1、 2015 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学文 一、选择题（本大题共 10 个小题 ， 每小题 5 分 ， 共 50 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .） 1.若集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 答案 ： C 解析 ： ，故选 C. 考点：集合的交集运算 . 2.已知 是虚数单位，则复数 （ ） A. B. C. D. 答案 ： D 考点：复数的乘法运算 . 3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 试题分析：函数 的定义域为 ，关于原点对称，因为 ，所以函数 既不是奇函数，也不是偶
2、函数；函数的定义域为 ，关于原点对称，因为，所以函数 是偶函数；函数 的定义域为 ，关于原点对称，因为，所以函数 是偶函数；函数的定义域为 ，关于原点对称，因为，所以函数 是奇函数 .故选 A. 考点：函数的奇偶性 . 4. 若变量 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 考点：线性规划 . 5. 设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .若 ， ， ，且 ，则 （ ） A. B. C. D.【答案】 B 【解析】 试题分析：由余弦定理得： ，所以，即 ，解得： 或 ，因为 ，所以 ，故选 B. 考点：余弦定理 . 6. 若直线 和 是异面直线， 在平
3、面 内， 在平面 内， 是平面 与平面 的交线，则下列命题正确的是（ ） A. 至少与 ， 中的一条相交 B. 与 ， 都相交 C. 至多与 ， 中的一条相交 D. 与 ， 都不相交 【答案】 A 考点：空间点、线、面的位置关系 . 7. 已知 件产品中有 件次品，其余为合格品 .现从这 件产品中任取 件，恰有一件次品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 件产品中有 件次品，记为 ， ，有 件合格品，记为 ， ， ，从 这 件产品中任取 件，有 种，分别是 ， ， ， ， ， ， ， ， ，恰有一件次品，有 种，分别是 ， ， ， ， ，设事件 “恰有一件次品”，则
4、， 故选 B. 考点：古典概型 . 8.已知椭圆 （ ）的左焦点为 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 试题分析：由题意得： ，因为 ，所以 ， 故选 C. 考点：椭圆的简单几何性质 . 9. 在平面直角坐标系 中，已知四边形 是平行四边形， ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 试题分析：因为 四边形 是平行四边形，所以，所以 ， 故选 D. 考点： 1、平面向量的加法运算； 2、平面向量数量积的坐标运算 . 10. 若集合 ， ，用 表示集合 中的元素个数，则 （ ） A. B. C. D.【答案】 D 考点：推理与证明 . 二、填空题
5、 （ 本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分 .） （ 一 ） 必做题 （ 1113 题 ） 11. 不等式 的解集为 .（用区间表示） 【答案】 【解析】 试题分析：由 得： ，所以 不等式 的解集为，所以答案应填： . 考点：一元二次不等式 . 12. 已知样本数据 ， ， ， 的均值 ，则样本数据 ， ， ，的均值为 . 【答案】 考点：均值的性质 . 13. 若三个正数 ， ， 成等比数列，其中 ， ，则 . 【答案】 【解析】 试题分析：因为 三个正数 ， ， 成等比数列，所以 ，因为 ，所以 ， 所以答案应填： . 考点：等比中项 . （二）选做题（
6、 14、 15 题，考生只能从中选作一题） 14. （ 坐标系与参数方程选做题） 在平面直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 .曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的参数方程为 （ 为参数），则 与 交点的直角坐标为 . 【答案】 【解析】 试题分析： 曲线 的直角坐标方程为 ，曲线 的普通方程为 ，由 得： ，所以 与 交点的直角坐标为 ，所以答案应填：. 考点： 1、极坐标方程化为直角坐标方程； 2、参数方程化为普通方程； 3、两曲线的交点 . 15. （ 几何证明选讲选做题 ） 如图 ， 为圆 的直径， 为 的延长线上一点，过作圆 的切线，切点为 ，过 作直线 的垂线
7、，垂足为 .若 ， ，则 . 【答案】 考点： 1、切线的性质； 2、平行线分线段成比例定理； 3、切割线定理 . 三、解答题 （ 本大题共 6 小题，满分 80 分 .解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 .） 16、 （本小题满分 12 分 ）已知 . 求 的值 ； 求 的值 . 【答案】（ 1） ；（ 2） . 考点： 1、两角和的正切公式； 2、特殊角的三角函数值； 3、二倍角的正、余弦公式； 4、 同角三角函数的基本关系 . 17、 （本小题满分 12 分） 某城市 户居民的月平均用电量（单位：度），以 ， ， ， ， ， 分组的频率分布直方图如图 . 求直方图中 的值； 求月平均
8、用电量的众数和中位数； 在月平均用电量为 ， ， ， 的四组用户中，用分层抽样的方法抽取 户居民，则月平均用电量在 的用户中应抽取多少户？ 【答案】（ 1） ；（ 2） ， ；（ 3） . 【解析】 试题解析：（ 1）由 得：，所以直方图中 的值是 考点： 1、频率分布直方图； 2、样本的数字特征（众数、中位数）； 3、分层抽样 . 18、（本小题满分 14 分）如图 ，三角形 所在的平面与长方形 所在的平面垂直， ， . 证明： 平面 ； 证明： ； 求点 到平面 的距离 . 【答案】（ 1） 证明见解析 ；（ 2） 证明见解析；（ 3） . 【解析】 试题解析：（ 1）因为四边形 是长方形
9、，所以 ，因为 平面 ，平面 ，所以 平面 （ 2）因为四边形 是长方形，所以 ，因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，因为 平面，所以 （ 3）取 的中点 ，连结 和 ，因为 ，所以 ，在 中，因为平面 平面 ，平面 平面 ，平面 ，所以 平面 ，由（ 2）知： 平面 ，由（ 1）知： ，所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，设点 到平面 的距离为 ，因为 ，所以 ，即，所以点 到平面 的距离是 考点： 1、线面平行； 2、线线垂直； 3、点到平面的距离 . 19、（本小题满分 14 分） 设数列 的前 项和为 ， .已知 ， ， ，且当 时， . 求 的值； 证明： 为等比数列； 求数列 的通项公式 . 【答案】（ 1） ；（ 2） 证明见解析；（ 3） . 考点： 1、等比数列的定义； 2、等比数列的通项公式； 3、等差数列的通项公式 .
