1、考研数学三（矩阵的特征值与特征向量、二次型）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 n 阶可逆矩阵， 是 A 的一个特征值，则伴随矩阵 A*的一个特征值是（A） -1A n-1（B） -1A（C） A（D）A n-12 设 =2 是可逆矩阵 A 的一个特征值，则 的一个特征值是3 设 A 是 3 阶不可逆矩阵， 1， 2 是 Ax=0 的基础解系， 3 是属于特征值 =1 的特征向量，下列不是 A 的特征向量的是（A） 1+32（B） 1-2（C） 1+3（D）2 34 设 0 是 A 属于特征值 0 的特征向量，则 0 不一定是
2、其特征向量的矩阵是（A）(A+E) 2（B） -2A（C） AT（D）A *5 下列矩阵中不能相似对角化的是6 设 A 是 n 阶非零矩阵，A m=0，下列命题中不一定正确的是（A）A 的特征值只有零（B） A 必不能对角化（C） E+A+A2+Am-1 必可逆（D）A 只有一个线性无关的特征向量二、填空题7 设 A 是 n 阶矩阵，r(A)n，则 A 必有特征值_，且其重数至少是_8 一设 A 是 n 阶可逆矩阵，A 是 A 的特征值，则(A *)2+E 必有特征值_9 已知-2 是 A= 的特征值，则 x=_10 设 A 是秩为 2 的 3 阶实对称矩阵，且 A2+5A=0，则 A 的特征
3、值是_11 已知 =(1，1，-1) T 是矩阵 A= 的特征向量，则 x=_12 设 A 是 3 阶矩阵，且各行元素之和都是 5，则 A 必有特征向量_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 设矩阵 A= ，行列式A=-1，又 A*有一个特征值 0，属于 0 的一个特征向量为 =(-1，-1 ，1) T，求 a，b，c 及 0 的值14 已知 Ai=ii(i=1，2，3)，其中 1=(1，2，2) T， 2=(2，-2，1) T， 3=(-2，-1，2)T求矩阵 A15 已知线性方程组 有无穷多解，而 A 是 3 阶矩阵，且 分别是 A 关于特征值 1，-1，0 的三个特征向
4、量，求矩阵 A16 设 A 是 3 阶实对称矩阵，A 的特征值是 6，-6，0，其中 =6 与 =0 的特征向量分别是(1 ，a，1) T 及(a，a+1，1) T，求矩阵 A 17 已知 3 阶矩阵 A 的第 1 行元素全是 1，且(1，1，1) T，(1 ，0，-1) T，(1 ，-1，0) T是 A 的 3 个特征向量，求 A18 已知 A= 能对角化，求 An19 已知 求 x10020 某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将 熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 成为熟练工设第 n 年一月份统计的熟练工
5、和非熟练工所占百分比分别为 xn 和 yn，记成 n= ()求 n+1 与 n 的关系式，并写成矩阵形式：n+1=An；()求矩阵 A 的特征值与特征向量； ()若 0= ，求 An021 已知矩阵 A= 有特征值 =5，求 a 的值；并当 a0 时求正交矩阵Q，使 Q-1AQ=A22 设矩阵 A= 的特征值有重根，试求正交矩阵 Q，使 QTAQ 为对角形23 设 A= ，正交矩阵 Q 使得 QTAQ 为对角矩阵若 Q 的第 1 列为(1， 2，1) T，求 a，Q24 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值， 1=1， 2=2， 3=-2，且 1=(1，-1，1) T 是 A 的属于 1 的一个
6、特征向量记 B=A5-4A3+E，其中 E 为 3 阶单位矩阵 ()验证 1是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量； ()求矩阵 B25 已知 A 是 3 阶实对称矩阵，满足 A4+2A3+A2+2A=0，且秩 r(A)=2求矩阵 A 的全部特征值，并求秩 r(A+E)26 设 A 是 n 阶正交矩阵， 是 A 的实特征值， 是相应的特征向量证明 只能是1，并且 也是 AT 的特征向量27 设 A，B 均是 n 阶矩阵，证明 AB 与 BA 有相同的特征值28 设 A，B 均是 n 阶矩阵，且秩 r(A)+r(B)n，证明： A，B 有公共的特征向量29 若任一 n 维非零向
7、量都是，；阶矩阵 A 的特征向量，则 A 是数量矩阵30 设 A 是 3 阶矩阵，且有 3 个互相正交的特征向量，证明 A 是对称矩阵考研数学三（矩阵的特征值与特征向量、二次型）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 如 A=a，则 A-1= ，故选(B).【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量2 【正确答案】 C【试题解析】 如 A=，则选(C)【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量3 【正确答案】 C【试题解析】 如 A1=1，A 2=2，则 A(k 11+k22)=k1A1+k2A2=k11+k22=(k11+k
8、22) 因此 k11+k22 是 A 的特征向量，所以(A)、(B)、(D)均正确 设 A1=1，A 2=2，若 A(1+2)=k(1+2)，则 1+2=k1+k2 即有 (-k)1+(-k)2=0 因为 -k，-k 不全为 0，与 1， 2 是不同特征值的特征向量线性无关相矛盾从而 1+3 不是 A 的特征向量故应选(C)【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量4 【正确答案】 C【试题解析】 由E-A T=(E-A) T= E-A，知 A 与 AT 有相同的特征值，但方程组(E-A)x=0 与(E-A T)x=0 不一定同解，故 A 与 AT 特征向量不一定相同故应选(C) 【知识模块】 矩阵
9、的特征值与特征向量5 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 是实对称矩阵， (C)有 3 个不同的特征值，均可对角化(B)和 (D)特征值都是 0， 0，3在(B) 中，n-r(0E-A)=2，说明 =0 有 2 个线性无关的特征向量故可以相似对角化在(D)中， n-r(0E-A)=1，说明 =0 只有 1 个线性无关的特征向量因此不能相似对角化故应选(D)【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量6 【正确答案】 D【试题解析】 设 A=，0，则 Am=m 皇 0故 =0(A) 正确 因为A0，r(A)1，那么 Ax=0 的基础解系有 n-r(a)个解，即 =0 有 n-r(A)个线性无关的特征向
10、量故(B)正确，而(D)不一定正确 由(E-A)(E+A+A 2+Am-1)=E-Am=E，知(C)正确 故应选(D)【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量二、填空题7 【正确答案】 j(j=1，2 ，n-r(A) ；0【试题解析】 r(A)n =0 必是 A 的特征值 由 r(A)n Ax=0 有非 0 解设 1， 2， n-r(A)是 Ax=0 的基础解系，则 Aj=0=0j，即 =0 是矩阵A 的特征值， j(j=1，2，n-r(A)是 =0 的特征向量 因此 =0 有 n-r(A)个线性无关的特征向量从而 =0 至少是矩阵 A 的 n-r(A)重特征值注意：k 重特征值至多有 k 个线性
11、无关的特征向量【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量8 【正确答案】 【试题解析】 A 的特征值为的特征值为【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量9 【正确答案】 -4【试题解析】 因为-2 是矩阵 A 的特征值，所以由【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量10 【正确答案】 -5，-5 ，0【试题解析】 因为 A 是实对称矩阵，故 A-A又 r(A)=2，所以 r(A)=2设A=(0)，由 A2+5A=0 得 2+5=0因此 A 的特征值为 0 或-5从而 A-所以矩阵 A 的特征值是：-5，-5， 0【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量11 【正确答案】 4【试题解析】 设 A=，即【知识模块】
12、 矩阵的特征值与特征向量12 【正确答案】 【试题解析】 因为各行元素之和都是 5，即【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 据已知有 AA*=AE=-E对于 A*=0，用 A 左乘两端，得0A=-，即 由此可得-得 0=1将 0=1 代入 和得 b=-3，a=c由A =-1 和 a=c，有=a-3=-1，即得 a=2故 a=c=2【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量14 【正确答案】 由于 Ai=ii 知，A 有 3 个不同的特征值 1，2，3.所以【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量15 【正确答案】 对增广矩阵高斯消元，有
13、由于方程组有无穷多解，故 a=-1或 a=0当 a=-1 时，三个特征向量 线性相关，不合题意，舍去；当 a=0 时， 线性无关，是 A 的特征向量，故 a=0令 P=【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量16 【正确答案】 因为 A 是实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量相互正交(512)，所以 1a+a(a+1)+11=0 a=-1设属于 =-6 的特征向量是(x 1，x 2，x 3)T，它与 =6，=0 的特征向量均正交，于是 解得(1，2，1) T是 =-6 的特征向量那么，【试题解析】 现在 A 的特征值已知，求矩阵 4 就转为应求出 A 的特征向量，一要确定 a，一要求出 =-6 的
14、特征向量已知条件中实对称矩阵能给什么信息呢?【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量17 【正确答案】 设这些特征向量分别属于特征值 1， 2， 3，则类似地， 2=3=0于是【试题解析】 A 的特征向量已知，现应求出 A 的特征值，可用定义来处理【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量18 【正确答案】 因为 A 能对角化，所以 A 必有 3 个线性无关的特征向量.由于E-A= =(-1)(2-)，=1 是二重特征值，必有两个线性无关的特征向量，因此 r(E-A)=1，得 x=-2. 求出 =1 的特征向量 1=(1，2，0)T， 2=(0，0，1) T 及 =的特征向量 3=(1，1，-2) T
15、令 P=(1， 2， 3)=得A=PAP-1，于是【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量19 【正确答案】 由于令 A=则E-A = 2-2于是有 1=2， 1=(5，2) T 和 2=-1， 2=(1，1) T从而 P-1AP=A= ，那么【试题解析】 将关系式表示成矩阵形式，用递推来推导(x n，y n)T 与(x 0，y 0)T 的关系式本题是用特征值、特征向量计算 An 的一个典型应用【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量20 【正确答案】 () 按题意有()由特征多项式对 =1，由(E-A)x=0 得基础解系 1= ，因此矩阵 A 属于 =1 的特征向量是k11(k10)对的特征向量是
16、k22(k20)()设 x11+x22=0，即【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量21 【正确答案】 因 =5 是矩阵 A 的特征值，则由5E-A = =3(4-a2)=0，可得 a=2当 a=2 时，则由矩阵 A 的特征多项式E-A=(-2)(-5)(-1)=0，知矩阵 A 的特征值是 1，2，5 由(E-A)x=0 得基础解系 1=(0，1，-1) T； 由(2E-A)x=0 得基础解系 2=(1，0，0) T； 由(5E-A)x=0 得基础解系 3=(0，1，1) T即矩阵 A 属于特征值 1，2，5 的特征向量分别是 1， 2， 3 由于实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，故只需单位
17、化，有【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量22 【正确答案】 A 的特征多项式=(-2)2+(3-a)-(3a+20)，由于判别式(3-a) 2+4(3a+20)=0 没有实数根，即 2+(3-a)-(3a+20)(-k)2，所以只能 =2 是重根于是 2+(3-a)-(3a+20)必有 -2 的因式，因此由 22+2(3-a)-(3a+20)=0，得 a=-2从而得到矩阵 A 的特征值是 1=2=2， 3=-7对于=2，由(2E-A)x=0，即 得到线性无关的特征向量 1=(-2，1，0) T， 2=(2，0，1) T用 Schmidt 正交化方法，先正交化，有再将1， 2 单位化，得 对于
18、 =-7，由(-7E-A)x=0，即 得特征向量 3=(1，2，-2)T，单位化为 那么，令 Q=(1， 2， 3)=【试题解析】 因为 Q 是正交矩阵，有 QT=Q-1，故 QTAQ=A，即 Q-1AQ=A为此，应当求矩阵 A 的特征向量【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量23 【正确答案】 按已知条件，(1，2，1) T 是矩阵 A 的特征向量，设特征值是 1，那么知矩阵 A 的特征值是：2，5，-4对 =5，由(5E-A)x=0，得基础解系 2=(1，-1，1) T对 =-4，由(-4E-A)x=0， 得基础解系 1=(-1，0，1) T 因为 A 是实对称矩阵，特征值不同特征向量相互正
19、交，故只需把 2， 3 单位化，有【试题解析】 因为 Q 是正交矩阵 QT=Q-1，所以 QTAQ=A，即 Q-1AQ=AA 的对角线上的元素是 A 的特征值，Q 是 A 的特征向量【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量24 【正确答案】 () 由 A= 有 An=n那么，对于 A1=11=1，有 B1=(A5-4A32+E)1=A51-4A31+1=(15-413+1)1=-21因此，向量 1 是矩阵 B 属于特征值=-2 的特征向量 类似地，对 2=2， 3=-2 有：若 A=2，则 B=(25-423+1)=； 若 A=3，则 B=(35-433+1)=，那么 ， 是矩阵 B 属于特征值
20、=1 的特征向量因 ， 是矩阵 A 不同特征值的特征向量，因此它们线性无关从而矩阵 B 的特征值是：-2，1，1，且矩阵 B 属于特征值 =-2 的特征向量是k11(k10) 又由 A 是实对称矩阵知，B 是实对称矩阵那么 B 的属于特征值 =1与 =-2 的特征向量应当相互正交设矩阵 B 属于 =1 的特征向量 =(x1，x 2，x 3)T，则 x1-x2+x3=0.解此方程组得基础解系 2=(1，1，0) T， 3=(-1，0，1) T故矩阵B 属于 =1 的特征向量是 k22+k33(k2，k 3 不全为 0) () 令 P=(1， 2， 3)，有 P-1BP=【知识模块】 矩阵的特征值
21、与特征向量25 【正确答案】 设 A 是矩阵 A 的任一特征值，口是属于特征值 A 的特征向量，则 A=(0)，于是 A n=n 那么用 右乘 A4+2A3+A2+2A=0 得( 4+23+2+2)=0因为特征向量 0，故 4+23+2+2=A(3+22+2)=(+2)(2+1)=0由于实对称矩阵的特征值必是实数，从而矩阵 A 的特征值是 0 或-2由于实对称矩阵必可相似对角化，且秩 r(A)=r(A)=2，所以 A 的特征值是 0，-2，-2因 A-A，则有A+EA+E= ，所以秩 r(A+E)=r(A+E)=3【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量26 【正确答案】 按特征值定义，对于 A=
22、，经转置得 TAT=(A)T=(A)T=T， 因为 ATA=E，从而 T=TATA=(T)()=2T， 则 (1- 2)T=0 因为 是实特征向量， T=x12+x22+xn20，可知 2=1，由于 是实数，故只能是 1 或-1 若 =1，从 A=，两边左乘 AT，得到 AT=ATA=，即 是 AT 关于 =1 的特征向量【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量27 【正确答案】 设 0 是 AB 的非零特征值， 0 是 AB 对应于 0 的特征向量，即 (AB)0=00 (00) 用 B 左乘上式，得 BA(B0)=0B0 下面需证 B00(这样B0 就是矩阵 BA 对应于 0 的特征向量) (
23、反证法) 如 B0=0，那么(AB) 0=A(B0)=0，这与 (AB)0=000 相矛盾 所以， 0 是 BA 的特征值 如 0=0 是 AB 的特征值，则因 0E-BA=-BA =(-1) n B.A =(-1) nA.B= 0E-AB，所以， 0=0 也是 BA 的特征值 同样可证 BA 的特征值必是 AB 的特征值，所以 AB 与 BA 特征值相同【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量28 【正确答案】 设 r(A)=r，r(B)=s ，且 1， 2， n-r 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，即矩阵 A 关于 =0 的特征向量， 1， 2， n-s 是 B 关于 =0 的特征向量那么
24、，向量组 1， 2， n-r， 1， 2， n-s 必线性相关(由于 n-r+n-s=n+(n-r-s) n 于是存在不全为零的实数 k1，k 2， ，k n-r，l 1，l 2，l n-s，使 k11+k22+kn-rn-r+l11+l22+ln-sn-s=0 因为 1， 2， n-r 线性无关，1， 2， n-s 线性无关，所以 k1，k 2，k n-r 与 l1，l 2，l n-s 必分别不全为零令 =k11+k22+kn-rn-r=-(l11+l22+ln-sn-s)， 则 0，从特征向量性质 1知， 既是 A 关于 =0 的特征向量，也是 B 关于 =0 的特征向量，因而 A，B 有
25、公共的特征向量【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量29 【正确答案】 因为任一 n 维非零向量都是 A 的特征向量，所以 A 有 n 个线性无关的特征向量，从而 A 可以对角化 特别地，n 维单位向量 i=(0，1，0)T， i=1，2，n，是 A 的特征向量令 P=(e1，e 2，e n)，则有 P=E，且 A=P-1AP=A= 若 A 的特征值 12，则由于 1， 2 分别是 1， 2 的特征向量，那么 e1+e2 不再是 A 的特征向量，这与已知条件“任一非零向量都是特征向量”相矛盾，同理可知 1=2=，即 A 是数量矩阵【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量30 【正确答案】 设 A 的特征值是 1， 2， 3，相应的特征向量是 1， 2， 3因为 1， 2， 3 已两两正交，将其单位化为 1， 2， 3，则 1， 2， 3 仍是 A 的特征向量，且 P=(1， 2， 3)是正交矩阵，并有 从而由A=PAP-1=PAPT，得 AT=(PAPT)T=(PT)TATPT=PAPT=A，即 A 是对称矩阵【试题解析】 非零正交向量组是线性无关的，故 A 有 3 个线性无关的特征向量，即 A 可以对角化，并且可以用正交变换化为对角形【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量
