1、2015年黑龙江省大庆市中考数学试卷 一、选择题 (共 10 小题，每小题 3 分，满分 30分 ) 1.sin60= ( ) A.21B.22C.1 D.23 解析：考查 特殊角的三角函数值 ， 原式利用特殊角的三角函数值解得即可 ： sin60=23. 答案： D. 2.将 0.00007 用科学记数法表示为 ( ) A.710 6 B.7010 5 C.710 5 D.0.710 6 解析： 绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0 的个数所决定 ： 0.00007
2、=710 5. 答案： C. 3.a2的算术平方根一定是 ( ) A.a B.|a| C. a D.-a 解析：这里考查的是 算术平方根 ， 根据算术平方根定义 ： a2 =|a|. 答案： B. 4.正 n 边形每个内角的大小都为 108 ，则 n=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 解析：考查 多边形内角与外角 ， 利用正多边形的性质得出其外角，进而得出多边形的边数 ： 正 n 边形每个内角的大小都为 108 每个外角为 72 则 n=36072=5. 答案 ： A. 5.某品牌自行车 1月份销售量为 100辆，每辆车售价相同 .2月份的销售量比 1月份增加 10%，每辆车的售价比 1
3、 月份降低了 80 元 .2 月份与 1 月份的销售总额相同，则 1 月份的售价为 () A.880 元 B.800 元 C.720 元 D.1080 元 解析：考查 一元一次方程的应用 ， 设 1 月份每辆车售价为 x 元，则 2 月份每辆车的售价为 (x 80)元，依据 “2 月份的销售量比 1 月份增加 10%，每辆车的售价比 1 月份降低了 80元 .2月份与 1 月份的销售总额相同 ” 列出方程并解答 . 设 1 月份每辆车售价为 x 元，则 2 月份每辆车的售价为 (x 80)元， 依题意得 100x=(x 80)100 (1+10%)，解得 x=880,即 1 月份每辆车售价为
4、880 元 . 答案 ： A. 6.在 O 中，圆心 O 到弦 AB 的距离为 AB 长度的一半，则弦 AB 所对圆心角的大小为 ( ) A.30 B.45 C.60 D.90 解析：考查 垂径定理 、 等腰直角三角形 ， 利用等腰直角三角形的性质以及垂径定理得出 BOC的度数进而求出 :如图所示：连接 BO， AO， 圆心 O 到弦 AB 的距离为 AB 长度的一半， DO=DB ， DOAB ， BOC=BOC=45 ， 则 A=AOC=45 ， AOB=90 答案 ： D. 7.以下图形中对称轴的数量小于 3 的是 ( ) A. B. C. D. 解析：考查 轴对称图形 ， 根据对称轴的
5、概念求解 ： A.有 4 条对称轴； B.有 6 条对称轴； C.有 4 条对称轴； D.有 2 条对称轴 . 答案： D. 8.某射击小组有 20 人，教练根据他们某次射击的数据绘制如图所示的统计图，则这组数据的众数和中位数分别是 ( ) A.7， 7 B.8， 7.5 C.7， 7.5 D.8， 6 解析：考查 众数 、 条形统计图 、 中位数 ， 找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数 (或两个数的平均数 )为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，可得答案 ： 在这一组数据中 7 是出现次数最多的，故众数是 7；排序后处于中间位置的那个数是7， 8，那么由中位数的
6、定义可知，这组数据的中位数是 782=7.5 答案 ： C. 9.已知二次函数 y=a(x 2)2+c，当 x=x1时，函数值为 y1；当 x=x2时，函数值为 y2，若 |x12| |x2 2|，则下列表达式正确的是 ( ) A.y1+y2 0 B.y1 y2 0 C.a(y1 y2) 0 D.a(y1+y2) 0 解析：这里考查 二次函数图象上点的坐标特征 ， 分 a 0和 a 0 两种情况根据二次函数的对称性确定出 y1与 y2的大小关系，然后对各选项分析判断即可得解 . a 0 时，二次函数图象开口向上， |x 1 2| |x2 2|， y 1 y2，无法确定 y1+y2的正负情况，
7、a(y1 y2) 0. a 0 时，二次函数图象开口向下， |x 1 2| |x2 2|， y 1 y2，无法确定 y1+y2的正负情况， a(y1 y2) 0. 综上所述，表达式正确的是 a(y1 y2) 0. 答案： C. 10.已知点 A( 2， 0)， B 为直线 x= 1 上一个动点， P 为直线 AB 与双曲线 y=1x的交点，且AP=2AB，则满足条件的点 P 的个数是 ( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 解析：这里考查的是 反比例函数与一次函数的交点问题 ： 如图，设 P(m， 1m)， B( 1， n)，直线 x= 1 与 x 轴交于 C， A ( 2，
8、0)， OA=2 ， OC=1， AC=1 ， BCy 轴， 12AB ACAP AO， P 1， P2在 y 轴上，这样的点 P 不存在，点 P4在 AB之间，不满足 AP=2AB， 过 P2作 P2Qx 轴于 Q， P 2QB 1C， 1212A B A CA P A Q， 1122m ， m= 4， P ( 4， 14)， 满足条件的点 P 的个数是 1. 答案： B. 二、填空题 (共 8 小题，每小题 3 分，满分 24分 ) 11.函数 y= 1x的自变量 x 的取值范围是 . 解析：这里考查的是 函数自变量的取值范围 ，由 二次根式的性质和分式的意义 可得 ，被开方数大于等于 0
9、，分母不 为 0，就可以求解 ： 根据二次根式有意义，分式有意义得： x0 且 x0 ， 解得： x 0. 答案： x 0. 12.已知 xy=13，则 xyy的值为 . 解析：这里考查的是 比例的性质 ： xy=13 设 x=k， y=3k， xyy= 33kkk= 23. 答案 ： 23. 13.底面直径和高都是 1 的圆柱侧面积为 . 解析：可利用圆柱侧面积公式求得： 圆柱的侧面积 =底面周长 高 ： 圆柱的侧面积 =底面周长 高 =1= . 答案 ： . 14.边长为 1 的正三角形的内切圆半径为 . 解析：这里考查的是 三角形的内切圆与内心 ，以及 等边三角形的三线合一 性质：在等边
10、三角形内 构造一个由其内切圆的半径、外接圆的半径和半边组成的 30 的直角三角形，利用锐角三角函数关系求出内切圆半径即可 . 如图所示： 内切圆的半径 OD、外接圆的半径 OB 和半边 BD 组成一个 30 的直角三角形 OBD， 则 OBD=30 ， BD=12， tanBOD= ODBD= 33， 内切圆半径 OD= 3 1 33 2 6答案 ： 36. 15.用一个平面去截一个几何体，截面形状为三角形，则这个几何体可能为： 正方体； 圆柱； 圆锥； 正三棱柱 (写出所有正确结果的序号 ). 解析： 正方体能截出三角形； 圆柱体的截面无论什么方向截取圆柱都不会截得三角形 ； 圆锥沿着母线截
11、几何体可以截出三角形； 正三棱柱能截出三角形 . 故截面可能是三角形的有 3 个 . 答案 ： . 16.方程 3(x 5)2=2(x 5)的根是 . 解析： 方程 移项 变形得： 3(x 5)2 2(x 5)=0， 提公因式法 分解因式得： (x 5)3(x 5) 2=0， 即 (x 5)(3x 17)=0 x 5=0 或 3x 17=0，解得： x1=5， x2=173. 答案 ： x1=5， x2=17317.若 a2n=5， b2n=16，则 (ab)n= . 解析：这里考查的是 幂的乘方与 积 的乘方 的相关知识 . a 2n=5， b2n=16， (an)2=5， (bn)2=16
12、， an= 5 ， bn= 4 (ab)n=an bn= 4 5 答案 ： 4 5 . 18.在 RtABC 中， C=90 ， AC=BC=1，将其放入平面直角坐标系，使 A 点与原点重合， AB在 x 轴上， ABC 沿 x 轴顺时针无滑动的滚动，点 A 再次落在 x 轴时停止滚动，则点 A 经过的路线与 x 轴围成图形的面积为 . 解析： 根据题意得： 2 ABC 绕点 B 顺时针旋转 135 ， BC 落在 x 轴上； ABC 再绕点 C 顺时针旋转 90 ， AC 落在 x 轴上，停止滚动 ，如图： 点 A 的运动轨迹是：先绕点 B 旋转 135 ，再绕点 C 旋转 90 ；如图所示
13、： 点 A经过的路线与 x轴围成的图形是：一个圆心角为 135 ，半径为 2 的扇形，加上 ABC ，再加上圆心角是 90 ，半径是 1 的扇形； 点 A 经过的路线与 x 轴围成图形的面积 = 2150 ( 2 )360+1211+ 290 1360=+ 12； 答案 ： + 12. 三、解答题 (共 10 小题，满分 66 分 ) 19.求值： 2201510 .2 5 ( 1)()2解析： 原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用乘方的意义化简，第三项利用乘方的意义化简，计算即可得到结果 . 答案： 原式 = 1 1 112 4 4 20.解关于 x 的不等式： ax x 2 0.
14、解析：这里考查含有字母的一元一次不等式的解集，要分情况分析字母的范围，然后求解 . 原式可得 ax x 2 0，即 (a 1)x 2， 当 a 1=0，则 ax x 2 0 为空集， 当 a 1 0，则 x 21a， 当 a 1 0，则 a 21a. 21.已知实数 a， b 是方程 x2 x 1=0 的两根，求 baab的值 . 解析： 根据根与系数的关系得到 a+b=1， ab= 1，再利用完全平方公式变形得到222 2()b a a babbaa b a b a b ，然后利用整体代入的方法进行计算 . 答案： 实数 a， b 是方程 x2 x 1=0 的两根 ， a+b=1 ， ab=
15、 1， 则 222 22 2 ( 1 )() 1 31b a a babbaa b a b a b 22.已知一组数据 x1， x2， x 6的平均数为 1，方差为 53(1)求： x12+x22+x 62； (2)若在这组数据中加入另一个数据 x7，重新计算，平均数无变化，求这 7 个数据的方差 (结果用分数表示 ) 解析： (1)先由数据 x1， x2， x 6的平均数为 1，得出 x1+x2+x 6=16=6 ，再根据方差为 53，得到 S2=16(x1 1)2+(x2 1)2+ (x6 1)2=53，利用完全平方公式求出 16(x12+x22+x 6226+6 )=53，进而求解即可；
16、 (2)先由数据 x1， x2， x 7的平均数为 1，得出 x1+x2+x 7=17=7 ，而 x1+x2+x 6=6，所以x7=1；再根据 16(x1 1)2+(x2 1)2+ (x6 1)2=53 ，得出 (x1 1)2+(x2 1)2+ (x61)2=10，然后根据方差的计算公式即可求出这 7 个数据的方差 . 答案： (1) 数据 x1， x2， x 6的平均数为 1， x 1+x2+x 6=16=6 ， 又 方差为 53， S 2=16(x1 1)2+(x2 1)2+ (x6 1)2 =16x12+x22+x 62 2(x1+x2+x 6)+6 =16(x12+x22+x 62 2
17、6+6 ) =16(x12+x22+x 62) 1=53， x 12+x22+x 62=16； (2) 数据 x1， x2， x 7的平均数为 1， x 1+x2+x 7=17=7 ， x 1+x2+x 6=6， x 7=1， 16(x1 1)2+(x2 1)2+ (x6 1)2=53， (x1 1)2+(x2 1)2+ (x6 1)2=10， S 2=17(x1 1)2+(x2 1)2+ (x7 1)2 =1710+(1 1)2 =107. 23.某商场举行开业酬宾活动，设立了两个可以自由转动的转盘 (如图所示，两个转盘均被等分 )，并规定：顾客购买满 188 元的商品，即可任选一个转盘转动
18、一次，转盘停止后，指针所指区域内容即为优惠方式；若指针所指区域空白，则无优惠 .已知小张在该商场消费 300元 (1)若他选择转动转盘 1，则他能得到优惠的概率为多少？ (2)选择转动转盘 1 和转盘 2，哪种方式对于小张更合算，请通过计算加以说明 . 解析： (1)选择转盘 1，可根据转盘 1 的图示， 利用概率公式求得获得优惠的概率即可； (2)分别求得转动两个转盘所获得的优惠，然后比较即可得到结论 . 答案 ： (1) 整个圆被分成了 12 个扇形，其中有 6 个扇形能享受折扣， 由图可得：转盘 1 总共有 12 块，其中优惠部分占 6 块， P(转盘 1得到优惠 )=612=12； (
19、2)由图可得：转盘 2 总共 4 块，其中优惠部分占 2 块， P(转盘 2得到优惠 )=24=12转盘 1 能获得的优惠为： 0 . 3 3 0 0 0 . 2 3 0 0 2 0 . 1 3 0 0 3 2512 元， 转盘 2 能获得的优惠为： 40 24=20 元， 选择转动转盘 1 更优惠 . 24.小敏同学测量一建筑物 CD 的高度，她站在 B 处仰望楼顶 C，测得仰角为 30 ，再往建筑物方向走 30m，到达点 F 处测得楼顶 C 的仰角为 45 (BFD 在同一直线上 ).已知小敏的眼睛与地面距离为 1.5m，求这栋建筑物 CD 的高度 (参考数据： 3 1 .732， 2 1
20、 .414.结果保留整数 ) 解析： 延长 AE 交 CD 于点 G，设 CG=xm，在直角 CGE 中利用 x 表示出 EG，然后在直角 ACG中，利用 x 表示出 AG，根据 AE=AG EG 即可列方程求得 x 的值，进而 求出 CD 的长 . 答案 ：延长 AE 交 CD 于点 G.设 CG=xm， 在 RtCGE 中， CEG=45 ，则 EG=CG=xm. 在 RtACG 中， AG=3tan30CG xm AG EG=AE， 3 x-x=30. 解得： x=15( 3 +1)152 .73240 .98(m)， 则 CD=40.98+1.5=42(m). 答：这栋建筑物 CD 的
21、高度是 41m. 25.如图， ABC 中， ACB=90 ， D、 E 分别是 BC、 BA 的中点，联结 DE， F在 DE 延长线上，且 AF=AE. (1)求证：四边形 ACEF 是平行四边形； (2)若四边形 ACEF 是菱形，求 B 的度数 . 解析： (1)由 直角三角形 的性质 斜边上的中线等于斜边的一半可得 CE=AE=BE， 那么 AF=CE，再 由 等腰三角形三线合一的性质可得 1=2 ，根据等边对等角可得然后 F=3 ，然后求出2=F ，再根据同位角相等，两直线平行求出 CEAF ，然后利用一组对边平行且相等的四边形是菱形证明 . (2)根据菱形的四条边都相等可得 AC
22、=CE，然后求出 AC=CE=AE，从而得到 AEC 是等边三角形，再根据等边三角形的每一个角都是 60 求出 CAE=60 ，然后根据直角三角形两锐角互余解答 . 答案： (1)证明： ACB=90 ， E 是 BA 的中点， CE=AE=BE ， AF=AE ， AF=CE ， 在 BEC 中， BE=CE 且 D 是 BC 的中点， ED 是等腰 BEC 底边上的中线， ED 也是等腰 BEC 的顶角平分线， 1=2 ， AF=AE ， F=3 ， 1=3 ， 2=F ， CEAF ， 又 CE=AF ， 四边形 ACEF 是平行四边形； (2)解： 四边形 ACEF 是菱形， AC=C
23、E ， 由 (1)知， AE=CE， AC=CE=AE ， AEC 是等边三角形， CAE=60 ， 在 RtABC 中， B=90 CAE=90 60=30 . 26.如图，一次函数 y=kx+b 的图象与 反比例函数 y= 7x的图象交于 A( 1， m)、 B(n， 1)两点 (1)求一次函数的解析式； (2)求 AOB 的面积 . 解析： (1)把 A 与 B 坐标代入反比例解析式求出 m 与 n的值，确定出 A与 B坐标， 再把 A与B 的坐标 代入一次函数解析式求出 k 与 b 的值，即可确定出一次函数解析式； (2)根据 A与 B的坐标求出 AB的长， 运用 点到直线的距离公式求
24、出原点 O到直线 AB的距离，即可求出三角形 AOB 面积 . 答案 ： (1)把 A( 1， m)， B(n， 1)代入反比例函数 y= 7x，得： m=7， n=7，即 A( 1， 7)，B(7， 1)， 把 A 与 B 坐标代入一次函数解析式得： 解得： k= 1， b=6，则一次函数解析式为 y= x+6. (2)A ( 1， 7)， B(7， 1)， AB= 22 82( 1 7 ) ( 7 1 ) 点 O 到直线 y= x+6 的距离 6 322d S AOB =12AB d=24. 27.如图，四边形 ABCD 内接于 O ， ADBC ， P 为 BD 上一点， APB=BAD
25、 . (1)证明： AB=CD； (2)证明： DPBD=ADBC； (2)证明： BD2=AB2+ADBC. 解析： (1)利用平行线的性质结合圆周角定理得出 ，进而得出答案； (2)根据相似三角形判定方法 得出 ADPDBC ，进而利用相似三角形的性质得出答案； (3)利用相似三角形的判定方法得出 ABPDBA ， 进而根据相似三角形的性质求得 :AB2=DBPB，再利用 (2)中 结论求得 答案 . 答案： 证明： (1)ADBC ， ADB=BDC ， ， AB=BC ； (2)APB=BAD ， BAD+BCD=180 ， APB+APD=180 ， BCD=APD ， 又 ADB=
26、CBD ， ADPDBC ， AD DPBD BCD P BD=AD BC； (3)APB=BAD ， BAD=BPA ， ABPDBA ， AB PBDB AB， AB 2=DB PB， AB 2+AD BC=DB PB+AD BC 由 (2)得： DP BD=AD BC， AB 2+AD BC=DB PB+DPBD=DB(PB+DP)=DB2， 即 BD2=AB2+AD BC. 28.已知二次函数 y=x2+bx 4 的图象与 y 轴的交点为 C，与 x轴正半轴的交点为 A，且tanACO= 14 (1)求二次函数的解析式； (2)P 为二次函数图象的顶点， Q 为其对称轴上的一点， QC
27、 平分 PQO ，求 Q 点坐标； (3)是否存在实数 x1、 x2(x1 x2)，当 x1xx 2时， y 的取值范围为2112 12yxx ？若存在，直接写在 x1， x2的值；若不存在，说明理由 . 解析： (1)首先根据 tanACO= 14，求出 OA 的值，即可判断出 A 点的坐标；然后把 A 点的坐标代入 y=x2+bx 4，求出 b 的值，即可判断出二次函数的解析式 . (2)首先根据 Q 为抛物线对称轴上的一点，设点 Q 的坐标为 (32， n)；然后根据 OQC=CQP 、CQP=OCQ ，可得 OQC=OCQ ，所以 OQ=OC，据此求出 n 的值，进而判断出 Q 点坐标
28、即可 . (3)根据题意，分 3 种情况： 当 x1x 2 32时； 当 x1 32x 2时； 当 32 x1x 2时；然后根据二次函数的最值的求法，求出满足题意的实数 x1、 x2(x1 x2)，使得当 x1xx 2时，y 的取值范围为2112 12yxx 即可 . 答案 ： (1)如图 1，连接 AC， 二次函数 y=x2+bx 4 的图象与 y 轴的交点为 C， C 点的坐标为 (0， 4)， tanACO= 14， 14OAOC， 又 OC=4 ， OA=1 ， A 点的坐标为 (1， 0)， 把 A(1， 0)代入 y=x2+bx 4， 可得 0=1+b 4， 解得 b=3， 二次函
29、数的解析式是： y=x2+3x 4. (2)如图 2， 图 1 y=x 2+3x 4， 抛物线的对称轴是： x= 32， Q 为抛物线对称轴上的一点， 设点 Q 的坐标为 ( 32， n)， 抛物线的对称轴平行于 y 轴， CQP=OCQ ， 又 OQC=CQP ， OQC=OCQ ， OQ=OC ， 223 4()2 n， 2 9 164n ， 解得 n= 552， Q 点坐标是 ( 32， 552)或 ( 32， 552). (3) 当 x1x 2 32时，二次函数 y=x2+3x 4 单调递减， y 的取值范围为2112 12yxx， 由2 1111234xx x 解得 x1= 3， 2
30、， 2， 图 2 由2 2221234xx x ， 解得 x2= 3， 2， 2， x 1x 2 32， 当 x1 32x 2时， 、当1 2 ( )3322xx 时， 可得 x1+x2 3， y 的取值范围为2112 12yxx， 由 (1)，可得2 4825x ， 由 (2)，可得 x1= 3， 2， 2， x 1 32 x2， 3 482 25 ， 没有满足题意的 x1、 x2. 、当1233()22xx 时， 可得 x1+x2 3， y 的取值范围为2112 12yxx ， 解得 x 1+x2= 1875 48949 25 1.98 1.92= 3.9 3， 没有满足题意的 x1、 x2. 当 32 x1x 2时， 二次函数 y=x2+3x 4 单调递增， y 的取值范围为2112 12yxx ， (1)x 2 (2)x 1，可得 (x1 x2)(x1x2+4)=0， x 1 x20 ， x 1x2+4=0， 2 14x x (1)， 把 (3)代入 (1)，可得 1 3 13x ， 1 32x 1 13 3x ， 2 14 13 3x x ， 313 32 ， 没有满足题意的 x1， x2. 综上可得 ： x1= 3， x2= 2 时，当 x1xx 2时， y 的取值范围为2112 12yxx .
