1、考研数学一-线性代数特征值与特征向量、二次型及答案解析(总分：138.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：4.00)1.设 A为 n阶可逆矩阵， 是 A的一个特征值，则 A的伴随矩阵 A*的特征值之一是 A. -1|A|n B. -1|A| C.|A| D.|A| n（分数：0.50）A.B.C.D.2.设 =2 是非奇异矩阵 A的一个特征值，则矩阵 有一个特征值等于 A B C D （分数：0.50）A.B.C.D.3.设 A是 n阶实对称矩阵，P 是 n阶可逆矩阵已知 n维列向量 是 A的属于特征值 的特征向量，则矩阵(P -1 AP) T 属于特征值 的特征向量是
2、A.P-1 B.PT C.P D.(P-1)T（分数：0.50）A.B.C.D.4.n阶矩阵 A具有 n个不同的特征值是 A与对角矩阵相似的（分数：0.50）A.充分必要条件B.充分而非必要条件C.必要而非充分条件D.既非充分也非必要条件5.设 A，B 为 n阶矩阵，且 A与 B相似E 为 n阶单位矩阵，则（分数：0.50）A.E-A=E-BB.A与 B有相同的特征值和特征向量C.A与 B都相似于一个对角矩阵D.对任意常数 t，tE-A 与 tE-B相似6.设矩阵 （分数：0.50）A.2B.3C.4D.57.设 A，B 为同阶可逆矩阵，则 A.AB=BA B.存在可逆矩阵 P，使 p-1AP
3、=B C.存在可逆矩阵 C，使 CTAC=B D.存在可逆矩阵 P和 Q，使 PAQ=B（分数：1.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：4，分数：8.00)8.矩阵 （分数：2.00）9.矩阵 （分数：2.00）10.若二次型 （分数：2.00）11.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 -x 3 ) 2 +(x 3 +x 1 ) 2 的秩为 1。 （分数：2.00）三、解答题(总题数：28，分数：126.00)12.求矩阵 （分数：3.00）_设 （分数：6.00）(1).试求矩阵 A的特征值（分数：3.00）_(2).求矩阵 E+A -1
4、 的特征值，其中 E是 3阶单位矩阵（分数：3.00）_13.设方阵 A满足条件 A T A=E，其中 A T 是 A的转置矩阵，E 为单位矩阵试证明 A的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于 1 （分数：3.00）_14.设 A为 4阶矩阵，满足条件 AA T -2E，|A|0，其中 E是 4阶单位矩阵，求方阵 A的伴随矩阵 A*的一个特征值 （分数：3.00）_15.已知向量 =(1，k，1) T 是矩阵 （分数：2.00）_设向量 =(a 1 ，a 2 ，a n ) T ，=(b 1 ，b 2 ，b n ) T 都是非零向量，且满足条件 T =0，记 n阶矩阵 A= T 求：（分数：6.
5、00）(1).A 2（分数：3.00）_(2).矩阵 A的特征值和特征向量（分数：3.00）_16.设矩阵 可逆，向量 （分数：3.00）_设矩阵 A与 B相似，其中 （分数：6.00）(1).求 x和y 的值（分数：3.00）_(2).求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=B（分数：3.00）_17.设 （分数：3.00）_18.设 3阶矩阵 A满足 A i =i i (i=1，2，3)，其中列向量 1 =(1，2，2) T ， 2 =(2，-2，1) T ， 3 =(-2，-1，2) T ，试求矩阵 A （分数：3.00）_设矩阵 A与 B相似，且 （分数：6.00）(1).求 a，b 的
6、值（分数：3.00）_(2).求可逆矩阵 P，使 P -1 AP=B（分数：3.00）_19.设矩阵 （分数：3.00）_20.设矩阵 （分数：3.00）_21.若矩阵 （分数：3.00）_设 n阶矩阵 （分数：6.00）(1).求 A的特征值和特征向量；（分数：3.00）_(2).求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP为对角矩阵（分数：3.00）_设 3阶实对称矩阵 A的特征值是 1，2，3；矩阵 A的属于特征值 1，2 的特征向量分别是 1 =(-1，-1，1) T ， 2 =(1，-2，-1) T （分数：6.00）(1).求 A的属于特征值 3的特征向量（分数：3.00）_(2).求矩阵
7、 A（分数：3.00）_设矩阵 （分数：6.00）(1).a的值；a=-2（分数：3.00）_(2).正交矩阵 Q，使 Q T AQ为对角矩阵（分数：3.00）_设 A为 3阶实对称矩阵，且满足条件 A 2 +2A=0，已知 A的秩 r(A)=2（分数：6.00）(1).求 A的全部特征值；（分数：3.00）_(2).当 k为何值时，矩阵 A+kE为正定矩阵，其中 E为 3阶单位矩阵（分数：3.00）_22.设实对称矩阵 （分数：3.00）_设 3阶实对称矩阵 A的秩为 2， 1 = 2 =6是 A的二重特征值若 1 =(1，1，0) T ， 2 =(2，1，1) T ， 3 =(-1，2，-
8、3)T 都是 A的属于特征值 6的特征向量（分数：6.00）(1).求 A的另一特征值和对应的特征向量；（分数：3.00）_(2).求矩阵 A（分数：3.00）_23.设二次型 经正交变换 x=Py化成 （分数：3.00）_已知二次型 （分数：6.00）(1).写出二次型 f的矩阵表达式（分数：3.00）_(2).用正交变换把二次型 f化为标准形，并写出相应的正交矩阵（分数：3.00）_设二次型 （分数：6.00）(1).求 a，b 的值；（分数：3.00）_(2).利用正交变换将二次型 f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵（分数：3.00）_24.考虑二次型 （分数：3.00）
9、_25.设 A，B 分别为 m阶，n 阶正定矩阵，试判定分块矩阵 （分数：5.00）_26.设矩阵 （分数：3.00）_设矩阵 （分数：6.00）(1).已知 A的一个特征值为 3，试求 y（分数：3.00）_(2).求可逆矩阵 P，使(AP) T (AP)为对角矩阵（分数：3.00）_设 A为 n阶实对称矩阵，r(A)=n，A ij 是 A=(a ij )中元素 a ij 的代数余子式(i，j=1，2，n)二次型 （分数：8.00）(1).记 x=(x 1 ，x 2 ，x n ) T ，把 f(x 1 ，x 2 ，x n )写成矩阵形式，并证明二次型 f(x)矩阵为 A -1 ；（分数：4.
10、00）_(2).二次型 g(x)=x T Ax与 f(x)的规范型是否相同?说明理由（分数：4.00）_考研数学一-线性代数特征值与特征向量、二次型答案解析(总分：138.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：4.00)1.设 A为 n阶可逆矩阵， 是 A的一个特征值，则 A的伴随矩阵 A*的特征值之一是 A. -1|A|n B. -1|A| C.|A| D.|A| n（分数：0.50）A.B. C.D.解析：2.设 =2 是非奇异矩阵 A的一个特征值，则矩阵 有一个特征值等于 A B C D （分数：0.50）A.B. C.D.解析：3.设 A是 n阶实对称矩阵，P 是
11、n阶可逆矩阵已知 n维列向量 是 A的属于特征值 的特征向量，则矩阵(P -1 AP) T 属于特征值 的特征向量是 A.P-1 B.PT C.P D.(P-1)T（分数：0.50）A.B. C.D.解析：4.n阶矩阵 A具有 n个不同的特征值是 A与对角矩阵相似的（分数：0.50）A.充分必要条件B.充分而非必要条件 C.必要而非充分条件D.既非充分也非必要条件解析：5.设 A，B 为 n阶矩阵，且 A与 B相似E 为 n阶单位矩阵，则（分数：0.50）A.E-A=E-BB.A与 B有相同的特征值和特征向量C.A与 B都相似于一个对角矩阵D.对任意常数 t，tE-A 与 tE-B相似 解析：
12、6.设矩阵 （分数：0.50）A.2B.3C.4 D.5解析：7.设 A，B 为同阶可逆矩阵，则 A.AB=BA B.存在可逆矩阵 P，使 p-1AP=B C.存在可逆矩阵 C，使 CTAC=B D.存在可逆矩阵 P和 Q，使 PAQ=B（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：二、填空题(总题数：4，分数：8.00)8.矩阵 （分数：2.00）解析：49.矩阵 （分数：2.00）解析：410.若二次型 （分数：2.00）解析：11.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 -x 3 ) 2 +(x 3 +x 1 ) 2 的秩为 1。 （分数：2.00
13、）解析：2三、解答题(总题数：28，分数：126.00)12.求矩阵 （分数：3.00）_正确答案：()解析：=1，对应的特征向量为 k(0，2，1) T ，k0设 （分数：6.00）(1).试求矩阵 A的特征值（分数：3.00）_正确答案：()解析：特征值为：1，1，-5(2).求矩阵 E+A -1 的特征值，其中 E是 3阶单位矩阵（分数：3.00）_正确答案：()解析：特征值为：13.设方阵 A满足条件 A T A=E，其中 A T 是 A的转置矩阵，E 为单位矩阵试证明 A的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于 1 （分数：3.00）_正确答案：()解析：用定义，14.设 A为 4阶矩
14、阵，满足条件 AA T -2E，|A|0，其中 E是 4阶单位矩阵，求方阵 A的伴随矩阵 A*的一个特征值 （分数：3.00）_正确答案：()解析：15.已知向量 =(1，k，1) T 是矩阵 （分数：2.00）_正确答案：()解析：用特征值和特征向量的定义，k=-2 或 k=1设向量 =(a 1 ，a 2 ，a n ) T ，=(b 1 ，b 2 ，b n ) T 都是非零向量，且满足条件 T =0，记 n阶矩阵 A= T 求：（分数：6.00）(1).A 2（分数：3.00）_正确答案：()解析：A 2 =0(2).矩阵 A的特征值和特征向量（分数：3.00）_正确答案：()解析： 1 =
15、 2 = n =016.设矩阵 可逆，向量 （分数：3.00）_正确答案：()解析：a=2，b=1，=1 或 a=2，b=-2，=4设矩阵 A与 B相似，其中 （分数：6.00）(1).求 x和y 的值（分数：3.00）_正确答案：()解析：x=0，y=-2(2).求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=B（分数：3.00）_正确答案：()解析：17.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：x+y=018.设 3阶矩阵 A满足 A i =i i (i=1，2，3)，其中列向量 1 =(1，2，2) T ， 2 =(2，-2，1) T ， 3 =(-2，-1，2) T ，试求矩阵 A （分数：
16、3.00）_正确答案：()解析：设矩阵 A与 B相似，且 （分数：6.00）(1).求 a，b 的值（分数：3.00）_正确答案：()解析：a=5，b=6(2).求可逆矩阵 P，使 P -1 AP=B（分数：3.00）_正确答案：()解析：19.设矩阵 （分数：3.00）_正确答案：()解析：20.设矩阵 （分数：3.00）_正确答案：()解析：21.若矩阵 （分数：3.00）_正确答案：()解析：a=0，设 n阶矩阵 （分数：6.00）(1).求 A的特征值和特征向量；（分数：3.00）_正确答案：()解析：当 b0 时，A 的特征值为 1 =1+(n-1)b， 2 = n =1-b 对 1
17、 =1+(n-1)b，A 的属于 1 的全部特征向量为 k 1 =k(1，1，1，1) T 对 2 =1-b，A 的属于 2 的全部特征向量为 k 2 2 +k 3 3 +k n n 其中 2 =(1，-1，0，0) T ， 3 =(1，0，-1，0) T ， n =(1，0，0，-1) T 当 b=0时，特征值为 1 = n =1，任意非零列向量均为特征向量(2).求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP为对角矩阵（分数：3.00）_正确答案：()解析：当 b0 时，A 有 n个线性无关的特征向量，令 P=( 1 ， 2 ， n )，则 设 3阶实对称矩阵 A的特征值是 1，2，3；矩阵 A的属
18、于特征值 1，2 的特征向量分别是 1 =(-1，-1，1) T ， 2 =(1，-2，-1) T （分数：6.00）(1).求 A的属于特征值 3的特征向量（分数：3.00）_正确答案：()解析： 3 =k(1，0，1) T ，k0(2).求矩阵 A（分数：3.00）_正确答案：()解析：设矩阵 （分数：6.00）(1).a的值；a=-2（分数：3.00）_正确答案：()解析：a=-2(2).正交矩阵 Q，使 Q T AQ为对角矩阵（分数：3.00）_正确答案：()解析：设 A为 3阶实对称矩阵，且满足条件 A 2 +2A=0，已知 A的秩 r(A)=2（分数：6.00）(1).求 A的全部
19、特征值；（分数：3.00）_正确答案：()解析： 1 = 2 =-2， 3 =0(2).当 k为何值时，矩阵 A+kE为正定矩阵，其中 E为 3阶单位矩阵（分数：3.00）_正确答案：()解析：k222.设实对称矩阵 （分数：3.00）_正确答案：()解析：设 3阶实对称矩阵 A的秩为 2， 1 = 2 =6是 A的二重特征值若 1 =(1，1，0) T ， 2 =(2，1，1) T ， 3 =(-1，2，-3)T 都是 A的属于特征值 6的特征向量（分数：6.00）(1).求 A的另一特征值和对应的特征向量；（分数：3.00）_正确答案：()解析：=0，k(-1，1，1) T ，k0(2).
20、求矩阵 A（分数：3.00）_正确答案：()解析：23.设二次型 经正交变换 x=Py化成 （分数：3.00）_正确答案：()解析：=0已知二次型 （分数：6.00）(1).写出二次型 f的矩阵表达式（分数：3.00）_正确答案：()解析：(2).用正交变换把二次型 f化为标准形，并写出相应的正交矩阵（分数：3.00）_正确答案：()解析：设二次型 （分数：6.00）(1).求 a，b 的值；（分数：3.00）_正确答案：()解析：a=1，b=2(2).利用正交变换将二次型 f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵（分数：3.00）_正确答案：()解析：24.考虑二次型 （分数：3.
21、00）_正确答案：()解析：-2125.设 A，B 分别为 m阶，n 阶正定矩阵，试判定分块矩阵 （分数：5.00）_正确答案：()解析：先检验 C为对称矩阵，再用定义证明26.设矩阵 （分数：3.00）_正确答案：()解析：，k-2 且 k0设矩阵 （分数：6.00）(1).已知 A的一个特征值为 3，试求 y（分数：3.00）_正确答案：()解析：y=2(2).求可逆矩阵 P，使(AP) T (AP)为对角矩阵（分数：3.00）_正确答案：()解析：(不唯一)设 A为 n阶实对称矩阵，r(A)=n，A ij 是 A=(a ij )中元素 a ij 的代数余子式(i，j=1，2，n)二次型 （分数：8.00）(1).记 x=(x 1 ，x 2 ，x n ) T ，把 f(x 1 ，x 2 ，x n )写成矩阵形式，并证明二次型 f(x)矩阵为 A -1 ；（分数：4.00）_正确答案：()解析：A -1 (2).二次型 g(x)=x T Ax与 f(x)的规范型是否相同?说明理由（分数：4.00）_正确答案：()解析：规范性相同
