【考研类试卷】考研数学一（二次型）模拟试卷3及答案解析.doc

1、考研数学一（二次型）模拟试卷 3 及答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设矩阵 A= ，下列矩阵中与 A 既相似又合同的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 A 为 3 阶实对称矩阵，如果二次曲面方程(x，y，z)A =1 在正交变换下的标准方程的图形如右图所示，则 A 的正特征值的个数为( ) （分数：2.00）A.0。B.1。C.2。D.3。4.n 元实二次型正定的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.该二次型的秩等于 n。B.该

2、二次型的负惯性指数等于 n。C.该二次型的正惯性指数等于二次型矩阵的秩。D.该二次型的正惯性指数等于 n。5.n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.二次型 x T Ax 的负惯性指数为零。B.存在可逆矩阵 P 使 P -1 AP=E。C.存在 n 阶矩阵 C 使 A=C T C。D.A 的伴随矩阵 A * 与 E 合同。6.已知 A= （分数：2.00）A.等价、不相似、合同。B.不等价、不相似、不合同。C.等价、相似、不合同。D.等价、相似、合同。7.设 A，B 均为正定矩阵，则( )（分数：2.00）A.AB，A+B 都正定。B.AB 正定，A+B 非正定。

3、C.AB 非正定，A+B 正定。D.AB 不一定正定，A+B 正定。8.对于 n 元二次型 x T Ax，下述命题中正确的是( )（分数：2.00）A.化 x T Ax 为标准形的坐标变换是唯一的。B.化 x T Ax 为规范形的坐标变换是唯一的。C.x T Ax 的标准形是唯一的。D.x T Ax 的规范形是唯一的。9.设 A= （分数：2.00）A.合同且相似。B.合同但不相似。C.不合同但相似。D.不合同且不相似。10.二次型 f=x T Ax 经过满秩线性变换 x=Py 可化为二次型 y T By，则矩阵 A 与 B( )（分数：2.00）A.一定合同。B.一定相似。C.既相似又合同。

4、D.既不相似也不合同。11.与二次型 f=x 1 2 +x 2 2 +2x 3 2 +6xx 的矩阵 A 既合同又相似的矩阵是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.12.设 A，B 为同阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.AB=BA。B.存在可逆阵 P，使 P -1 AP=B。C.存在可逆阵 C，使 C T AC=B。D.存在可逆阵 P 和 Q，使 PAQ=B。二、填空题(总题数：9，分数：18.00)13.若二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 2 +x 3 2 +x 2 2 +2x 1 x 2 +tx 2 x 3 是正定的，则 t 的取值范围是 1。（分数：2.0

5、0）填空项 1:_14.设 A 是 3 阶实对称矩阵，A 的每行元素的和为 5，则二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax 在 x 0 =(1，1，1) T 的值 f(1，1，1)=x 0 T Ax 0 = 1。（分数：2.00）填空项 1:_15.设 f(x 1 ，x 2 )= （分数：2.00）填空项 1:_16.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 )=x 3 2 +4x 4 2 +2x 1 x 2 +4x 3 x 4 的规范形是 1。（分数：2.00）填空项 1:_17.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 -x

6、 3 ) 2 +(x 3 +x 1 ) 2 的秩为 1。（分数：2.00）填空项 1:_18.已知二次型 x T Ax=x 1 2 -5x 2 2 +x 3 2 +2ax 1 x 2 +2bx 2 x 3 +2x 1 x 3 的秩为 2，(2，1，2) T 是 A 的特征向量，那么经正交变换后二次型的标准形是 1。（分数：2.00）填空项 1:_19.若二次曲面的方程 x 2 +3y 2 +z 2 +2axy+2xz+2yz=4 经正交变换化为 y 1 2 +4z 1 2 =4，则 a= 1。（分数：2.00）填空项 1:_20.设 A 是三阶实对称矩阵，满足 A 3 =2A 2 +5A-6E

7、，且 kE+A 是正定矩阵，则 k 的取值范围是 1。（分数：2.00）填空项 1:_21.已知实二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=a(x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 )+4x 1 x 2 +4x 1 x 3 +4x 2 x 3 ，经正交换 x=Py 可化成标准形 f=6y 1 2 ，则 a= 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：26.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_23.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +5x 2 2 +2x 3 2 +4x 1 x 2 +2x 1 x 3

8、 +2ax 2 x 3 的秩为 2，求常数 a。（分数：2.00）_24.用配方法将二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +2x 2 2 +2x 1 x 2 -2x 1 x 3 +2x 2 x 3 化为标准形。（分数：2.00）_25.设 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=4x 2 2 -3x 3 2 -4x 1 x 3 +4x 1 x 2 +8x 2 x 3 。 ()写出二次型的矩阵形式； ()用正交变换法求二次型的标准形，并写出正交阵。（分数：2.00）_26.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 2 +3x 2 2 +3x 3 2 +2ax 2 x 3

9、 (a0)经过正交变换化为标准形 f=y 1 2 +2y 2 2 +5y 3 2 ，求参数 a 及所用的正交变换。（分数：2.00）_27.设 n 元实二次型 f(x 1 ，x n )=(x 1 +a 1 x 2 ) 2 +(x 2 +a 2 x 3 ) 2 +(x x-1 +a n-1 x n ) 2 +(x n +a n x 1 ) 2 ， 其中 a 1 ，a n 均为实数。试问：当 a 1 ，a n 满足何种条件时，二次型 f 是正定的。（分数：2.00）_28.设 A、B 分别为 m、n 阶正定矩阵，试判别矩阵 C= （分数：2.00）_29.证明：若 A 是 n 阶正定矩阵，则 A

10、* 是正定矩阵。（分数：2.00）_30.试用配方法化二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 2 +3x 2 2 +x 3 2 +4x 1 x 2 -4x 1 x 3 -8x 2 x 3 为标准形和规范形，写出相应的可逆线性变换矩阵，并求二次型的秩及止、负惯性指数。（分数：2.00）_31.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(1-a)x 1 2 +(1-a)x 2 2 +2x 3 2 +2(1+a)x 1 x 2 的秩为 2。 ()求 a 的值； ()求正交变换 x=Qy，把 f(x，x，x)化成标准形； ()求方程 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=0 的解。（

11、分数：2.00）_32.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 -4x 1 x 2 -4x 1 x 3 +2ax 2 x 3 通过正交变换x=Py 化成标准形 f=3y 1 2 +3y 2 2 +by 3 2 ，求参数 a，b 及正交矩阵 P。（分数：2.00）_33.已知三元二次型 xTAx 的平方项系数均为 0，设 a=(1，2，-1) T 且满足 A=2。 ()求该二次型表达式； ()求正交变换 x=Qy 化二次型为标准形，并写出所用坐标变换； ()若 A+kE 正定，求 k 的取值。（分数：2.00）_34.设二次型 f(x 1 ，x 2

12、 ，x 3 )=ax 1 2 +ax 2 2 +ax 3 2 +2x 1 x 2 正定，求 a 的取值范围。（分数：2.00）_考研数学一（二次型）模拟试卷 3 答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设矩阵 A= ，下列矩阵中与 A 既相似又合同的是( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：相似矩阵的迹相等。矩阵 A 的迹 tr(A)=0+0+2+2=4，只有选项(A)中的矩阵的迹为 4。由排除法可知，应选(A)。3.设 A 为 3

13、阶实对称矩阵，如果二次曲面方程(x，y，z)A =1 在正交变换下的标准方程的图形如右图所示，则 A 的正特征值的个数为( ) （分数：2.00）A.0。B.1。 C.2。D.3。解析：解析：旋转双叶双曲面的标准形式为4.n 元实二次型正定的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.该二次型的秩等于 n。B.该二次型的负惯性指数等于 n。C.该二次型的正惯性指数等于二次型矩阵的秩。D.该二次型的正惯性指数等于 n。 解析：解析：二次型正定的充分必要条件是二次型的正惯性指数等于 n。因此选(D)。5.n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.二次型 x T Ax 的负

14、惯性指数为零。B.存在可逆矩阵 P 使 P -1 AP=E。C.存在 n 阶矩阵 C 使 A=C T C。D.A 的伴随矩阵 A * 与 E 合同。 解析：解析：选项(A)是必要不充分条件。这是因为 R(f)=p+qn。 当 q=0 时，有 R(f)=pn。此时有可能 pn，故二次型 x T Ax 不一定是正定二次型。因此矩阵 A 不一定是正定矩阵。例如 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 3 2 。 选项(B)是充分不必要条件。这是因为 P -1 AP=E 表示 A 与 E 相似，即 A 的特征值全是1，此时 A 是正定的。但只要 A 的特征值全大于零就可保证 A 正定，因

15、此特征值都是 1 属于不必要条件。 选项(C)中的矩阵 C 没有可逆的条件，因此对于 A=C T C 不能说 A 与 E 合同，也就没有 A 是正定矩阵的结论。例如 C= ，A=C T C= 显然矩阵不正定。 关于选项(D)，由于 A 正定 A -1 正定 A * 正定 6.已知 A= （分数：2.00）A.等价、不相似、合同。 B.不等价、不相似、不合同。C.等价、相似、不合同。D.等价、相似、合同。解析：解析：由于 R(A)=3，R(B)=3，所以 A 与 B 等价。 A 与 B 均为实对称矩阵，若特征值相同，则 A 与B 相似，否则 A 与 B 不相似。由于 所以 A 的特征值为 A =

16、-1，3，1，B 的特征值为 B = 7.设 A，B 均为正定矩阵，则( )（分数：2.00）A.AB，A+B 都正定。B.AB 正定，A+B 非正定。C.AB 非正定，A+B 正定。D.AB 不一定正定，A+B 正定。 解析：解析：由 A，B 均为正定矩阵可知，对任意 x0，总有 x T Ax0，x T Bx0，于是 x T (A+B)x=x T Ax+x T Bx0，所以 A+B 正定。 因为矩阵的乘法不满足交换律，所以 AB 不一定是对称矩阵，于是 AB不一定正定。例如：A= 8.对于 n 元二次型 x T Ax，下述命题中正确的是( )（分数：2.00）A.化 x T Ax 为标准形的

17、坐标变换是唯一的。B.化 x T Ax 为规范形的坐标变换是唯一的。C.x T Ax 的标准形是唯一的。D.x T Ax 的规范形是唯一的。 解析：解析：化二次型为标准形既可用正交变换法也可用配方法，化成标准形和所用坐标变换都是不唯一的。因此(A)、(C)均不正确。 规范形由二次型的正、负惯性指数所确定，而正、负惯性指数在坐标变换下是不变的。故(D)正确。9.设 A= （分数：2.00）A.合同且相似。 B.合同但不相似。C.不合同但相似。D.不合同且不相似。解析：解析：因 A 为实对称矩阵，且 10.二次型 f=x T Ax 经过满秩线性变换 x=Py 可化为二次型 y T By，则矩阵 A

18、 与 B( )（分数：2.00）A.一定合同。 B.一定相似。C.既相似又合同。D.既不相似也不合同。解析：解析：f=x T Ax=(Py) T A(Py)=y T (P T AP)y=y T By，即 B=P T AP，所以矩阵 A 与 B 一定合同。 只有当 P 是正交矩阵时，即 P T =P -1 时，才有 A 与 B 既相似又合同。11.与二次型 f=x 1 2 +x 2 2 +2x 3 2 +6xx 的矩阵 A 既合同又相似的矩阵是( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：二次型 f 的矩阵 A= 因为两个实对称矩阵相似必合同，所以只需计算出矩阵 A 的特征值即可。由矩

19、阵 A 的特征方程 E-A=12.设 A，B 为同阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.AB=BA。B.存在可逆阵 P，使 P -1 AP=B。C.存在可逆阵 C，使 C T AC=B。D.存在可逆阵 P 和 Q，使 PAQ=B。 解析：解析：矩阵的乘法不满足交换律。事实上，令 A=二、填空题(总题数：9，分数：18.00)13.若二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 2 +x 3 2 +x 2 2 +2x 1 x 2 +tx 2 x 3 是正定的，则 t 的取值范围是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：二次型 f 的矩阵为 A=

20、，因为 f 正定，因此需满足 A 的顺序主子式都大于零。即 1 =2， 2 = =1， 3 =A=1- t 2 0。 故 f 正定的条件是 1- t 2 0，即 14.设 A 是 3 阶实对称矩阵，A 的每行元素的和为 5，则二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax 在 x 0 =(1，1，1) T 的值 f(1，1，1)=x 0 T Ax 0 = 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：15）解析：解析：因为 A 是 3 阶实对称矩阵，A 的每行元素的和为 5，故有 因为 x 0 = 将上式两边左乘 x 0 T ，得 f(1，1，1)=x 0 T Ax 0

21、 =(1，1，1) 15.设 f(x 1 ，x 2 )= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：将行列式展开即可得到二次型的一般表达式 f(x 1 ，x 2 )= =3x 1 x 2 +5x 1 +2x 2 +3x 1 x 2 =x 1 ，x 2 因此对应矩阵为 16.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 )=x 3 2 +4x 4 2 +2x 1 x 2 +4x 3 x 4 的规范形是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y 1 2 +y 2 2 -y 3 2）解析：解析：二次型矩阵 A= 17.二次型 f(x 1 ，x

22、2 ，x 3 )=(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 -x 3 ) 2 +(x 3 +x 1 ) 2 的秩为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：由于 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 2 +2x 2 2 +2x 3 2 +2x 1 x 2 +2x 1 x 3 -2x 2 x 3 的矩阵为 对 A 作初等行变换得 18.已知二次型 x T Ax=x 1 2 -5x 2 2 +x 3 2 +2ax 1 x 2 +2bx 2 x 3 +2x 1 x 3 的秩为 2，(2，1，2) T 是 A 的特征向量，那么经正交变换后二次型的标准形是 1。

23、（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3y 1 2 -6y 3 2）解析：解析：求二次型 x T Ax 在正交变换下的标准形也就是求二次型的矩阵 A 的特征值。由于 且(2，1，2) T 是 A 的特征向量，则有 解得 a=b=2， 1 =3。 由秩为 2 知，A=0，于是 2 =0是 A 的另一个特征值，再由 19.若二次曲面的方程 x 2 +3y 2 +z 2 +2axy+2xz+2yz=4 经正交变换化为 y 1 2 +4z 1 2 =4，则 a= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：本题等价于将二次型 f(x，y，z)=x 2

24、+3y 2 +z 2 +2axy+2xz+2yz 经正交变换后化为 f=y 1 2 +4z 1 2 。由正交变换的特点可知，该二次型的特征值为 1，4，0。由于矩阵的行列式值是对应特征值的乘积，且该二次型的矩阵为 A= 20.设 A 是三阶实对称矩阵，满足 A 3 =2A 2 +5A-6E，且 kE+A 是正定矩阵，则 k 的取值范围是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k2）解析：解析：将 A 3 =2A 2 +5A-6E 变形可得 A 3 -2A 2 -5A+6E=O。 设 A 有特征值 ，则 满足 3 -2 2 -5+6=0， 因式分解得 3 -2 2 -5+6

25、=(-1)(+2)(-3)=0， 故 A 的特征值是1，=2，3，因此 kE+A 的特征值为 k+1，k-2，k+3。由于 kE+A 是正定矩阵，因此 kE+A 的特征值均大于零，故 k2。21.已知实二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=a(x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 )+4x 1 x 2 +4x 1 x 3 +4x 2 x 3 ，经正交换 x=Py 可化成标准形 f=6y 1 2 ，则 a= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：已知二次型经正交变换化成标准形 f=6y 1 2 ，知 f 所对应的实对称矩阵的特征值应为6，0，0，且该

26、实对称矩阵为 又由 三、解答题(总题数：13，分数：26.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：23.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +5x 2 2 +2x 3 2 +4x 1 x 2 +2x 1 x 3 +2ax 2 x 3 的秩为 2，求常数 a。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型 f 的矩阵 A= 因为二次型 f 的秩为 2，所以 R(A)=2，而 A= )解析：24.用配方法将二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +2x 2 2 +2x 1 x 2 -2x 1 x 3 +2x 2 x

27、 3 化为标准形。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +2x 1 (x 2 -x 3 )+(x 2 -x 3 ) 2 -(x 2 -x 3 ) 2 +2x 2 2 +2x 2 x 3 =(x 1 +x 2 -x 3 ) 2 +x 2 2 +4x 2 x 3 -x 3 2 =(x 1 +x 2 -x 3 ) 2 +x 2 2 +4x 2 x 3 +4x 3 2 -5x 3 2 =(x 1 +x 2 -x 3 ) 2 +(x 2 +2x 3 ) 2 -5x 2 3 。 即 线性变换矩阵 )解析：25.设 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=4x

28、 2 2 -3x 3 2 -4x 1 x 3 +4x 1 x 2 +8x 2 x 3 。 ()写出二次型的矩阵形式； ()用正交变换法求二次型的标准形，并写出正交阵。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()令 A= ，则 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax。 ()由二次型矩阵的特征方程E-A= =(+6)(-1)(-6)=0， 解得特征值 1 =-6， 2 =1， 3 =6。 当 1 =-6时，由(-6E-A)x=0，得特征向量 1 = 当 2 =1 时，由(E-A)x=0，得特征向量 2 = 当 3 =6 时，由(6E-A)x=0，得特征向量 3 = 由施密特正交化方法得

29、 令 Q= ，则 Q T AQ= ，于是有 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax )解析：26.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 2 +3x 2 2 +3x 3 2 +2ax 2 x 3 (a0)经过正交变换化为标准形 f=y 1 2 +2y 2 2 +5y 3 2 ，求参数 a 及所用的正交变换。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型 f 的矩阵 A= 根据题意可知，矩阵 A 的三个特征值分别为 1 =1， 2 =2， 3 =5，于是由A= 1 2 3 可得 2(9-a 2 )=10，解得 a=2 或-2(舍)。 当 1 =1 时，解齐次线性方程组(

30、E-A)x=0，得基础解系为 1 =(0，1，-1) T ； 当 2 =2 时，解齐次线性方程组(2E-A)x=0，得基础解系为 2 =(1，0，0) T ； 当 3 =5 时，解齐次线性方程组(5E-A)x=0，得基础解系为 3 =(0，1，1) T 。 因为 1 ， 2 ， 3 已经是正交向量组，故只需将 1 ， 2 ， 3 单位化，于是得 1 = ， 2 =(1，0，0) T ， 3 = 令 Q=( 1 ， 2 ， 3 )= 则 Q 为正交矩阵，且在正交变换 x=Qy 下，有 Q T AQ= )解析：27.设 n 元实二次型 f(x 1 ，x n )=(x 1 +a 1 x 2 ) 2

31、+(x 2 +a 2 x 3 ) 2 +(x x-1 +a n-1 x n ) 2 +(x n +a n x 1 ) 2 ， 其中 a 1 ，a n 均为实数。试问：当 a 1 ，a n 满足何种条件时，二次型 f 是正定的。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：依题意知，对任意的 x 1 ，x n ，均有 f0，易知当且仅当下列齐次线性方程组只有零解时，二次型是正定的。 而当且仅当系数矩阵的行列式非零时，此齐次线性方程组只有零解，即 )解析：28.设 A、B 分别为 m、n 阶正定矩阵，试判别矩阵 C= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 A、B 正定，则 A、B 必为对称阵，

32、故 A T =A，B T =B，则 C T = =C。 设x、y 分别为 m、n 维列向量，则 z= 为 m+n 维列向量，若 z0，则必有 x0 或 y0。不妨设x0，因 A、B 正定，则 x T Ax0，y T By0，故 z T Cz=(x T ，y T ) )解析：29.证明：若 A 是 n 阶正定矩阵，则 A * 是正定矩阵。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：已知 A 正定，则有A0。任意 x0，有 x T A * x=x T AA -1 x=Ax T A -1 x=Ax T A -1 AA -1 x=A(A -1 x) T A(A -1 x)。 又 A -1 x0，所以对任

33、意 x0，有 x T A * x=A(A -1 x) T A(A -1 x)0。 故 A * 是正定矩阵。)解析：30.试用配方法化二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 2 +3x 2 2 +x 3 2 +4x 1 x 2 -4x 1 x 3 -8x 2 x 3 为标准形和规范形，写出相应的可逆线性变换矩阵，并求二次型的秩及止、负惯性指数。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 f 中含有 x 1 的平方项，故先把含 x 1 的项进行配方，然后再把含 x 2 的项进行配方，依次配方即可。即 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2(x 1 2 +2x 1 x 2 -2x

34、1 x 3 )+3x 2 2 +x 3 2 -8x 2 x 3 =2(x 1 +x 2 -x 3 ) 2 +x 2 2 -4x 2 x 3 2 -x 3 2 =2(x 1 +x 2 -x 3 ) 2 +(x 2 -x 3 ) 2 -5x 3 2 。 令 则把二次型 f 化成了标准形 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2y 1 2 +y 2 2 -5y 3 2 。 所用的可逆线性变换矩阵为 C= )解析：31.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(1-a)x 1 2 +(1-a)x 2 2 +2x 3 2 +2(1+a)x 1 x 2 的秩为 2。 ()求 a 的值； ()求正交变

35、换 x=Qy，把 f(x，x，x)化成标准形； ()求方程 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=0 的解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由已知可得，二次型的矩阵 A= ，且 A 的秩为 2，从而A= =-8a=0，解得 a=0。 ()当 a=0 时，A= ，由特征多项式 E-A= =(-2)(-1) 2 -1=(-2) 2 =0， 得矩阵 A 的特征值 1 = 2 =2， 3 =0。 当 =2 时，由(2E-A)x=0 及系数矩阵 ，得两个线性无关的特征向量 1 =(1，1，0) T ， 2 =(0，0，1) T 。 当 =0 时，由(0E-A)x=0 及系数矩阵 ，得特征向量

36、 3 =(1，-1，0) T 。 容易看出， 1 ， 2 ， 3 已两两正交，故只需将它们单位化，即得 1 = (1，1，0) T ， 2 =(0,0，1) T ， 3 = (1，-1，0) T 。 那么令 Q=( 1 ， 2 ， 3 )= ，则在正交变换 X=Qy 下，二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )化为标准形 f( 1 ，x 2 ，x 3 )=2y 1 2 +2y 2 2 。 ()由()中结论，f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +2x 3 2 +2x 1 x 2 =(x 1 +x 2 ) 2 +2x 3 2 =0，于是得 )解析：32.已知二次型 f(

37、x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 -4x 1 x 2 -4x 1 x 3 +2ax 2 x 3 通过正交变换x=Py 化成标准形 f=3y 1 2 +3y 2 2 +by 3 2 ，求参数 a，b 及正交矩阵 P。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意，二次型 f 及其标准形的矩阵分别是 在正交变换下 A 与 相似，故有 =-2(a+2) 2 =0， 解得 a=-2，b=-3。 于是，矩阵 A 的特征值是 3，3，-3。 当 =3 时，由(3E-A)x=0，系数矩阵 得基础解系 1 =(-1，1，0) t ， 2 =(-1，0，1) T ，即 =

38、3 有两个线性无关的特征向量。 当 =-3 时，由(-3E-A)x=0，系数矩阵 得基础解系 3 =(1，1，1) T ，即=-3 的特征向量。 由于 =3 的特征向量 1 ， 2 不正交，故需施密特正交化。 令 1 = 1 = ，则 2 = 2 -( 2 ， 1 1 ， 1 )= 将三个特征向量单位化，有 那么，所用坐标变换 x=Py 中，正交矩阵 P=( 1 ， 2 ， 3 )= )解析：33.已知三元二次型 xTAx 的平方项系数均为 0，设 a=(1，2，-1) T 且满足 A=2。 ()求该二次型表达式； ()求正交变换 x=Qy 化二次型为标准形，并写出所用坐标变换； ()若 A+

39、kE 正定，求 k 的取值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()根据已知条件，有 即得方程组 解得 a 12 =2，a 13 =2，a 23 =-2。 所以 f(x)=x T Ax=4x 1 x 2 +4x 1 x 3 -4x 2 x 3 。 ()由E-A= =(-2) 2 (+4)，得矩阵 A 的特征值为 2，2，-4。 由(2E-A)X=0 及 得 =2 的特征向量 1 =(1，1，0) T ， 2 =(1，0，1) T ； 由(-4E-A)x=0 及 ，得 =-4 的特征向量 3 =(-1，1，1) T 。 将 1 ， 2 正交化。令 1 = 1 ，则 2 = 2 -( 2 ， 1 1 ， 1 ) 1 = 再对 1 ， 2 ， 3 单位化，有 那么令 )解析：34.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=ax 1 2 +ax 2 2 +ax 3 2 +2x 1 x 2 正定，求 a 的取值范围。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：该二次型的矩阵为 ，令其各阶顺序主子式分别大于零 a0， =a 2 -10. )解析：