件 . (1)若购进这 100 件服装的费用不得超过 7500 元，则甲种服装最多
14、购进多少件？ (2)在 (1)的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠 a(0 a 20)元的价格进行促销活动，乙种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润？ 解 析 ： (1)设甲种服装购进 x 件，则乙种服装购进 (100-x)件，然后根据购进这 100 件服装的费用不得超过 7500 元，列出不等式解答即可； (2)首先求出总利润 W 的表达式，然后针对 a 的不同取值范围进行讨论，分别确定其进货方案 . 答案 ： (1)设甲种服装购进 x 件，则乙种服装购进 (100-x)件， 根据题意得： 658 0 6 0 1 0 0 7 5 0 0xxx ， 解得： 65x75
15、 ， 甲种服装最多购进 75 件； (2)设总利润为 W 元， W=(120-80-a)x+(90-60)(100-x) 即 w=(10-a)x+3000. 当 0 a 10 时， 10-a 0， W 随 x 增大而增大， 当 x=75 时， W 有最大值，即此时购进甲种服装 75 件，乙种服装 25 件； 当 a=10 时，所以按哪种方案进货都可以； 当 10 a 20 时， 10-a 0， W 随 x 增大而减小 . 当 x=65 时， W 有最大值，即此时购进甲种服装 65 件，乙种服装 35 件 . 19.(8 分 )如图，在 ABC 中， AB=AC， DAC 是 ABC 的一个外角
16、 . 实验与操作： 根据要求进行尺规作图，并在图中标明相应字母 (保留作图痕迹，不写作法 ) (1)作 DAC 的平分线 AM； (2)作线段 AC 的垂直平分线，与 AM 交于点 F，与 BC 边交于点 E，连接 AE， CF. 猜想并证明： 判断四边形 AECF 的形状并加以证明 . 解 析 ： 先作以个角的交平分线，再作线段的垂直平分线得到几何图形，由 AB=AC 得ABC=ACB ，由 AM 平分 DAC 得 DAM=CAM ，则利用三角形外角性质可得 CAM=ACB ，再根据线段垂直平分线的性质得 OA=OC， AOF=COE ，于是可证明 AOFCOE ，所以 OF=OE，然后根据
17、菱形的判定方法易得四边形 AECF 的形状为菱形 . 答案 ： 如图所示， 四边形 AECF 的形状为菱形 .理由如下： AB=AC ， ABC=ACB ， AM 平分 DAC ， DAM=CAM ， 而 DAC=ABC+ACB ， CAM=ACB ， EF 垂直平分 AC ， OA=OC ， AOF=COE ， 在 AOF 和 COE 中 F A O E C OO A O CA O F C O E ， AOFCOE ， OF=OE ， 即 AC 和 EF 互相垂直平分， 四边形 AECF 的形状为菱形 . 20.(8 分 )在矩形 AOBC 中， OB=6， OA=4，分别以 OB， OA
18、所在直线为 x 轴和 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系 .F 是边 BC 上一点 (不与 B、 C 两点重合 )，过点 F 的反比例函数 y=kx(k 0)图象与 AC 边交于点 E. (1)请用 k 的表示点 E， F 的坐标； (2)若 OEF 的面积为 9，求反比例函数的解析式 . 解 析 ： (1)易得 E 点的纵坐标为 4， F 点的横坐标为 6，把它们分别代入反比例函数 y=kx(k 0)即可得到 E 点和 F 点的坐标； (2)分别用矩形面积和能用图中的点表示出的三角形的面积表示出所求的面积，解方程即可求得 k 的值 . 答案 ： (1)E(4k， 4)， F(6，6k)；
19、(2)E ， F 两点坐标分别为 E(4k， 4)， F(6，6k)， S ECF =12ECCF= 12(6-14k)(4-16k)， S EOF =S 矩形 AOBC-SAOE -SBOF -SECF =24-12k-12k-SECF =24-k-12(6-14k)(4-16k)， OEF 的面积为 9， 24 -k-12(6-14k)(4-16k)=9， 整理得， 224k=6， 解得 k=12. 反比例函数的解析式为 12yx. 21.(9 分 )阅读材料： 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，s in s in s ina b cA B C，利用上述结论可以求解如下题目：
20、在 ABC 中， A 、 B 、 C 的对边分别为 a， b， c.若 A=45 ， B=30 ， a=6，求 b. 解：在 ABC 中， sin sinabAB16s i n 6 s i n 3 0 2 32s i n s i n 4 5 22aBbA . 理解应用： 如图，甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方向航行，当甲船位于 A1处时，乙船位于甲船的北偏西 105 方向的 B1处，且乙船从 B1处按北偏东 15 方向匀速直线航行，当甲船航行 20 分钟到达 A2时，乙船航行到甲船的北偏西 120 方向的 B2处，此时两船相距 10 2 海里 . (1)判断 A 1A2B2的形状，并
21、给出证明； (2)求乙船每小时航行多少海里？ 解 析 ： (1)先根据路程 =速度 时间求出 A1A2=30 2 13=10 2 ，又 A2B2=10 2 ， A 1A2B2=60 ，根据有一个角是 60 的等腰三角形是等边三角形即可得出 A 1A2B2是等边三角形； (2)先由平行线的性质及方向角的定义求出 A 1B1B2=75 -15=60 ，由等边三角形的性质得出 A 2A1B2=60 ， A1B2=A1A2=10 2 ，那么 B 1A1B2=105 -60=45. 然后在 B 1A1B2中，根据阅读材料可知， 1 2 1 2sin 4 5 sin 6 0B B A B，求出 B1B2的
22、距离，再由时间求出乙船航行的速度 .答案 ： (1)A 1A2B2是等边三角形，理由如下： 连结 A1B2. 甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方向航行，航行 20 分钟到达 A2， A 1A2=30 2 13=10 2 ， 又 A 2B2=10 2 ， A 1A2B2=60 ， A 1A2B2是等边三角形； (2)如图， B 1NA 1A2， A 1B1N=180 -B 1A1A2=180 -105=75 ， A 1B1B2=75 -15=60. A 1A2B2是等边三角形， A 2A1B2=60 ， A1B2=A1A2=10 2 ， B 1A1B2=105 -60=45. 在 B 1
23、A1B2中， A 1B2=10 2 ， B 1A1B2=105 -60=45 ， A 2A1B2=60 ， 由阅读材料可知， 1 2 1 2sin 4 5 sin 6 0B B A B， 解得 B1B2=21 0 22 0 32332 ， 所以乙船每小时航行： 2 0 3 1 2 0 333海里 . 22.(11 分 )如图， E 的圆心 E(3， 0)，半径为 5， E 与 y 轴相交于 A、 B 两点 (点 A 在点 B的上方 )，与 x 轴的正半轴交于点 C，直线 l 的解析式为 y=34x+4，与 x 轴相交于点 D，以点C 为顶点的抛物线过点 B. (1)求抛物线的解析式； (2)判
24、断直线 l 与 E 的位置关系，并说明理由； (3)动点 P 在抛物线上，当点 P 到直线 l 的距离最小时 .求出点 P的坐标及最小距离 . 解 析 ： (1)连接 AE，由已知得： AE=CE=5， OE=3，利用勾股定理求出 OA 的长，结合垂径定理求出 OC 的长，从而得到 C 点坐标，进而得到抛物线的解析式； (2)求出点 D 的坐标为 (-163， 0)，根据 AOEDOA ，求出 DAE=90 ，判断出直线 l 与 E相切与 A. (3)过点 P 作直线 l 的垂线段 PQ，垂足为 Q，过点 P作直线 PM垂直于 x轴，交直线 l于点M.设 M(m， 34m+4)， P(m， -
25、116m2+m-4)，得到 PM=34m+4-(-116m2+m-4)=116m2-14m+8=116(m-2)2+314，根据 PQM 的三个内角固定不变，得到 PQ 最小 =PM 最小 sinQMP=PM 最小 sinAEO= 314 45=315，从而得到最小距离 . 答案 ： (1)如图 1，连接 AE，由已知得： AE=CE=5， OE=3， 在 RtAOE 中，由勾股定理得， 2 2 2 25 3 4O A A E O E ， OCAB ， 由垂径定理得， OB=OA=4， OC=OE+CE=3+5=8， A(0 ， 4)， B(0， -4)， C(8， 0)， 抛物线的定点为 C
26、， 设抛物线的解析式为 y=a(x-8)2， 将点 B 的坐标代入上解析的式，得 64a=-4，故 a=-116， y= -116(x-8)2， y= -116x2+x-4 为所求抛物线的解析式， (2)在直线 l 的解析式 y=34x+4 中，令 y=0，得 34x+4=0，解得 x=-163， 点 D 的坐标为 (-163， 0)， 当 x=0 时， y=4， 点 A 在直线 l 上， 在 RtAOE 和 RtDOA 中， 34OEOA， 34OAOD， OE OAOA OD， AOE=DOA=90 ， AOEDOA ， AEO=DAO ， AEO+EAO=90 ， DAO+EAO=90
27、，即 DAE=90 ，因此，直线 l 与 E 相切与 A. (3)如图 2，过点 P 作直线 l 的垂线段 PQ，垂足为 Q，过点 P 作直线 PM 垂直于 x 轴，交直线l 于点 M. 设 M(m， 34m+4)， P(m， -116m2+m-4)，则 PM=34m+4-(-116m2+m-4)=116m2-14m+8=116(m-2)2+314， 当 m=2 时， PM 取得最小值 314， 此时， P(2， -94)， 对于 PQM ， PMx 轴， QMP=DAO=AEO ， 又 PQM=90 ， PQM 的三个内角固定不变， 在动点 P 运动的过程中， PQM 的三边的比例关系不变， 当 PM 取得最小值时， PQ 也取得最小值， PQ 最小 =PM 最小 sinQMP=PM 最小 sinAEO= 314 45=315， 当抛物线上的动点 P 的坐标为 (2， -94)时，点 P 到直线 l 的距离最小，其最小距离为 315.
