2014年山西省中考真题数学.docx

1、2014 年山西省中考真题数学 一、选择题 (共 10 小题，每小题 3 分，共 30分 ) 1.(3 分 )计算 -2+3 的结果是 ( ) A. 1 B. -1 C. -5 D. -6 解析 ：因为 -2， 3 异号，且 |-2| |3|，所以 -2+3=1. 答案： A. 2.(3 分 )如图，直线 AB、 CD 被直线 EF 所截， ABCD ， 1=110 ，则 2 等于 ( ) A. 65 B. 70 C. 75 D. 80 解析 ： 如图， ABCD ， 1=110 ， 1+3=180 ，即 100+3=180 ， 3=70 ，2=3=70 . 答案： B. 3.(3 分 )下列

2、运算正确的是 ( ) A. 3a2+5a2=8a4 B. a6 a2=a12 C. (a+b)2=a2+b2 D. (a2+1)0=1 解析 ： A、原式 =8a2， 答案： 项错误； B、原式 =a8， 答案： 项错误； C、原式 =a2+b2+2ab， 答案： 项错误； D、原式 =1， 答案： 项正确 . 答案： D. 4.(3 分 )如图是我国古代数学家赵爽在为周髀算经作注解时给出的 “ 弦图 ” ，它解决的数学问题是 ( ) A. 黄金分割 B. 垂径定理 C. 勾股定理 D. 正弦定理 解析 ： “ 弦图 ” ，说 明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股定理 . 答案：

3、 C. 5.(3 分 )如图是由三个小正方体叠成的一个几何体，它的左视图是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 从左边看第一层一个正方形，第二层一个正方形， 答案： C. 6.(3 分 )我们学习了一次函数、二次函数和反比例函数，回顾学习过程，都是按照列表、描点、连线得到函数的图象，然后根据函数的图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现的数学思想是 ( ) A. 演绎 B. 数形结合 C. 抽象 D. 公理化 解析 ： 学习了一次函数、二次函数和反比例函数，都是按照列表、描点、连线得到函数的图象，然后根据函数的图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现了数形结合的数学思想 . 答案： B.

4、 7.(3 分 )在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是 ( ) A. 频率就是概率 B. 频率与试验次数无关 C. 概率是随机的，与频率无关 D. 随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 解析 ： 大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率， A 、 B、 C 错误， D 正确 . 答案： D. 8.(3 分 )如图， O 是 ABC 的外接圆，连接 OA、 OB， OBA=50 ，则 C 的度数为 ( ) A. 30 B. 40 C. 50 D. 80 解析 ： OA=OB ， OBA=50 ， OAB=OBA=5

5、0 ， AOB=180 -502=80 ， C=AOB=40 . 答案： B. 9.(3 分 )PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5m (1m=0.000001m )的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们含有大量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大危害 .2.5m用科学记数法可表示为 ( ) A. 2.510 -5m B. 0.2510 -7m C. 2.510 -6m D. 2510 -5m 解析 ： 2.5m0.000001m=2.510 -6m； 答案： C. 10.(3 分 )如图，点 E 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，且 EC=2AE，直角三角形 FEG的两

6、直角边 EF、 EG 分别交 BC、 DC 于点 M、 N.若正方形 ABCD 的变长为 a，则重叠部分四边形 EMCN的面积为 ( ) A. a2 B. a2 C. a2 D. a2 解析 ： 作 EMBC 于点 M， EQCD 于点 Q， 四边形 ABCD 是正方形， BCD=90 ， 又 EPM=EQN=90 ， PEQ=90 ， PEM+MEQ=90 ， 三角形 FEG 是直角三角形， NEF=NEQ+MEQ=90 ， PEM=NEQ ， AC 是 BCD 的角平分线， EPC=EQC=90 ， EP=EN ，四边形 MCQE 是正方形， 在 EPM 和 EQN 中， ， EPMEQN

7、 (ASA)S EQN =SEPM ， 四边形 EMCN 的面积等于正方形 MCQE 的面积， 正方形 ABCD 的边长为 a， AC= a， EC=2AE ， EC= a， EP=PC= a， 正方形 MCQE 的面积 = a a= a2， 四边形 EMCN 的面积 = a2， 答案： D. 二、填空题 (共 6 小题，每小题 3 分，共 18分 ) 11.(3 分 )计算： 3a2b3 2a2b= . 解析 ： 3a2b3 2a2b=(32 ) (a2 a2)(b3 b)=6a4b4. 答案： 6a4b4. 12.(3 分 )化简 + 的结果是 . 解析 ： 原式 = + = = . 答案

8、： 13.(3 分 )如图，已知一次函数 y=kx-4 的图象与 x 轴、 y 轴分别交于 A、 B 两点，与反比例函数 y= 在第一象限内的图象交于点 C，且 A 为 BC 的中点，则 k= . 解析 ： 把 y=0 代入 y=kx-4 得 y=-4，则 B 点坐标为 (0， -4)， A 为 BC 的中点， C 点的纵坐标为 4， 把 y=4 代入 y= 得 x=2， C 点坐标为 (2， 4)， 把 C(2， 4)代入 y=kx-4 得 2k-4=4，解得 k=4. 答案： 4. 14.(3 分 )甲、乙、丙三位同学打乒乓球，想通过 “ 手心手背 ” 游戏来决定其中哪两个人先打，规则如下

9、：三个人同时各用一只手随机出示手心或手背，若只有两个人手势相同 (都是手心或都是手背 )，则这两人先打，若三人手势相同，则重新决定 .那么通过一次 “ 手心手背 ”游戏能决定甲打乒乓球的概率是 . 解析 ： 分别用 A， B 表示手心 ，手背 . 画树状图得： 共有 8 种等可能的结果，通过一次 “ 手心手背 ” 游戏能决定甲打乒乓球的有 4 种情况， 通过一次 “ 手心手背 ” 游戏能决定甲打乒乓球的概率是： = . 答案： . 15.(3 分 )一走廊拐角的横截面积如图，已知 ABBC ， ABDE ， BCFG ，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是 1m， 的圆心为 O，半径为 1m，且 E

10、OF=90 ， DE、 FG 分别与 O 相切于E、 F 两点 .若水平放置的木棒 MN 的两个端点 M、 N 分别在 AB 和 BC 上，且 MN 与 O 相切于点P， P 是 的中点，则木棒 MN 的长度为 m. 解析 ： 连接 OB，延长 OF， OE 分别交 BC 于 H，交 AB于 G， DE 、 FG 分别与 O 相切于 E、 F 两点， OEED ， OFFG ， ABDE ， BCFG ， OGAB ， OHBC ， EOF=90 ， 四边形 BGOH 是矩形， 两组平行墙壁间的走廊宽度都是 1m， O 半径为 1m， OG=OH=2 ， 矩形 BGOH 是正方形， BOG=B

11、OH=45 ， P 是 的中点， OB 经过 P 点， 在正方形 BGOH 中，边长 =2， OB=2 ， OP=1 ， BP=2 -1， p 是 MN 与 O 的切点， OBMN ， OB 是正方形 BGOH 的对角线， OBG=OBH=45 ， 在 BPM 与 BPN 中 BPMBPN (ASA)MP=NP ， MN=2BP ， BP=2 -1， MN=2 (2 -1)=4 -2， 16.(3 分 )如图，在 ABC 中， BAC=30 ， AB=AC， AD是 BC 边上的中线， ACE= BAC ，CE 交 AB 于点 E，交 AD 于点 F.若 BC=2，则 EF的长为 . 解析 ：

12、 过 F 点作 FGBC . 在 ABC 中， AB=AC， AD是 BC 边上的中线， BD=CD= BC=1， BAD=CAD= BAC=15 ，ADBC ， ACE= BAC ， CAD=ACE=15 ， AF=CF ， ACD= (180 -30 )2=75 ， DCE=75 -15=60 ， 在 RtCDF 中， AF=CF= =2， DF=CDtan60= ， FGBC ， GF ： BD=AF： AD，即 GF： 1=2： (2+ )，解得 GF=4-2 ， EF ： EC=GF： BC，即 EF： (EF+2)=(4-2 )： 2， 解得 EF= -1. 答案： -1. 三、解

13、答题 (共 8 小题，共 72 分 ) 17.(10 分 )(1)计算： (-2)2 sin60 -( )-1 ； (2)分解因式： (x-1)(x-3)+1. 解析 ： (1)本题涉及零指数幂、乘方、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点 .针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果； (2)根据整式的乘法，可得多项式，根据因式分解的方法，可得答案 . 答案： (1)原式 =2 -2 =-2 ； (2)原式 =x2-4x+3+1=(x-2)2. 点评本题考查实数的综合运算能力，是各地中考 题中常见的计算题型 .解决此类 18.(6 分 )解不等式组并求出它的正整数解： .

14、 解析 ： 先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集 . 答案： 解 得： x - ， 解 得： x2 ， 则不等式组的解集是： - x2 . 则正整数解是： 1， 2 19.(6 分 )阅读以下材料，并按要求完成相应的任务 . 几何中，平行四边形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形都是特殊的四边形，大家对于它们的性质都非常熟悉，生活中还有一种特殊的四边形 -筝形 .所谓筝形，它的形状与我们生活中风筝的骨架相似 . 定义：两组邻边分别相等的四边形，称之为筝形，如图，四边形 ABCD 是筝形，其中 AB=AD，CB=CD. 判定： 两组邻边分别相等的四边形是筝形 有一

15、条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形 显然，菱形是特殊的筝形，就一般筝形而言，它与菱形有许多相同点和不同点 如果只研究一般的筝形 (不包括菱形 )，请根据以上材料完成下列任务： (1)请说出筝形和菱形的相同点和不同点各两条； (2)请仿照图 1 的画法，在图 2 所示的 88 网格中重新设计一个由四个全等的筝形和四个全等的菱形组成的新图案，具体要求如下： 顶点都在格点上； 所涉及的图案既是轴对称图形又是中心对称图形； 将新图案中的四个筝形都图上阴影 (建议用一系列平行斜线表示阴影 ). 解析 ： (1)利用菱形的性质以及结合图形得出筝形的性质分别得出异同点即可； (2)利用轴对称图形和中

16、心对称图形的定义结合题意得出答案 . 答案： (1)相同点： 两组邻边分别相等； 有一组对角相等； 一条对角线垂直平分另一条对角线； 一条对角线平分一组对角； 都是轴对称图形； 面积等于对角线乘积的一半； 不同点： 菱形的对角线互相平分，筝形的对角线不互相平分； 菱形的四边都相等，筝形只有两组邻边分别相等； 菱形的两组对边分别平行，筝形的对边不平行； 菱形的两组对角分别相等，筝形只有一组对角相等； 菱形的邻角互补，筝形的邻角不互补； 菱形的既是轴对称图形又是中心对称图形，筝形是轴对称图形不是中心对称图形； (2)如图所示： . 20.(10 分 )某公司招聘人才，对应聘者分别进行阅读能力、思维

17、能力和表达能力三项测试，其中甲、 乙两人的成绩如下表 (单位：分 )： (1)若根据三项测试的平均成绩在甲、乙两人中录用一人，那么谁将能被录用？ (2)根据实际需要，公司将阅读、思维和表达能力三项测试得分按 3： 5： 2 的比确定每人的最后成绩，若按此成绩在甲、乙两人中录用一人，谁将被录用？ (3)公司按照 (2)中的成绩计算方法，将每位应聘者的最后成绩绘制成如图所示的频数分布直方图 (每组分数段均包含左端数值，不包含右端数值，如最右边一组分数 x 为： 85x 90)，并决定由高分到低分录用 8 名员工，甲、乙两人能否被录用？请说明理由，并求出本次招聘人才的录用率 . 解析 ： (1)根据

18、平均数的计算公式分别进行计算即可； (2)根据加权平均数的计算公式分别进行解答即可； (3)由直方图知成绩最高一组分数段 85x 90 中有 7 人，公司招聘 8 人，再根据 x 甲 =85.5分，得出甲在该组，甲一定能被录用，在 80x 85 这一组内有 10 人，仅有 1 人能被录用，而 x 乙 =84.8 分，在这一段内不一定是最高分，得出乙不一定能被录用；最后根据频率 =进行计算，即可求出本次招聘人才的录用率 . 答案： (1) 甲的平均成绩是： x 甲 = =84(分 )， 乙的平均成绩为： x 乙 = =85(分 )， x 乙 x 甲 ， 乙将被录用； (2)根据题意得： x 甲

19、= =85.5(分 )， x 乙 = =84.8(分 )； x 甲 x 乙 ， 甲将被录用； (3)甲一定被录用，而乙不一定能被录用，理由如下： 由直方图知成绩最高一组分数段 85x 90 中有 7 人，公司招聘 8 人，又因为 x 甲 =85.5 分，显然甲在该组，所以甲一定能被录用； 在 80x 85 这一组内有 10 人，仅有 1 人能被录用，而 x 乙 =84.8 分，在这一段内不一定是最高分，所以乙不一定能被录用； 由直方图知，应聘人数共有 50 人，录用人数为 8 人，所以本次招聘人才的录用率为 =16%. 21.(7 分 )如图，点 A、 B、 C 表示某旅游景区三个缆车站的位置

20、，线段 AB、 BC 表示连接缆车站的钢缆，已知 A、 B、 C 三点在同一铅直平面内，它们的海拔高度 AA ， BB ， CC 分别为 110 米、 310 米、 710 米，钢缆 AB 的坡度 i1=1： 2，钢缆 BC 的坡度 i2=1： 1，景区因改造缆车线路，需要从 A 到 C 直线架设一条钢缆，那么钢缆 AC 的长度是多少米？ (注：坡度： 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比 ) 解析 ： 过点 A作 AECC 于点 E，交 BB于点 F，过点 B 作 BDCC 于点 D，分别求出 AE、 CE，利用勾股定理求解 AC 即可 . 答案： 过点 A 作 AECC 于点 E，交 BB于点

21、 F，过点 B作 BDCC 于点 D， 则 AFB 、 BDC 、 AEC 都是直角三角形，四边形 AABF， BBCD 和 BFED 都是矩形， BF=BB -BF=BB-AA=310-110=200， CD=CC-CD=CC-BB=710-310=400， i 1=1： 2， i2=1： 1， AF=2BF=400 ， BD=CD=400 ， 又 EF=BD=400 ， DE=BF=200， AE=AF+EF=800 ， CE=CD+DE=600， 在 RtAEC 中， AC= = =1000(米 ). 答：钢缆 AC 的长度是 1000 米 . 22.(9 分 )某新建火车站站前广场需要

22、绿化的面积为 46000 米 2，施工队在绿化了 22000 米 2后，将每天的工作量增加为原来的 1.5 倍，结果提前 4 天完成了该项绿化工程 . (1)该项绿化工程原计划每天完成多少米 2？ (2)该项绿化工程中有一块长为 20 米，宽为 8 米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为 56 米 2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道 (如图所示 )，问人行通道的宽度是多少米？ 解析 ： (1)利用原工作时间 -现工作时间 =4 这一等量关系列出分式方程求解即可； (2)根据矩形的面积和为 56 平方米列出一元二次方程求解即可 . 答案 ： (1)设该项绿化工

23、程原计划每天完成 x 米 2， 根据题意得： - =4 解得： x=2000， 经检验， x=2000 是原方程的解， 答：该绿化项目原计划每天完成 2000 平方米； (2)设人行道的宽度为 x 米，根据题意得， (20-3x)(8-2x)=56 解得： x=2 或 x= (不合题意，舍去 ). 答：人行道的宽为 2 米 . 23.(11 分 )课程学习：正方形折纸中的数学 . 动手操作：如图 1，四边形 ABCD 是一张正方形纸片，先将正方形 ABCD 对折，使 BC与 AD 重合，折痕为 EF，把这个正方形展平，然后沿直线 CG 折叠，使 B 点落在 EF 上，对应点为 B . 数学思考

24、： (1)求 CBF 的度数； (2)如图 2，在图 1 的基础上，连接 AB ，试判断 BAE与 GCB 的大小关系，并说明理由； 解决问题： (3)如图 3，按以下步骤进行操作： 第一步：先将正方形 ABCD 对折，使 BC 与 AD 重合，折痕为 EF，把这个正方形展平，然后继续对折，使 AB 与 DC 重合，折痕为 MN，再把这个正方形展平，设 EF 和 MN 相交于点 O； 第二步：沿直线 CG 折叠，使 B 点落在 EF 上，对应点为 B ，再沿直线 AH 折叠，使 D 点落在 EF 上，对应点为 D ； 第三步：设 CG、 AH 分别与 MN 相交于点 P、 Q，连接 BP 、

25、PD 、 DQ 、 QB ，试判断四边形 BPDQ 的形状，并证明你的结论 . 解析 ： (1)由对折得出 CB=CB ，在 RTBFC 中， sinCBF= = ，得出 CBF=30 ， (2)连接 BB 交 CG 于点 K，由对折可知， BAE=BBE ，由 BBE+KBC=90 ，KBC+GCB=90 ，得到 BBE=GCB ，又由折叠知 GCB=GCB 得 BAE=GCB ， (3)连接 AB 利用三角形全等及对称性得出 EB=NP=FD=MQ ，由两次对折可得，OE=ON=OF=OM， OB=OP=0D=OQ ，四边形 BPDQ 为矩形，由对折知， MNEF ，于点 O，PQBD 于

26、点 0，得到四边形 BPDQ 为正方形， 答案： (1)如图 1，由对折可知， EFC=90 ， CF= CD， 四边形 ABCD 是正方形， CD=CB ， CF= BC， CB=CB ， CF= CB 在 RTBFC 中， sinCBF= = ， CBF=30 ， (2)如图 2，连接 BB 交 CG 于点 K，由对折可知， EF 垂直平分 AB， BA=BB ， BAE=BBE ， 四边形 ABCD 是正方形， ABC=90 ， BBE+KBC=90 ， 由折叠知， BKC=90 ， KBC+GCB=90 ， BBE=GCB ， 又由折叠知， GCB=GCB ， BAE=GCB ， (3

27、)四边形 BPDQ 为正方形，证明：如图 3，连接 AB 由 (2)可知 BAE=GCB ，由折叠可知， GCB=PCN ， BAE=PCN ， 由对折知 AEB=CNP=90 ， AE= AB， CN= BC， 又 四边形 ABCD 是正方形， AB=BC ， AE=CN ， 在 AEB 和 CNP AEBCNPEB=NP ， 同理可得， FD=MQ ， 由对称性可知， EB=FD ， EB=NP=FD=MQ ， 由两次对折可得， OE=ON=OF=OM， OB=OP=0D=OQ ， 四边形 BPDQ 为矩形，由对折知， MNEF ，于点 O， PQBD 于点 0， 四边形 BPDQ 为正方

28、形， 24.(13 分 )综合与探究：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 OABC 是平行四边形， A、C 两点的坐标分别为 (4， 0)， (-2， 3)，抛物线 W 经过 O、 A、 C 三点， D 是抛物线 W的顶点 . (1)求抛物线 W 的解析式及顶点 D 的坐标； (2)将抛物线 W 和 OABC 一起先向右平移 4 个单位后，再向下平移 m(0 m 3)个单位，得到抛物线 W 和 OABC ，在向下平移的过程中，设 OABC 与 OABC 的重叠部分的面积为 S，试探究：当 m 为何值时 S 有最大值，并求出 S 的最大值； (3)在 (2)的条件下，当 S 取最大值时，

29、设此时抛物线 W 的顶点为 F，若点 M 是 x轴上的动点，点 N 时抛物线 W 上的动点，试判断是否存在这样的点 M 和点 N，使得以 D、 F、 M、 N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析 ： (1)利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而求出顶点 D 的坐标； (2)由平移性质，可知重叠部分为一平行四边形 .如答图 2，作辅助线，利用相似比例式求出平行四边形的边长和高，从而求得其面积的表达式；然后利用二次函数的性质求出最值； (3)本问涉及两个动点，解题关键是利用平行四边形的判定与性质，区分点 N 在 x 轴上方、下方两种情况，分类

30、讨论，避免漏解 .设 M(t， 0)，利用全等三角形求出点 N 的坐标，代入抛物线 W 的解析式求出 t 的值，从而求得点 M 的坐标 . 答案： (1)设抛物线 W 的解析式为 y=ax2+bx+c， 抛物线 W 经 过 O(0， 0)、 A(4， 0)、 C(-2， 3)三点， ，解得： ， 抛物线 W 的解析式为 y= x2-x. y= x2-x= (x-2)2- 1， 顶点 D 的坐标为 (2， -1). (2)由 OABC 得， CBOA ， CB=OA=4. 又 C 点坐标为 (-2， 3)， B 点的坐标为 (2， 3). 如答图 2，过点 B 作 BEx 轴于点 E，由平移可知

31、，点 C 在 BE 上，且 BC=m . BE=3 ， OE=2， EA=OA -OE=2. CBx 轴， BCGBEA ， ，即 ， CG= m. 由平移知， OABC 与 OABC 的重叠部分四边形 CHAG 是平行四边形 . S=CG CE= m(3-m)=- (x- )2+ ， 当 m= 时， S 有最大值为 . (3)存在 . 在 (2)的条件下，抛物线 W 向右平移 4 个单位，再向下平移 个单位，得到抛物线 W ， D (2， -1)， F (6， - )； 抛物线 W 的解析式为： y= (x-6)2- . 设 M(t， 0)，以 D、 F、 M、 N 为顶点的四边形是平行四边

32、形， 若点 N 在 x 轴下方，如答题 3 所示： 过点 D 作 DPy 轴，过点 F 作 FPDP 于点 P， D (2， -1)， F(6， - )， DP= ， FP=4； 过点 N 作 DQx 轴于点 Q，由四边形 FDMN 为平行四边形，易证 DFPNMQ ， MQ=FP=4 ， NQ=DP= ， N (4+t， - )， 将点 N 坐标代入抛物线 W 的解析式 y= (x-6)2- ，得： (t-2)2- =- ， 来源 :Zxxk.Com 解得： t=0 或 t=4， 点 M 的坐标为 (0， 0)或 (4， 0)； 若点 N 在 x 轴上方， (请自行作图 ) 与 同理，得 N(4-t， ) 将点 N 坐标代入抛物线 W 的解析式 y= (x-6)2- ，得： (t-10)2- = ， 解得： t=6 或 t=14， 点 M 的坐标为 (6， 0)或 (14， 0). 综上所述，存在这样的点 M 和点 N，点 M 的坐标分别为 (0， 0)， (4， 0)， (6， 0)， (14， 0).