1、考研数学一（二次型）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设矩阵 A= ，则 A 与 B（A）合同且相似（B）合同但不相似（C）不合同但相似（D）既不合同也不相似2 下列矩阵中，正定矩阵是3 与矩阵 A= 合同的矩阵是4 设 A= ，则 A 与 B（A）合同且相似（B）合同但不相似（C）不合同但相似（D）不合同也不相似5 设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充要条件是（A）A，B 有相同的特征值（B） A，B 有相同的秩（C） A，B 有相同的行列式（D）A，B 有相同的正负惯性指数6 二次型 xTAx 正定的充要条件
2、是（A）负惯性指数为零（B）存在可逆矩阵 P，使 P1 AP=E（C） A 的特征值全大于零（D）存在 n 阶矩阵 C，使 A=CTC二、填空题7 二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+x2)2+(x2 一 x3)2+(x3+x1)2 的正、负惯性指数分别为p=_，q=_8 二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx= +4x1x24x1x3+8x2x3 的矩阵A=_，规范形是 _9 假设二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+ax22x3)2+(2x2+3x3)2+(x1+3x2+ax3)2 正定，则 a 的取值为_10 二次型 f(x1，x 2，x 3)=(a1x1+a2x2+
3、a3x3)2 的矩阵是_11 二次型 f(x1，x 2，x 3)= +2x1x3 的负惯性指数 q=_12 若二次型 2 +2x1x2+2tx2x3 的秩为 2，则 t=_13 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)= +2ax1x2+2x1x3 经正交变换化为标准形，则 a=_14 设三元二次型 +2tx1x22x1x3+4x2x3 是正定二次型，则t_15 已知 A= ，矩阵 B=A+kE 正定，则 k 的取值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设 A= ，则有 A B17 设 A=(aij)是秩为 n 的 n 阶实对称矩阵，A ij 是 A中元素 aij 的代数余
4、子式(i，j=1，2，n)，二次型 f(x1，x 2，x n)= xjxj()记X=(x1，x 2，x n)T，试写出二次型 f(x1，x 2，x n)的矩阵形式；()判断二次型 g(X)=XTAX 与 F(X)的规范形是否相同，并说明理由18 求正交变换化二次型 一 2x1x2+2x1x32x2x3 为标准形，并写出所用正交变换19 已知 =(1，一 2，2) T 是二次型 xTAx= 一 4x1x2+4x1x38x2x3 矩阵A 的特征向量，求正交变换化二次型为标准形，并写出所用正交变换20 设二次型 一 4x1x2 一 4x1x3+2ax2x3 经正交变换化为 ，求a，b 的值及所用正交
5、变换21 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=(1 一 a) +2(1+a)x1x2 的秩为 2()求 a 的值；()求正交变换 x=Qy，把 f(x1，x 2，x 3)化成标准形；()求方程f(x1，x 2，x 3)=0 的解22 设二次型 f(x1，x 2，x 3)= +2x1x32x2x3，()求二次型 f 的矩阵的所有特征值；() 若二次型 f 的规范形为 ，求 a 的值23 设三元二次型 xTAx= +2x1x22x2x32ax1x3 的正、负惯性指数都是1，( )求 a 的值，并用正交变换化二次型为标准形；()如 B=A3 一 5A+E，求二次型 xTBx 的规范形24 已知三
6、元二次型 xTAx 的秩为 2，且 求此二次型的表达式，并求正交变换 x=Qy 化二次型为标准形25 用配方法把二次型 一 2x1x2+2x1x32x 2x3 化为标准形，并写出所用坐标变换26 用配方法化二次型 x1x2+2x2x3 为标准形，并写出所用满秩线性变换27 判断 3 元二次型 f= +4x1x24x 2x3 的正定性28 判断 n 元二次型 xixj 的正定性29 设 A，B 均是 n 阶正定矩阵，判断 A+B 的正定性30 已知二次型 xTAx 是正定二次型， x=Cy 是坐标变换，证明二次型 yTBy 是正定二次型，其中 B=CTAC31 证明二次型 xTAx 正定的充分必
7、要条件是 A 的特征值全大于 032 已知 A 是 n 阶可逆矩阵，证明 ATA 是对称、正定矩阵33 已知 A，AE 都是 n 阶实对称正定矩阵，证明 EA1 是正定矩阵34 设 A 是 mn 矩阵，B=E+A TA，证明当 0 时， B 是正定矩阵35 设 D= 为正定矩阵，其中 A，B 分别为 m 阶，n 阶对称矩阵，C 为 mn矩阵() 计算 PTDP，其中 P= ( )利用()的结果判断矩阵 B 一CTA1 C 是否为正定矩阵，并证明你的结论36 设 A 是 n 阶正定矩阵， 1， 2， m 是 n 维非零列向量，且 Aj=0(ij)，证明 1， 2， ， m 线性无关37 设 A
8、是 n 阶实对称矩阵，AB+B TA 是正定矩阵，证明 A 可逆38 已知 A= ，证明 A 与 B 合同39 设矩阵 A= 有一个特征值是 3，求 y，并求可逆矩阵 P，使(AP)T(AP)为对角矩阵40 求正交变换化二次型 一 4x1x24x2x34x1x3 为标准形41 二次型 f(x1，x 2，x 3)= 5 一 2x1x26x2x3+6x1x3 的秩为 2，求 c 及此二次型的规范形，并写出相应的坐标变换42 设 A 是 n 阶实对称矩阵，若对任意的 n 维列向量 恒有 TA=0，证明 A=043 若 A 是 n 阶正定矩阵，证明 A1 ，A *也是正定矩阵44 设 A 是 mn 矩
9、阵，r(A)=n，证明 ATA 是正定矩阵45 设 A 是 n 阶正定矩阵，证明A+2E2 n46 已知 A= 是正定矩阵，证明 = 0考研数学一（二次型）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 若存在 n 阶可逆矩阵 P，使得 P1 AP=B，称 n 阶矩阵 A 与 B 相似若存在 n 阶可逆矩阵 C，使得 CTAC=B，称 n 阶矩阵 A 与 B 合同A A 和 B 有相同的正、负惯性指数，即 pA=pB，q A=qB而正、负惯性指数可由特征值的正、负来决定由E 一 A=( 一 3)2， E 一 B=( 1)2
10、，知 A 与 B 不相似(特征值不同)，但 A 与 B 合同(均有 p=2，q=0)【知识模块】 二次型2 【正确答案】 C【试题解析】 正定的必要条件 ii0，可排除(A)、(D) (B)中 2=0 与顺序主子式全大于 0 相矛盾，排除(B)故应选(C)【知识模块】 二次型3 【正确答案】 B【试题解析】 由矩阵 A 的特征多项式知矩阵 A 的特征值为1，3，一 2即二次型正惯性指数 P=2，负惯性指数 q=1故应选(B)【知识模块】 二次型4 【正确答案】 A【试题解析】 由E 一 A= 332，知矩阵 A 的特征值为 3，0，0又因 A 是实对称矩阵，A 必能相似对角化，所以 AB因为
11、A，B 有相同的特征值，从而二次型 xTAx 与 xTBx 有相同的标准形，进而有相同的正、负惯性指数，所以A B故应选(A)【知识模块】 二次型5 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 是充分条件特征值一样 合同但不是必要条件例如 A= ，特征值不同，但 A 0B(B)是必要条件由 CTAC=B，C 可逆 r(A)=r(B)，但不是充分条件例如 A= ，B=，虽 r(A)=r(B)，但正负惯性指数不同故 A 与 B 不合同(C)既不必要也不充分例如 A= B=，虽行列式相同但不合同故应选(D)【知识模块】 二次型6 【正确答案】 C【试题解析】 (A) 是正定的必要条件若 f(x1，x 2，
12、x 3)= ，虽 q=0，但 f 不正定(B) 是充分条件正定并不要求特征值全为 1虽 A= 不和单位矩阵 E相似，但二次型 xTAx 正定(D)中没有矩阵 C 可逆的条件，也就推导不出 A 与 E合同，例如 C= A=C TC= ，则 xTAx 不正定故应选(C)【知识模块】 二次型二、填空题7 【正确答案】 2 0【试题解析】 f= (x2 一 x3)2由于二次型的标准形是 ，所以 P=2，q=0【知识模块】 二次型8 【正确答案】 2，6，一 4 【试题解析】 按定义，二次型矩阵 A= 由特征多项式知矩阵 A 的特征值是：2，6，一 4故正交变换下二次型的标准形是 所以规范形是或，由配方
13、法，有亦知规范形是【知识模块】 二次型9 【正确答案】 a1【试题解析】 (x1，x 2，x 3)恒有平方和 f(x1，x 2，x 3)0，其中等号成立的充分必要条件是 (*)按正定定义，f 正定 x=(x1，x 2，x 3)T0，恒有f(x1，x 2，x 3)0因此，本题中二次型 f 正定 方程组(*)只有零解所以 a 的取值为 a1【知识模块】 二次型10 【正确答案】 【试题解析】 f(x 1，x 2，x 3)= +2a1a2x1x2+2a1a3x1x3+2a2a3x2x3，二次型矩阵 A=【知识模块】 二次型11 【正确答案】 1【试题解析】 令() ： 0，故()是坐标变换，那么经此
14、坐标变换二次型化为 f= +2(y1+y3)(y1 一 y3)= 所以负惯性指数 q=1【知识模块】 二次型12 【正确答案】 【试题解析】 r(f)=2，即 r(A)=2因A中有 2 阶子式 0，故 r(A)=2 A=0由【知识模块】 二次型13 【正确答案】 0【试题解析】 二次型及其标准形的矩阵分别是 A= 在正交变换下二次型矩阵 A 和标准形矩阵 不仅合同，而且相似于是由【知识模块】 二次型14 【正确答案】 ( ，0)【试题解析】 二次型矩阵 A= ，顺序主子式 1=1， 2= =1 一t20， 3= A= 5t 24t0，所以 t( ，0)【知识模块】 二次型15 【正确答案】 k
15、0【试题解析】 由矩阵 A 的特征值为 3，0，0，知矩阵 B 的特征值为k+3，k ，k又 B 正定 k0【知识模块】 二次型三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 因为有可逆矩阵 C=B，或者，由二次型 xTAx=有相同的正惯性指数 P=2 及相同的负惯性指数 q=0 而知A B( 注意：A 与 B 不相似，因为相似的必要条件是特征值相同，显然不满足)【知识模块】 二次型17 【正确答案】 () 因为 r(A)=n，故 A 是可逆的实对称矩阵，于是 (A1 )T=(AT)1 =A1 ，即 A1 是实对称矩阵，那么 是对称的，因而 A*是实对称矩阵，可见Aij=
16、Aji(i，j=1，2，n)，于是因此，二次型 f 的矩阵表示为 XTA1 X，其二次型矩阵为 A1 ()因为 A，A 1 均是可逆的实对称矩阵，且(A 1 )TAA1 =(A1 )TE=(AT)1 =A1 所以 A 与 A1 合同于是 g(X)与 f(X)有相同的规范形【试题解析】 按定义，若 F(X)=XTBX，其中 B 是实对称矩阵，则 XTBX 就是二次型 f 的矩阵表示，而两个二次型的规范形是否一样关键是看正负惯性指数是否一致【知识模块】 二次型18 【正确答案】 二次型矩阵是 A= 由特征多项式得到 A 的特征值是 3，一 1，0对 =3，由(3EA)x=0 ，即 ，解得 1=(1
17、，一 1，2) T类似地，对 =1， 2=(1， 1，0) T； =0 时， 3=(一1，1，1) T特征值无重根，仅需单位化：构造正交矩阵 C= ，那么令 x=Cy，二次型 xTAx=3 为所求标准形【知识模块】 二次型19 【正确答案】 二次型矩阵 A= 设 =(1，一 2，2) T 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量，则 于是从而 A= 由特征多项式 可知矩阵 A 的特征值为0，0，9对 =0，由(0E 一 A)x=0 得基础解系 1=(2，1，0) T， 2=(一 2，0，1)T因为 1， 2 不正交，故需 Schmidt 正交化，即 1=1=(2，1，0) T， 2=2 一(一 2，
18、4，5) T把 1， 2， 单位化，得那么经正交变换因此，二次型化为标准形 xTAx=yTAy= 【知识模块】 二次型20 【正确答案】 二次型及其标准形的矩阵分别是 A=由于是用正交变换化为标准形，故 A 与 B 不仅合同而且相似那么 1+1+1=3+3+b= b=3对 =3，由(3EA)x=0 得特征向量 1=(1，一 1，0) T， 2=(1，0，一 1)T；对 =3，由(一 3EA)x=0 得特征向量 3=(1，1，1) T因为 =3 是二重根，对 1， 2 正交化有1=1=(1，一 1，0) T，单位化，有令 C=(1， 2， 3)=，经 x=Cy，二次型化为【知识模块】 二次型21
19、 【正确答案】 () 二次型矩阵 A= 二次型的秩为 2，即二次型矩阵 A 的秩为 2，从而 A=2 =8a=0，解得 a=0()当 a=0时，A= ，由特征多项式得矩阵 A的特征值 1=2=2， 3=0当 =2 时，由(2EA)x=0，得特征向量 1=(1，1，0) T， 2=(0，0，1) T当 =0时，由(0E A)x=0， ，得特征向量 3=(1，一 1，0)T容易看出， 1， 2， 3 已两两正交，故只需将它们单位化：那么令 Q=(1， 2， 3)=，则在正交变换 x=Qy 下，二次型 f(x1，x 2，x 3)化为标准形f(x1，x 2，x 3)=xTAx=yTAy= ()由 f(
20、x1，x 2，x 3)=0，得 所以方程 f(x1，x 2，x 3)=0 的通解为：k(1，一 1，0) T，其中 k 为任意常数【知识模块】 二次型22 【正确答案】 () 二次型 f 的矩阵为 A= ，其特征多项式为所以二次型 f 矩阵 A 的特征值为 1=a， 2=a+1， 3=a 一 2()因为二次型 f 的规范形是 ，所以二次型矩阵 A 的特征值为：2 个正数， 1 个 0由于 a 一2aa+1，所以 a 一 2=0，即 a=2【知识模块】 二次型23 【正确答案】 () 二次型矩阵是 A= 由于 r(A)=P+q=2，所以A= (a1) 2(a+2)=0若 a=1，则 r(A)=1
21、 不合题意，舍去若 a=2，由特征多项式 得出 A 的特征值为3 与 0P=q=1 合于所求故 a=2当 =3 时，由(3EA)x=0，得特征向量1=(1， 0，1) T；当 =3 时，由(一 3EA)x=0，得特征向量 2=(1，一 2，一 1)T；当 =0 时，由(0E A)x=0，得特征向量 3=(一 1，一 1，1) T由于特征值不同特征向量已正交，单位化得那么令Q：( 1， 2， 3)，则经正交变换 x=Qy，有 f=xTAx = ()如A=，则 An=n，那么 B=(A35A+E)=(35+1)因为 A 的特征值是 3，一 3，0，所以 B 的特征值是 13，一 11，1从而 xT
22、Bx 的规范形是【知识模块】 二次型24 【正确答案】 二次型 xTAx 的秩为 2，即 r(A)=2，所以 =0 是 A 的特征值又所以 3 是 A 的特征值，(1，2，1) T是 3 的特征向量；一 1 也是 A 的特征值，(1，1，1) T 是一 1 的特征向量因为实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，设 =0 的特征向量是(x 1，x 2，x 3)T，则有即 解出 =0 的特征向量是(1， 0，一 1)T那么 所以因此xTAx= +16x1x2+2x1x3+16x2x3)令 Q= ，则经正交坐标变换 x=Qy 有 xTAx=yT =【知识模块】 二次型25 【正确答案】 f=2 +x3
23、(x1x 2)2x 1x2=2(x3+ (x1x 2)22x 1x2=2(x3+ (x1+x2)2，令为所求标准形【知识模块】 二次型26 【正确答案】 令 则 f=(y1+y2)(y1 一 y2)+2(y1y2)y3= +2y1y32y 2y3=(y1+y3)2 一(y 2+y3)2再令 则二次型的标准形是 f= 而所用坐标变换为【试题解析】 二次型中不含平方项，故应先作一次坐标变换构造出平方项，再按前例实施配方【知识模块】 二次型27 【正确答案】 用配方法化 f 为标准形 f=(x1+2x2)2+(x22x3)2 一 由于正惯性指数 P=23，所以 f 不是正定二次型【知识模块】 二次型
24、28 【正确答案】 (顺序主子式) 二次型矩阵 其顺序主子式由于顺序主子式全大于 0，所以二次型正定【知识模块】 二次型29 【正确答案】 (用定义) 因为 A，B 均是正定矩阵，故 A，B 都是对称矩阵，那么(A+B) T=AT+BT=A+B即 A+B 是对称矩阵又因 x0，有 xT(A+B)x=xTAx+xTBx由于 A，B 均正定，有 xTAx0，x TBx0于是 xT(A+B)x0，所以 A+B 是正定矩阵【知识模块】 二次型30 【正确答案】 y00，设 x0=Cy0，由矩阵 C 可逆知 x00，那么由 xTAx 是正定二次型而知 Ax00按定义， yTBy 是正定二次型【知识模块】
25、 二次型31 【正确答案】 对二次型 xTAx，存在正交变换 X=Qy 化其为标准形，其中 1， 2， n 是矩阵 A 的特征值由题知，x TAx正定 正定 1， 2， n 全大于 0【知识模块】 二次型32 【正确答案】 (与 E 合同 ) 因为(A TA)T=AT(AT)T=ATA，所以 ATA 是对称矩阵 由于 ATA=ATEA，且 A 是可逆矩阵，所以 ATA 与 E 是合同矩阵，从而 ATA 是正定矩阵 【知识模块】 二次型33 【正确答案】 (特征值法) 由(E 一 A1 )T=ET 一(A 1 )T=E 一(A T)1 =EA1 知，EA 1 是对称矩阵设 1， 2， n 是 A
26、 的特征值，则 AE 与 EA1 的特征值分别是 1 一 1， 21， n 一 1 与 1 一 由于 AE 正定，其特征值 i 一 1 全大于 0，那么 1，从而 E 一 A1 的特征值全大于 0，即E 一 A1 是正定矩阵【知识模块】 二次型34 【正确答案】 (定义法) 因为 BT=(E+ATA)T=E+ATA=B，故 B 是 n 阶实对称矩阵， n 维实向量 x0，有 xTBx=xTx+xTATAx=xTx+(Ax)T(Ax)=x2+Ax2由于x0，0，恒有 x20，而Ax 20，因此 xTBx0( x0)，即 B 正定【知识模块】 二次型35 【正确答案】 () 因为 PT=，则()由
27、()知矩阵 D 与矩阵 M= 合同，又因 D 是正定矩阵，所以矩阵 M 为正定矩阵，从而可知 M 是对称矩阵，那么 BCTA1 C 是对称矩阵对 m 维向量X=(0，0，0) T 和任意 n 维非 0 向量 Y=(y1，y 2，y n)T0，有按定义，YT(BCTA1 C)Y 为正定二次型，所以矩阵 BCTA1 C 为正定矩阵【知识模块】 二次型36 【正确答案】 如 k11+k22+kmm=0，两边左乘 A，有 k1Am=0由于 A 正定， Aj=0(j1)，得k1=0类似可证 k2=k3=km=0，即 1， 2， m 线性无关【知识模块】 二次型37 【正确答案】 x0，由于 AB+BTA
28、 正定，故总有 xT(AB+BTA)x=(Ax)T(Bx)+(Bx)T(Ax)0因此， x0，恒有 Ax0即齐次方程组 Ax=0 只有零解，从而 A可逆【知识模块】 二次型38 【正确答案】 构造二次型xTAx=a1 ，经坐标变换所以矩阵 A 和 B 合同【知识模块】 二次型39 【正确答案】 因为 3 是 A 的特征值，故3EA=8(3 一 y1)=0，解出y=2那么 由于 AT=A，要(AP) T(AP)=PTA2P=，故可构造二次型 xTA2x，再化其为标准形由配方法，有 xTA2x= 其中 y1=x1，y 2=x2，y 3=x3+ x4，y 4=x4，即于是 (AP) T(AP)=PT
29、A2p=【知识模块】 二次型40 【正确答案】 二次型矩阵 A= ，由特征多项式得特征值为 1=2=3， 3=3由(3E 一 A)x=0 得基础解系 1=(一 1，1，0) T， 2=(一 1，0，1) T即 =3 的特征向量是 1， 2由(一 3EA)x=0 得基础解系 3=(1，1，1) T对1， 2 经 Schmidt 正交化，有 单位化，得 那么，令 x=Qy，其中Q=(1， 2， 3)，则有 f(x1，x 2，x 3)=xTAx=yT【知识模块】 二次型41 【正确答案】 二次型矩阵 A= ，由二次型的秩为 2，即矩阵 A的秩 r(A)=2，则有A=24(c 一 3)=0 c=3由特
30、征多项式可知矩阵 A 的特征值是0，4，9由(0E A)x=0 得 =0 的特征向量 1=(一 1，1，2) T由(4EA)x=0 得=4 的特征向量 2=(1，1，0) T由(9E A)x=0 得 =9 的特征向量 3=(1，一 1，1)T令 P1=(1， 2， 3)，经 x=P1y 有 xTAx=yT 【知识模块】 二次型42 【正确答案】 n 维向量 恒有 TA=0，那么令 1=(1，0，0，0) T，有类似地，令i=(0， 0，0，1，0，0) T(第 i 个分量为 1)，由 Ai=aii=0 (i=1，2，n)令 12=(1，1，0，0) T，则有故 a12=0类似可知 aij=0(
31、i，j=1，2， ，n)所以 A=0【知识模块】 二次型43 【正确答案】 因 A 正定，所以 AT=A那么(A 1 )T=(AT)1 =A1 ，即 A1 是对称矩阵设 A 的特征值是 1， 2， n，那么 A1 的特征值是 ，由 A正定知 i0(i=1，2，n) 因此 A1 的特征值 0(i=1，2，n)从而A1 正定由(A *)T=(AT)*=A*，知 A*是对称矩阵因为 ATA*A=AA，由矩阵A 可逆，知 A*与AA 合同又由 A 正定，知 A 与 E 合同，即 CTAC=E由 A正定，知行列式A0，那么令 D= ，则 D 可逆，且 DT(A A)D=E即AA 与 E 合同从而 A*与
32、 E 合同故 A*正定【知识模块】 二次型44 【正确答案】 由(A T)T=AT(AT)T=ATA，知 ATA 是对称矩阵 又 r(A)=n， 0，恒有 A0从而 T(ATA)=(A)T(A)=A20故 xT(ATA)x 是正定二次型，从而 ATA 正定【知识模块】 二次型45 【正确答案】 设矩阵 A 的特征值是 1， 2， n因为 A 正定，故特征值i0(i=1，2，n)又 A+2E 的特征值是 1+2， 2+2， n+2，所以 A+2E=( 1+2)(2+2)( n+2)2 n【知识模块】 二次型46 【正确答案】 令 C1= ，C=C 1C2，则 C 是可逆矩阵，且 则A B由于 A 正定，故 B 正定，从而 B 的顺序主子式 0【知识模块】 二次型
