1、2015 年浙江省舟山市中考真题数学 一、选择题 (每小题 3 分，共 30 分 ) 1.计算 2-3 的结果为 ( ) A.-1 B.-2 C.1 D.2 解析： 根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可 . 2-3=2+(-3)=-1. 答案： A 2.下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析： 第一个图形是中心对称图形， 第二个图形不是中心对称图形， 第三个图形是中心对称图形， 第四个图形不是中心对称图形， 综上所述，属于中心对称图形的有 2 个 . 答案： B 3.截至今年 4 月 10
2、日，舟山全市需水量为 84 327 000m3，数据 84 327 000 用科学记数法表示为 ( ) A.0.84327 108 B.8.4327 107 C.8.4327 108 D.84327 103 解析： 将 84 327 000 用科学记数法表示为： 8.4327 107. 答案： B 4.质检部门为了检测某品牌电器的质量，从同一批次共 10000 件产品中随机抽取 100 件进行检测，检测出次品 5 件，由此估计这一批次产品中的次品件数是 ( ) A.5 B.100 C.500 D.10000 解析： 随机抽取 100 件进行检测，检测出次品 5 件， 次品所占的百分比是： 51
3、00， 这一批次产品中的次品件数是： 10000 5100=500(件 ). 答案： C 5.如图，直线 l1 l2 l3，直线 AC 分别交 l1， l2， l3于点 A， B， C，直线 DF 分别交 l1， l2，l3于点 D， E， F， AC 与 DF 相交于点 G，且 AG=2， GB=1， BC=5，则 DEEF的值为 ( ) A.12B.2 C.25D.35解析： AG=2， GB=1， AB=AG+BG=3，直线 l1 l2 l3， 35DE ABEF BC. 答案： D 6.与无理数 31 最接近的整数是 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 解析： 2 5 3 1 3
4、6 ， 31 最接近的整数是 36 ， 36 =6. 答案： C 7.如图， ABC 中， AB=5， BC=3， AC=4，以点 C 为圆心的圆与 AB 相切，则 C 的半径为 ( ) A.2.3 B.2.4 C.2.5 D.2.6 解析： 在 ABC 中， AB=5， BC=3， AC=4， AC2+BC2=32+42=52=AB2， C=90， 如图：设切点为 D，连接 CD， AB 是 C 的切线， CD AB， S ABC=12AC BC=12AB CD， AC BC=AB CD，即 CD= 3 4 1 255A C B CAB， C 的半径为 125. 答案： B 8.一元一次不等
5、式 2(x+1) 4 的解在数轴上表示为 ( ) A. B. C. D. 解析： 由 2(x+1) 4，可得 x+1 2，解得 x 1， 所以一元一次不等式 2(x+1) 4 的解在数轴上表示 如下 . 答案： A 9.数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线 l 和 l 外一点 P，用直尺和圆规作直线 PQ，使 PQ l 于点 Q.”分别作出了下列四个图形 .其中作法错误的是 ( ) A. B. C. D. 解析： A、根据作法无法判定 PQ l； B、以 P 为圆心大于 P 到直线 l 的距离为半径画弧，交直线 l，于两点，再以两点为圆心，大于它们的长为半径画弧，得出其交点，进
6、而作出判断； C、根据直径所对的圆周角等于 90作出判断； D、根据全等三角形的判定和性质即可作出判断 . 根据分析可知，选项 B、 C、 D 都能够得到 PQ l 于点 Q；选项 A 不能够得到 PQ l 于点 Q. 答案： A 10.如图，抛物线 y=-x2+2x+m+1 交 x 轴与点 A(a， 0)和 B(b， 0)，交 y 轴于点 C，抛物线的顶点为 D，下列四个命题： 当 x 0 时， y 0； 若 a=-1，则 b=4； 抛物线上有两点 P(x1， y1)和 Q(x2， y2)，若 x1 1 x2，且 x1+x2 2，则 y1 y2； 点 C 关于抛物线对称轴的对称点为 E，点
7、G， F 分别在 x 轴和 y 轴上，当 m=2 时，四边形EDFG 周长的最小值为 6 2 .其中真命题的序号是 ( ) A. B. C. D. 解析： 当 x 0 时，函数图象过二四象限，当 0 x b 时， y 0；当 x b 时， y 0，故本选项错误； 二次函数对称轴为 x=- 221=1，当 a=-1 时有 12b=1，解得 b=3，故本选项错误； x1+x2 2，122xx 1， 又 x1 1 x2， Q 点距离对称轴较远， y1 y2，故本选项正确； 如图，作 D 关于 y 轴的对称点 D， E 关于 x 轴的对称点 E，连接 D E， D E与 DE的和即为四边形 EDFG
8、周长的最小值 . 当 m=2 时，二次函数为 y=-x2+2x+3，顶点纵坐标为 y=-1+2+3=4， D 为 (1， 4)，则 D为 (-1，4)； C 点坐标为 C(0， 3)；则 E 为 (2， 3)， E为 (2， -3)； 则 DE= 222 1 3 4 2 ； D E = 221 2 4 3 5 8 ； 四边形 EDFG 周长的最小值为 2 58 ，故本选项错误 . 答案： C. 二、填空题 (每小题 4 分，共 24 分 ) 11.因式分解： ab-a= . 解析 ： ab-a=a(b-1). 答案： a(b-1) 12.把二次函数 y=x2-12x 化为形如 y=a(x-h)
9、2+k 的形式 . 解析 ： y=x2-12x=(x2-12x+36)-36=(x-6)2-36，即 y=(x-6)2-36. 答案： y=(x-6)2-36. 13.把一枚均匀的硬币连续抛掷两次，两次正面朝上的概率是 . 解析 ： 共 4 种情况，正面都朝上的情况数有 1 种，所以概率是 14. 答案： 1414.一张三角形纸片 ABC， AB=AC=5，折叠该纸片使点 A 落在 BC 的中点上，折痕经过 AC 上的点 E，则 AE 的长为 . 解析 ： 如图所示， D 为 BC 的中点， AB=AC， AD BC， 折叠该纸片使点 A 落在 BC 的中点 D 上，折痕 EF垂直平分 AD，
10、 E是 AC的中点， AC=5， AE=2.5. 答案： 2.5 15.如图，多边形的各顶点都在方格纸的格点 (横竖格子线的交错点 )上，这样的多边形称为格点多边形，它的面积 S 可用公式 S=a+12b-1(a 是多边形内的格点数， b 是多边形边界上的格点数 )计算，这个公式称为“皮克定理” .现用一张方格纸共有 200 个格点，画有一个格点多边形，它的面积 S=40. (1)这个格点多边形边界上的格点数 b= (用含 a 的代数式表示 ). (2)设该格点多边形外的格点数为 c，则 c-a= . 解析 ： (1) S=a+12b-1，且 S=40， a+12b-1=40，整理得： b=8
11、2-2a. (2) a 是多边形内的格点数， b 是多边形边界上的格点数，总格点数为 200， 边界上的格点数与多边形内的格点数的和为 b+a=82-2a+a=82-a， 多边形外的格点数 c=200-(82-a)=118+a， c-a=118+a-a=118， 答案： 82-2a， 118. 16.如图，在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0， 1)，点 P 在线段 OA 上，以 AP 为半径的 P周长为 1，点 M 从 A 开始沿 P 按逆时针方向转动，射线 AM 交 x 轴于点 N(n， 0).设点 M 转过的路程为 m(0 m 1)，随着点 M 的转动，当 m 从 13变化到 23时
12、，点 N 相应移动的路经长为 . 解析： 当 m=13时，连接 PM，如图 1， APM=13 360 =120 . PA=PM， PAM= PMA=30 .在 Rt AON 中， NO=AO tan OAN=1 33= 33. 当 m=23时，连接 PM，如图 2， APM=360 -23 360 =120， 同理可得： NO= 33. 综合、可得：点 N 相应移动的路经长为 33+ 33=233. 答案： 233. 三、解答题 (6， 6， 6， 8， 8， 10， 10) 17.(1)计算： |-5|+ 4 2-1； (2)化简： a(2-a)+(a+1)(a-1). 解析： (1)首先
13、求出 -5 的绝对值，然后根据整式的混合运算顺序，计算乘法和加法，求出算式 |-5|+ 4 2-1的值是多少即可 . (2)根据整式的混合运算顺序，首先计算乘法和，然后计算加法，求出算式 a(2-a)+(a+1)(a-1)的值是多少即可 . 答案 ： (1)|-5|+ 4 2-1； =5+2 12=5+1=6. (2)a(2-a)+(a+1)(a-1)=2a-a2+a2-1=2a-1. 18.小明解方程 121xxx的过程如图 .请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程 . 解析： 小明的解法有三处错误，步骤去分母有误； 步骤去括号有误；步骤少检验，写出正确的解题过程即可 . 答案： 小
14、明的解法有三处错误，步骤去分母有误； 步骤去括号有误；步骤少检验； 正确解法为：方程两边乘以 x，得： 1-(x-2)=x， 去括号得： 1-x+2=x， 移项得： -x-x=-1-2， 合并同类项得： -2x=-3， 解得： x=32， 经检验 x=32是分式方程的解， 则方程的解为 x=32. 19.如图，正方形 ABCD 中，点 E， F 分别在边 AB， BC 上， AF=DE， AF 和 DE 相交于点 G， (1)观察图形，写出图中所有与 AED 相等的角 . (2)选择图中与 AED 相等的任意一个角，并加以证明 . 解析： (1)由图示得出 DAG， AFB， CDE 与 AE
15、D 相等； (2)根据 SAS 证明 DAE 与 ABF 全等，利用全等三角形的性质即可证明 . 答案： (1)由图可知， DAG， AFB， CDE 与 AED 相等； (2)选择 DAG= AED，证明如下： 正方形 ABCD， DAB= B=90， AD=AB， AF=DE， 在 DAE 与 ABF 中， 90A D A BD A E BD E A F ， DAE ABF(SAS)， ADE= BAF， DAG+ BAF=90， GDA+ AED=90， DAG= AED. 20.舟山市 2010-2014 年社会消费品零售总额及增速统计图如图： 请根据图中信息，解答下列问题： (1)求
16、舟山市 2010-2014 年社会消费品零售总额增速这组数据的中位数 . (2)求舟山市 2010-2014 年社会消费品零售总额这组数据的平均数 . (3)用适当的方法预测舟山市 2015 年社会消费品零售总额 (只要求列式说明，不必计算出结果 ). 解析 ： (1)根据中位数的定义，可得答案 ； (2)根据平均数的定义，可得答案； (3)根据增长率的中位数，可得 2015 年的销售额 . 答案： (1)数据从小到大排列 13.5%， 14.2%， 15.4%， 17.0%， 18.4%， 舟山市 2010-2014 年社会消费品零售总额增速这组数据的中位数是 15.4%； (2) 舟山市
17、2010-2014 年 社 会 消 费 品 零 售 总 额 这 组 数 据 的 平 均 数2 1 2 . 5 2 5 1 . 7 2 9 0 . 5 3 3 1 . 7 3 7 6 . 6 2 9 2 . 65 (亿元 )； (3) 从 增 速 中 位 数 分 析 ， 舟 山 市 2015 年 社 会 消 费 品 零 售 总 额 为 376.6 (1+15.4%)=435.124(亿元 ). 21.如图，直线 y=2x 与反比例函数 y=kx(k 0， x 0)的图象交于点 A(1， a)， B 是反比例函数图象上一点，直线 OB 与 x 轴的夹角为， tan =12. (1)求 k 的值 .
18、 (2)求点 B 的坐标 . (3)设点 P(m， 0)，使 PAB 的面积为 2，求 m 的值 . 解析： (1)把点 A(1， a)代入 y=2x，求出 a=2，再把 A(1， 2)代入 y=kx，即可求出 k 的值； (2)过 B 作 BC x 轴于点 C.在 Rt BOC 中，由 tan =12，可设 B(2h， h).将 B(2h， h)代入y=2x，求出 h 的值，即可得到点 B 的坐标； (3)由 A(1， 2)， B(2， 1)，利用待定系数法求出直线 AB 的解析式为 y=-x+3，那么直线 AB与 x 轴交点 D 的坐标为 (3， 0).根据 PAB 的面积为 2 列出方程
19、 12|3-m| (2-1)=2，解方程即可求出 m 的值 . 答案： (1)把点 A(1， a)代入 y=2x，得 a=2，则 A(1， 2). 把 A(1， 2)代入 y=kx，得 k=1 2=2. (2)过 B 作 BC x 轴于点 C. 在 Rt BOC 中， tan =12，可设 B(2h， h). B(2h， h)在反比例函数 y=2x的图象上， 2h2=2，解得 h= 1， h 0， h=1， B(2， 1)； (3) A(1， 2)， B(2， 1)，直线 AB 的解析式为 y=-x+3， 设直线 AB 与 x 轴交于点 D，则 D(3， 0). S PAB=S PAD-S P
20、BD=2，点 P(m， 0)， 12|3-m| (2-1)=2，解得 m1=-1， m2=7. 22.小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏 OB与底板 OA所在水平线的夹角为 120，感觉最舒适 (如图 1)，侧面示意图为图 2.使用时为了散热，她在底板下垫入散热架 ACO后，电脑转到 AO B位置 (如图 3)，侧面示意图为图 4.已知 OA=OB=24cm， O C OA 于点 C， OC=12cm. (1)求 CAO的度数 . (2)显示屏的顶部 B比原来升高了多少？ (3)如图 4，垫入散热架后，要使显示屏 O B 与水平线的夹角仍保持 120，则显示屏 O B应绕点 O按顺时针方
21、向旋转多少度？ 解析： (1)通过解直角三角形即可得到结果； (2)过点 B 作 BD AO 交 AO 的延长线于 D，通过解直角三角形求得 BD=OB?sin BOD=24 32=12 3 ，由 C、 O、 B三点共线可得结果； (3)显示屏 O B应绕点 O按顺时针方向旋转 30，求得 EO B = FO A=30，既是显示屏 O B应绕点 O按顺时针方向旋转 30 . 答案： (1) O C OA 于 C， OA=OB=24cm， sin CAO = 1 2 12 4 2O C O CO A O A ， CAO=30； (2)过点 B 作 BD AO 交 AO 的延长线于 D， sin
22、BOD=BDOB， BD=OB sin BOD， AOB=120， BOD=60， BD=OB sin BOD=24 32=12 3 ， O C OA， CAO =30， AO C=60， AO B =120， AO B + AO C=180， O B +O C-BD=24+12-12 3 =3-12 3 ， 显示屏的顶部 B比原来升高了 (36-12 3 )cm； (3)显示屏 O B应绕点 O按顺时针方向旋转 30， 理由：显示屏 O B 与水平线的夹角仍保持 120， EO F=120， FO A= CAO =30， AO B =120， EO B = FO A=30， 显示屏 O B应
23、绕点 O按顺时针方向旋转 30 . 23.某企业接到一批粽子生产任务，按要求在 15 天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只 6元，为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第 x 天生产的粽子数量为 y 只，y 与 x 满足下列关系式： 5 4 0 53 0 1(2)()0 5 1 5y x xxx . (1)李明第几天生产的粽子数量为 420 只？ (2)如图，设第 x 天每只粽子的成本是 p 元， p与 x 之间的关系可用图中的函数图象来刻画 .若李明第 x 天创造的利润为 w 元，求 w与 x 之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元？ (利润 =出厂价 -成本
24、) (3)设 (2)小题中第 m 天利润达到最大值，若要使第 (m+1)天的利润比第 m 天的利润至少多 48元，则第 (m+1)天每只粽子至少应提价几元？ 解析： (1)把 y=420 代入 y=30x+120，解方程即可求得； (2)根据图象求得成本 p 与 x 之间的关系，然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到 W 与 x 的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答； (3)根据 (2)得出 m+1=13，根据利润等于订购价减去成本价得出提价 a 与利润 w 的关系式，再根据题意列出不等式求解即可 . 答案： (1)设李明第 n 天生产的粽子数量为 420 只，
25、由题意可知： 30n+120=420，解得 n=10. 答：第 10 天生产的粽子数量为 420 只 . (2)由图象得，当 0 x 9 时， p=4.1； 当 9 x 15 时，设 P=kx+b， 把点 (9， 4.1)， (15， 4.7)代入得， 9 4.115 4.7kbkb， ，解得 0.13.2kb， ， p=0.1x+3.2， 0 x 5 时， w=(6-4.1) 54x=102.6x，当 x=5 时， w 最大 =513(元 )； 5 x 9 时， w=(6-4.1) (30x+120)=57x+228， x 是整数，当 x=9 时， w 最大 =714(元 )； 9 x 15
26、 时， w=(6-0.1x-3.2) (30x+120)=-3x2+72x+336， a=-3 0，当 x=-2ba=12 时， w 最大 =768(元 )； 综上，当 x=12 时， w 有最大值，最大值为 768. (3)由 (2)可知 m=12， m+1=13， 设第 13 天提价 a 元，由题意得， w13=(6+a-p)(30x+120)=510(a+1.5)， 510(a+1.5)-768 48，解得 a=0.1. 答：第 13 天每只粽子至少应提价 0.1 元 . 24.类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形” . (1)概念理解： 如图 1，
27、在四边形 ABCD 中，添加一个条件使得四边形 ABCD 是“等邻边四边形” .请写出你添加的一个条件 . (2)问题探究： 小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形，她的猜想正确吗？请说明理由 . 如图 2，小红画了一个 Rt ABC，其中 ABC=90， AB=2， BC=1，并将 Rt ABC 沿 ABC的平分线 BB方向平移得到 A B C，连结 AA， BC，小红要使平移后的四边形 ABCA是“等邻边四边形”，应平移多少距离 (即线段 BB的长 )？ (3)拓展应用： 如图 3，“等邻边四边形” ABCD 中， AB=AD， BAD+ BCD=90， AC， BD 为对角线，
28、 AC= 2 AB，试探究 BC， CD， BD 的数量关系 . 解析： (1)由“等邻边四边形”的定义易得出结论； (2)先利用平行四边形的判定定理得平行四边形，再利用“等邻边四边形”定义得邻边相等，得出结论； 由平移的性质易得 BB =AA， A B AB， A B =AB=2， B C =BC=1， A C =AC= 5 ，再利用“等邻边四边形”定义分类讨论，由勾股定理得出结论； (3)由旋转的性质可得 ABF ADC，由全等性质得 ABF= ADC， BAF= DAC， AF=AC， FB=CD，利用相似三角形判定得 ACF ABD，由相似的性质和四边形内角和得 CBF=90，利用勾股
29、定理，等量代换得出结论 . 答案 ： (1)AB=BC 或 BC=CD 或 CD=AD 或 AD=AB(任写一个即可 )； (2)正确，理由为： 四边形的对角线互相平分，这个四边形是平行四边形， 四边形是“等邻边四边形”，这个四边形有一组邻边相等， 这个“等邻边四边形”是菱形 . ABC=90， AB=2， BC=1， AC= 5 ， 将 Rt ABC 平移得到 A B C， BB =AA， A B AB， A B =AB=2， B C =BC=1， A C =AC= 5 ， (I)如图 1，当 AA =AB 时， BB =AA =AB=2； (II)如图 2，当 AA =A C时， BB =
30、AA =A C = 5 ； (III)当 A C =BC = 5 时，如图 3，延长 C B交 AB 于点 D，则 C B AB， BB平分 ABC， ABB =12 ABC=45， BB D= A BB =45 ， B D=BD， 设 B D=BD=x，则 C D=x+1， BB = 2 x， 在 Rt BC D 中， BD2+(C D)2=(BC )2， x2+(x+1)2=( 5 )2，解得： x1=1， x2=-2(不合题意，舍去 )， BB = 2 x= 2 ， ( )当 BC =AB=2 时，如图 4，与 ( )方法一同理可得： BD2+(C D)2=(BC 2， 设 B D=BD
31、=x，则 x2+(x+1)2=22，解得： x1= 172， x2= 172(不合题意，舍去 )， BB = 1 4 222x . (3)BC， CD， BD 的数量关系为： BC2+CD2=2BD2，如图 5， AB=AD，将 ADC 绕点 A 旋转到 ABF，连接 CF， ABF ADC， ABF= ADC， BAF= DAC， AF=AC， FB=CD， BAD= CAF， AC ADAF AB=1， ACF ABD， 2C F A CB D A B， CF= 2 BD， BAD+ ADC+ BCD+ ABC=360， ABC+ ADC-360 -( BAD+ BCD)=360 -90 =270， ABC+ ABF=270， CBF=90， BC2+FB2=CF2=( 2 BD)2=2BD2， BC2+CD2=2BD2.
