1、考研数学一（二次型）-试卷 2 及答案解析(总分：86.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：16，分数：32.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.二次型 f( 1 ， 2 ， 3 ) 1 2 5 2 2 3 2 4 1 2 2 2 3 的标准形可以是( )（分数：2.00）A.y 1 2 4y 2 2B.y 1 2 6y 2 2 2y 3 2C.y 1 2 y 2 2D.y 1 2 4y 2 2 y 3 23.下列二次型中是正定二次型的是( )（分数：2.00）A.f 1 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 )
2、 2B.f 2 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2C.f 3 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 4 ) 2 ( 4 1 ) 2D.f 4 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 4 ) 2 ( 4 1 ) 24.下列矩阵中 A 与 B 合同的是( )（分数：2.00）A.B.C.D.5.设 A 是 n 阶实对称矩阵，将 A 的 i 列和 j 列对换得到 B，再将 B 的 i 行和 j 行对换得到 C，则 A 与 C( )（分数：2.00）A.等价但不相似B.合同但不相似C.相似但不合同D.等价，合同且相似6.下列矩阵中，正定矩阵是( )（分数：2.
3、00）A.B.C.D.7.n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.二次型 T A 的负惯性指数为零B.存在可逆矩阵 P 使 P -1 APEC.存在 n 阶矩阵 C 使 AC -1 CD.A 的伴随矩阵 A * 与 E 合同8.下列矩阵中不是二次型的矩阵的是( )（分数：2.00）A.B.C.D.9.n 元实二次型正定的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.该二次型的秩nB.该二次型的负惯性指数nC.该二次型的正惯性指数它的秩D.该二次型的正惯性指数n10.下列条件不能保证 n 阶实对称阵 A 为正定的是( )（分数：2.00）A.A -1 正定B.A 没有负
4、的特征值C.A 的正惯性指数等于 nD.A 合同于单位阵11.关于二次型 f( 1 ， 2 ， 3 ) 1 2 2 2 3 2 2 1 2 2 1 3 2 2 3 ，下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.是正定的B.其矩阵可逆C.其秩为 1D.其秩为 212.设 fX T AX，gX T BX 是两个 n 元正定二次型，则下列未必是正定二次型的是( )（分数：2.00）A.X T (AB)XB.X T A -1 XC.X * B -1 XD.X T ABX13.设 A，B 为正定阵，则( )（分数：2.00）A.AB，AB 都正定B.AB 正定，AB 非正定C.AB 非正定，AB 正定D
5、.AB 不一定正定，AB 正定14.实对称矩阵 A 的秩等于 r，它有个正特征值，则它的符号差为( )（分数：2.00）A.rB.trC.2trD.rt15.二次型 f T A 经过满秩线性变换 Py 可化为二次型 y T By，则矩阵 A 与 B( )（分数：2.00）A.一定合同B.一定相似C.既相似又合同D.既不相似也不合同16.f( 1 ， 2 ， 3 ) 1 2 2 1 2 4 3 2 对应的矩阵是( )（分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：8，分数：16.00)17.设 f 1 2 2 2 5 3 2 2a 1 2 2 1 3 4 2 3 为正定二次型，则未知系数
6、a 的范围是 1（分数：2.00）填空项 1:_18.二次型 f( 1 ， 2 ， 3 ) T A2 2 2 2 3 2 4 1 2 8 2 3 4 1 3 的规范形是 1（分数：2.00）填空项 1:_19.若二次曲面的方程为 2 3y 2 z 2 2ay2z2yz4，经正交变换化为 y 1 2 4z 1 2 4，则 a 1（分数：2.00）填空项 1:_20.设 f( 1 ， 2 ) （分数：2.00）填空项 1:_21.二次型 f( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) 3 2 4 4 2 2 1 2 4 3 4 的规范形是 1（分数：2.00）填空项 1:_22.若二次型 f( 1 ， 2
7、， 3 )a 1 2 4 2 2 a 3 2 6 1 2 2 2 3 是正定的，则 a 的取值范围是 1（分数：2.00）填空项 1:_23.设 A 是 3 阶实对称矩阵，满足 A 2 2A 2 5A6E，且 kEA 是正定阵，则 k 的取值范围是 1（分数：2.00）填空项 1:_24.设 A 是 mn 矩阵，E 是 n 阶单位阵，矩阵 BaEA T A 是正定阵，则 a 的取值范围是 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：38.00)25.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_26.f( 1 ， 2 ， 3 )5 1 2 5 2 2
8、c 3 2 2 1 2 6 1 3 6 2 3 的秩为 2 (1)求参数 c 及此二次型对应矩阵的特征值； (2)指出方程 f( 1 ， 2 ， 3 )1 表示何种二次曲面（分数：2.00）_27.已知二次曲面方程 2 ay 2 z 2 2by2z2yz4 可以经过正交变换 （分数：2.00）_28.设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定，B 为 mn 实矩阵，B T 为 B 的转置矩阵，试证：B T AB 为正定矩阵的充分必要条件是 r(B)n（分数：2.00）_29.写出下列二次型的矩阵： （分数：2.00）_30.证明：二次型 f()A 在1 时的最大值为矩阵 A 的最大特征值（分数：2.0
9、0）_31.求一个正交变换化下列二次型化成标准形： (1)f2 1 2 3 2 2 3 3 2 4 2 3 ； (2)f 1 2 3 2 2 1 2 2 2 3 （分数：2.00）_32.设二次型 1 2 2 2 3 2 4 1 2 4 1 3 2a 2 3 经正交变换化为 3y 1 2 3y 2 2 by 3 2 ，求 a，b 的值及所用正交变换（分数：2.00）_33.已知二次型 f( 1 ， 2 ， 3 )(1a) 1 2 (1a) 2 2 2 3 2 2(1a) 1 2 的秩为 2 (1)求 a 的值； (2)求正交变换 Qy，把 f( 1 ， 2 ， 3 )化为标准形； (3)求方程
10、f( 1 ， 2 ， 3 )0 的解（分数：2.00）_34.已知三元二次型 T A 的秩为 2，且 （分数：2.00）_35.设 D 为正定矩阵，其中 A，B 分别为 m 阶，n 阶对称矩阵，C 为 mn 矩阵 (1)计算 P T DP，其中 P （分数：2.00）_36.已知 （分数：2.00）_37.设矩阵 A （分数：2.00）_38.求一个正交变换把二次曲面的方程 3 2 5y 2 5z 2 4y4z10yz1 化成标准方程（分数：2.00）_39.证明对称阵 A 为正定的充分必要条件是：存在可逆矩阵 U，使 AU T U，即 A 与单位阵 E 合同（分数：2.00）_40.设二次型
11、 f( 1 ， 2 ， 3 )a 1 2 a 2 2 (a1) 3 2 2 1 3 2 2 3 (1)求二次型 f 的矩阵的所有特征值； (2)若二次型厂的规范形为 y 1 2 y 2 2 ，求 a 的值（分数：2.00）_41.设二次型 f( 1 ， 2 ， 3 )A 在正交变 Qy 下的标准形为 y 1 2 y 2 2 ，且 Q 的第三列为 （分数：2.00）_42.已知 A （分数：2.00）_43.设二次型 f( 1 ， 2 ， 3 )2(a 1 1 a 2 2 a 3 3 ) 2 (b 1 2 b 2 2 b 3 3 ) 2 ， 记 （分数：2.00）_考研数学一（二次型）-试卷 2
12、 答案解析(总分：86.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：16，分数：32.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.二次型 f( 1 ， 2 ， 3 ) 1 2 5 2 2 3 2 4 1 2 2 2 3 的标准形可以是( )（分数：2.00）A.y 1 2 4y 2 2 B.y 1 2 6y 2 2 2y 3 2C.y 1 2 y 2 2D.y 1 2 4y 2 2 y 3 2解析：解析：用配方法，有 f 1 2 4 1 2 4 2 2 2 2 2 2 3 3 2 ( 1 2 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ， 可见二次
13、型的正惯性指数 p2，负惯性指数 q0因此，选项 A 是二次型的标准形所用坐标变换 3.下列二次型中是正定二次型的是( )（分数：2.00）A.f 1 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2B.f 2 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2C.f 3 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 4 ) 2 ( 4 1 ) 2D.f 4 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 4 ) 2 ( 4 1 ) 2 解析：解析：由定义 f T A 正定 4.下列矩阵中 A 与 B 合同的是( )（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由合同定义
14、：C T ACB，矩阵 C 可逆知合同的必要条件是：r(A)r(B)且行列式A与B同号 本题 A 选项的矩阵秩不相等B 选项中行列式正、负号不同，故排除易见 C 选项中矩阵A 的特征值为 1，2，0，而矩阵 B 的特征值为 1，3，0，所以二次型 T A 与 T B 有相同的正、负惯性指数，所以 A 和 B 合同 而 D 选项中，A 的特征值为 1，2，B 的特征值为1，2，2，因此 T A 与 T B 正、负惯性指数不同，故不合同5.设 A 是 n 阶实对称矩阵，将 A 的 i 列和 j 列对换得到 B，再将 B 的 i 行和 j 行对换得到 C，则 A 与 C( )（分数：2.00）A.等
15、价但不相似B.合同但不相似C.相似但不合同D.等价，合同且相似 解析：解析：对矩阵作初等行、列变换，用左、右乘初等阵表示，由题设 AE ij B，E ij BC， 故CE ij BE ij AE ij 因 E ij E ij T E ij -1 ，故 CE ij AE ij E ij -1 AE ij E ij T AE ij ，故即 A C，CA 且 C 6.下列矩阵中，正定矩阵是( )（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：二次型正定的必要条件是 a ii 0 在选项 D 中，由于 a 33 0，易知 f(0，0，1)0，与X0，X T AX0 相矛盾 因为二次型正定的充分必要条件
16、是顺序主子式全大于零，而在选项 A 中，2 阶主子式 2 7.n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.二次型 T A 的负惯性指数为零B.存在可逆矩阵 P 使 P -1 APEC.存在 n 阶矩阵 C 使 AC -1 CD.A 的伴随矩阵 A * 与 E 合同 解析：解析：选项 A 是必要不充分条件这是因为 r(f)pqn，当 q0 时，有 r(f)pn此时有可能 pn，故二次型 T A 不一定是正定二次型因此矩阵 A 不一定是正定矩阵例如 f( 1 ， 2 ， 3 ) 1 2 5 3 2 选项 B 是充分不必要条件这是因为 P -1 APE 表示 A 与 E 相
17、似，即 A 的特征值全是 1，此时 A 是正定的但只要 A 的特征值全大于零就可保证 A 正定，因此特征值全是 1 是不必要的 选项 C 中的矩阵 C 没有可逆的条件，因此对于 AC T C 不能说 A 与 E 合同，也就没有 A 是正定矩阵的结论例如 显然矩阵不正定 关于选项 D，由于 A 正定 A -1 正定 A * 正定 A * 正定 8.下列矩阵中不是二次型的矩阵的是( )（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：因为9.n 元实二次型正定的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.该二次型的秩nB.该二次型的负惯性指数nC.该二次型的正惯性指数它的秩D.该二次型的正惯性指数n
18、解析：解析：二次型正定的充分必要条件是二次型的正惯性指数n10.下列条件不能保证 n 阶实对称阵 A 为正定的是( )（分数：2.00）A.A -1 正定B.A 没有负的特征值 C.A 的正惯性指数等于 nD.A 合同于单位阵解析：解析：A -1 正定表明存在可逆矩阵 C，使 C T A -1 CI n ，两边求逆得到 C -1 A(C T ) -1 C -1 A(C -1 ) T I n 即 A 合同于 I n ，A 正定，因此不应选 A D 是 A 正定的定义，也不是正确的选择 C表明 A 的正惯性指数等于 n，故 A 是正定阵由排除法，故选 B 事实上，一个矩阵没有负的特征值，但可能有零
19、特征值，而正定阵的特征值必须全是正数11.关于二次型 f( 1 ， 2 ， 3 ) 1 2 2 2 3 2 2 1 2 2 1 3 2 2 3 ，下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.是正定的B.其矩阵可逆C.其秩为 1 D.其秩为 2解析：解析：二次型的矩阵12.设 fX T AX，gX T BX 是两个 n 元正定二次型，则下列未必是正定二次型的是( )（分数：2.00）A.X T (AB)XB.X T A -1 XC.X * B -1 XD.X T ABX 解析：解析：因为 f 是正定二次型，A 是 n 阶正定阵，所以 A 的 n 个特征值 1 ， 2 ， n 都大于零，A0，设
20、AP j j P j ，则 A -1 p j P j ，A -1 的 n 个特征值 13.设 A，B 为正定阵，则( )（分数：2.00）A.AB，AB 都正定B.AB 正定，AB 非正定C.AB 非正定，AB 正定D.AB 不一定正定，AB 正定 解析：解析：由于 A、B 正定，所以对任何元素不全为零的向量 X 永远有 X T AX0，同时 X T BX0 因此 AB 正定，AB 不一定正定，AB 甚至可能不是对称阵14.实对称矩阵 A 的秩等于 r，它有个正特征值，则它的符号差为( )（分数：2.00）A.rB.trC.2tr D.rt解析：解析：A 的正惯性指数为 t，负惯性指数为 rt
21、，因此符号差等于 2tr15.二次型 f T A 经过满秩线性变换 Py 可化为二次型 y T By，则矩阵 A 与 B( )（分数：2.00）A.一定合同 B.一定相似C.既相似又合同D.既不相似也不合同解析：解析：f T A(Py) T A(Py)y T (P T AP)yy T By，即 BP T AP，所以矩阵 A 与 B 一定合同而只有当 P 是正交矩阵，即 P T P -1 时，才有 A 与 B 既相似又合同16.f( 1 ， 2 ， 3 ) 1 2 2 1 2 4 3 2 对应的矩阵是( )（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析： 1 ， 2 ， 3 平方项系数对应主对角
22、线元素：1，0，4， 1 2 系数的2 对应 a 12 和 a 21 系数的和，且 a 21 a 21 ，故 a 12 1，a 21 1因此选 C二、填空题(总题数：8，分数：16.00)17.设 f 1 2 2 2 5 3 2 2a 1 2 2 1 3 4 2 3 为正定二次型，则未知系数 a 的范围是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*a0）解析：解析：二次型的矩阵为 其各阶主子式为 因为 f 为正定二次型，所以必有 1a 2 0且a(5a4)0，因此 4a0 故当 18.二次型 f( 1 ， 2 ， 3 ) T A2 2 2 2 3 2 4 1 2 8 2 3
23、4 1 3 的规范形是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：z 1 2 z 2 2 z 3 2）解析：解析：按照定义，二次型的矩阵 A ，由特征多项式 EA 19.若二次曲面的方程为 2 3y 2 z 2 2ay2z2yz4，经正交变换化为 y 1 2 4z 1 2 4，则 a 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：本题等价于将二次型 f(，y，z) 2 3y 2 z 2 2ay2z2yz 经正交变换后化为了 fy 1 2 4z 1 2 由正交变换的特点可知，该二次型的特征值为 1，4，0由于矩阵的行列式值是对应特征值的乘积，且该二次型
24、的矩阵为 A 20.设 f( 1 ， 2 ) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：把行列式展开就可以得到二次型的一般表达式 因此对应的矩阵为21.二次型 f( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) 3 2 4 4 2 2 1 2 4 3 4 的规范形是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y 1 2 y 2 2 y 3 2）解析：解析：二次型的矩阵 A 22.若二次型 f( 1 ， 2 ， 3 )a 1 2 4 2 2 a 3 2 6 1 2 2 2 3 是正定的，则 a 的取值范围是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案
25、：a*）解析：解析：二次型 f 的矩阵为 A 因为 f 是正定的，因此矩阵 A 的顺序主子式全部大于零，于是有 a0， 4a90，A4a 2 10a0 解以上不等式，并取交集得 a 23.设 A 是 3 阶实对称矩阵，满足 A 2 2A 2 5A6E，且 kEA 是正定阵，则 k 的取值范围是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k2）解析：解析：根据题设条件，则有 A 3 2A 2 5A6EO， 设 A 有特征值 ，则人满足条件 3 2 2 560，将其因式分解可得 3 2 2 56(1)(2)(3)0， 因此可知矩阵 A 的特征值分别为 1，2，3，故 kEA 的特征
26、值分别为 k，k2，k3，且当 k2 时，kEA 的特征值均为正数故 k224.设 A 是 mn 矩阵，E 是 n 阶单位阵，矩阵 BaEA T A 是正定阵，则 a 的取值范围是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a0）解析：解析：B T (aEA T A) T aEA T AB，故 B 是一个对称矩阵 B 正定的充要条件是对于任意给定的 0，都有 T B(aEA T A)a T T A T Aa T (A) T A0， 其中(A) T (A)0， T 0，因此 a 的取值范围是a0，即 a0三、解答题(总题数：19，分数：38.00)25.解答题解答应写出文字说明、
27、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：26.f( 1 ， 2 ， 3 )5 1 2 5 2 2 c 3 2 2 1 2 6 1 3 6 2 3 的秩为 2 (1)求参数 c 及此二次型对应矩阵的特征值； (2)指出方程 f( 1 ， 2 ， 3 )1 表示何种二次曲面（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)二次型对应的矩阵为 由二次型的秩为 2，因此A0，由此解得c3，容易验证，此时 A 的秩为 2 又因EA )解析：27.已知二次曲面方程 2 ay 2 z 2 2by2z2yz4 可以经过正交变换 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意，矩阵 A 和矩阵 B 是相
28、似的，于是有EB，即 解得 a3，b1 此时，矩阵 A ，特征值为 1 0， 2 1， 3 4 由(0EA)0，得属于特征值 1 0 的特征向量为 1 (1，0，1) T ； 由(EA)0，得属于特征值 2 1 的特征向量为 2 (1，1，1) T ； 由(4EA)0，得属于特征值 3 4 的特征向量为 3 (1，2，1) T 将 1 ， 2 ， 3 单位化，得到 )解析：28.设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定，B 为 mn 实矩阵，B T 为 B 的转置矩阵，试证：B T AB 为正定矩阵的充分必要条件是 r(B)n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性：设 B T AB 为正定
29、矩阵，则由定义知，对任意的 n 维实列向量 0，有 T (B T AB)0，即(B) T A(B)0 于是，B0因此，B0 只有零解，故有 r(B)n 充分性：因(B T AB) T B T A T (B T ) T B T AB，故 B T AB 为实对称矩阵 若 r(B)n，则线性方程组 B0 只有零解，从而对任意的 n 维实列向量 0，有 B0 又 A 为正定矩阵，所以对于B0，有(B) T A(B)0 于是当 0，有 T (B T AB)(B) T A(B)0，故 B T AB 为正定矩阵)解析：29.写出下列二次型的矩阵： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由题干可知：
30、 f()( 1 ， 2 ) 2 1 2 2 2 4 1 2 ( 1 ， 2 ) 故二次型的矩阵为 A (2)由题干可知： f()( 1 ， 2 ， 3 ) 1 2 5 2 2 9 3 2 6 1 2 10 1 3 14 2 3 ( 1 ， 2 ， 3 ) 故二次型的矩阵为 A )解析：30.证明：二次型 f()A 在1 时的最大值为矩阵 A 的最大特征值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 为实对称矩阵，则存在一正交矩阵 T，使得 TAT -1 diag( 1 ， 2 ， n )， 其中 1 ， 2 ， n 为 A 的特征值，不妨设 1 最大 作正交变换yT，即 T -1 y，其中 T
31、 是正交矩阵，因此由 T -1 T T 有 f T Ay T TAT T yy T y 1 y 1 2 2 y 2 2 n y n 2 因为 yT，所以当1 时，有 2 T y T TT T yy 2 1， 即 y 1 2 y 2 2 y n 2 1 因此 f 1 y 1 2 2 y 2 2 n y n 2 1 (y 1 2 y 2 2 y n 2 ) 1 又当 y 1 1，y 2 y 3 y n 0 时，f 1 ，所以 f max 1 )解析：31.求一个正交变换化下列二次型化成标准形： (1)f2 1 2 3 2 2 3 3 2 4 2 3 ； (2)f 1 2 3 2 2 1 2 2 2
32、 3 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)二次型的矩阵为 得 A 的特征值为 1 2， 2 5， 3 1 当 1 2 时，解方程(A2E)0，由 得单位特征向量 P 1 当 2 5 时，解方程(A5E)0，由 得单位特征向量 p 2 当 3 1 时，解方程(AE)0 由 得单位特征向量 P 3 于是有正交矩阵 Q(p 1 ，P 2 ，P 3 )和正交变换 Qy，使得 则有f2y 1 2 5y 2 2 y 3 2 (2)二次型的矩阵为 可得 A 的特征值为 1 1， 2 1， 3 2 当 1 1 时，解方程(AE)0，由 得单位特征向量 p 1 当 2 1 时，解方程(AE)0，由
33、可得单位特征向量 p 2 当 3 2 时，解方程(A2E)0，由 可得单位特征向量 p 3 于是有正交矩阵 Q(p 1 ，p 2 ，p 3 )和正交变换 Qy，使得 )解析：32.设二次型 1 2 2 2 3 2 4 1 2 4 1 3 2a 2 3 经正交变换化为 3y 1 2 3y 2 2 by 3 2 ，求 a，b 的值及所用正交变换（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型及其标准形的矩阵分别是 由于是用正交变换化为标准形，故 A 与 B不仅合同而且相似那么有 11133b 得 b3 对 3，则有 3EA 2(a2) 2 0，因此 a2(二重根) 由(3EA)0，得特征向量 1
34、(1，1，0) T ， 2 (1，0，1) T 对 3，由(3EA)0，得特征向量 1 (1，1，1) T 因为 3 是二重特征值，对 T ， 2 正交化有 1 1 (1，1，0) T ， 2 2 单位化，有 )解析：33.已知二次型 f( 1 ， 2 ， 3 )(1a) 1 2 (1a) 2 2 2 3 2 2(1a) 1 2 的秩为 2 (1)求 a 的值； (2)求正交变换 Qy，把 f( 1 ， 2 ， 3 )化为标准形； (3)求方程f( 1 ， 2 ， 3 )0 的解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)二次型矩阵 A 二次型的秩为 2，则二次型矩阵 A 的秩也为 2，从而 因此 a0 (2)由(1)中结论 a0。则 A ，由特征多项式 EA (2)(1) 2 1(2) 2 ， 得矩阵 A 的特征值 1 2 2， 3 0 当 2，由(2EA)0，系数矩阵 ，得特征向量 1 (1，1， 0) T ， 2 (0，0，1) T 当0，由(0EA)0，系数矩阵 ，得特征向量 3 (1， 1，0) T 容易看出 1 ， 2 ， 3 已两两正交，故只需将它们单位化： 1 (1，1，0) T ， 2 (0，0，1) T ， 3 (1，1，0) T 那么令
