1、考研数学三（二次型）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设矩阵 则 A 与 B（A）合同，且相似（B）合同，但不相似（C）不合同，但相似（D）既不合同，也不相似2 设 ，则在实数域上与 A 合同的矩阵为3 设 则 A 与 B（A）合同且相似（B）合同但不相似（C）不合同但相似 （D）不合同且不相似二、填空题4 若二次型 f(x1，x 2，x 3)=2x12+x22+x32+2x1x2+tx2x3 是正定的，则 t 的取值范围是_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。4 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=4x22-3x3
2、2+4x1x2-4x1x3+8x2x35 写出二次型 f 的矩阵表达式6 用正交变换把二次型 f 化为标准形，并写出相应的正交矩阵7 设有 n 元实二次型 f(x 1，x 2，.,x n)=(x1+a1x1)2+(x1+a2x3)2+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2， 其中 ai(i=1，2，n) 为实数试问：当 a1，a 2，a n。满足何种条件时，二次型 f(x1，x 2，.,x n)为正定二次型7 设 为正定矩阵，其中 A，B 分别为 m 阶，n 阶对称矩阵，C 为 mn矩阵8 计算 PTDP，其中9 利用(I)的结果判断矩阵 BC TA-1C 是否为正定矩阵，并证明你
3、的结论10 设矩阵 ，矩阵 B=(kE+A)2，其中 k 为实数，E 为单位矩阵求对角矩阵 A，使 B 与 A 相似，并求 k 为何值时，B 为正定矩阵11 设 A 是 n 阶证定阵，E 是 n 阶单位阵，证明 A+E 的行列式大于 112 设 A 为 m 阶实对称矩阵，B 为 mn 实矩阵，B T 为 B 的转置矩阵，试证：B TAB为正定矩阵的充分必要条件是 B 的秩 r(B)=n12 设 A 为 n 阶实对称矩阵，秩(A)=n，A ij 是 A=(aij)nx 中元素 aij 的代数余子式(i，j=1，2，n)，二次型 f(x1，x 2，.,x n)= Aij/丨 A 丨 xixj.13
4、 记 X=(x1，x 2，.,x n)T，把 f(x1，x 2，.,x n)写成矩阵形式，并证明二次型 f(X)的矩阵为 A-1；14 二次型 g(X)=XTAX 与 f(X)的规范形是否相同?说明理由14 矩阵15 已知 A 的一个特征值为 3，试求 y16 求可逆矩阵 P，使(AP) T(AP)为对角矩阵考研数学三（二次型）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 根据相似的必要条件： aij= bij，易见 A 和 B 肯定不相似南此可排除(A)与 (C)而合同的充分必要条什是有相同的正惯性指数、负惯性指数为此
5、可以用特征值来加以判断由=(3) 2 知矩阵 A 的特征值为 3，3，0故二次制 xTAx 的正惯性指数 p=2，负惯性指数 q=0而二二次型xTBx 的正惯性指数亦为 p=2，负惯性指数 q=0，所以 A 与 B 合同故应选(B)【知识模块】 二次型2 【正确答案】 D【试题解析】 A 与 B 合同 x TAx 与 xTBx 相同的正惯性指数，及相同的负惯性指数而正(负)惯性指数的问题可由特征值的正(负) 来决定因为故 p=1，q=1 本题中(D) 之矩阵，特征值为 故 p=1，q=1所以选(D) 。【知识模块】 二次型3 【正确答案】 A【试题解析】 由丨 E-A 丨= 44 3=0，知矩
6、阵的 A 的特征值是 4，0,00又因A 是实对称矩阵，A 必能相似对角化，所以 A 与对角矩阵 B 相似作为实列称矩阵，当 AB 时，知 A 与 B 有相同的特征值，从而二次型 xTAx 与 xTBx 有相同的正负惯性指数因此 A 与 B 合同所以本题应当选 (A)注意，实对称矩阵合同时，它们不一定相似，但相似时一定合同例如 它们的特征值不同，故 A 与 B 不相似，但它们的正惯性指数均为 2，负惯性指数均为 0所以A 与 B 合同【知识模块】 二次型二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 二次型 f 的矩阵为 因为 f 正定 A 的顺序主子式全大于零又 1=2， 1= =1， 3=丨 A
7、 丨=1-1/2t 2，故 f 正定 1-1/2t20，即【知识模块】 二次型三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 二次型5 【正确答案】 f 的矩阵表示为 f(x1，x 2，x 3)=xTAx=(x1，x 2，x 3)【知识模块】 二次型6 【正确答案】 由 A 的特征方程=(1)(236)=0，得到 A 的特征值为 1=1， 2=6， 3=-6 由(E-A)x=0 得基础解系1=(2， 0，-1) T，即属于 1 的特征向量 由(6E-A)x=0 得基础解系 2=(1，5，2)T，即属于 6 的特征向量 由(-6E-A)x=0 得基础解系 3=(1，-1，2) T
8、，即属于=6 的特征向量 对于实对称矩阵，特征值不同特征向最已正交，故只需单位化，有 1=1/丨丨 1 丨丨 2=2/丨丨 2 丨丨 3=3/丨丨 3 丨丨那么，令 Q=(1， 2， 3)= ，经正交变换 ，二次型化为标准形 f(x1，x 2，x 3)=xTAx=yTAy=y12+6y2212-6y32【知识模块】 二次型7 【正确答案】 由已知条件知，对任意的 x1，x 2，.,x n，恒有 f(x1，x 2，.,x n)0，其中等号成立的充分必要条件是 x1+a1x2=0，x 2+a2x3=0，x n-1+an-1xn,xn+anx1根据正定的定义，只要 x0，恒有 xTAx0，则 xTA
9、x 是正定二次型为此，只要方程仅有零解，就必有当 x0时，x 1+a1x2，x 2+a2x3，恒不全为 0，从 f(x1，x 2，.,x n)0，亦即 f 是一定二次型而方程组只有零解的充分必要条件是系数行列式=1+(-1)n+1a1a2an0，即当 a1a2an(-1)n 时，二次型f(x1，x 2，.,x n)为正定二次型【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型8 【正确答案】 因为 PT= 所以 PTDP【知识模块】 二次型9 【正确答案】 因为 D 是对称矩阵，知 pTDP 是对称矩阵，所以 B-CTA-1C 为对称矩阵又因矩阵 D 与 合同，且 D 正定，知矩阵 正定，那么， 恒有(
10、0，Y T) =YT(B-CTA-1C)Y0 所以矩阵B-CTA-1C 正定【知识模块】 二次型10 【正确答案】 由于 A 是实对称矩阵，有 BT=(kE+A)2T=(kE+A)T2=(k+A)2=B即 B 是实对称矩阵，故 B 必可相似对角化由=(-2)2 可得到 k 的特征值是 1=2=2， 3=0那么，kE+A 的特征值是 k+2，k+2，k，而(kE+A) 2 的特征值是(k+2) 2，(k+2) 2，k 2故因为矩阵 B 正定的充分必要条件是特征值全大于0，可见当 k-2且 k0时，矩阵 B 正定【试题解析】 由于 B 是实对称矩阵，B 必可相似对角化，而对角矩阵 A 即 B 的特
11、征值，只要求出 B 的特征值即知 A，又因正定的充分必要条件是特征伉伞大于0，k 的取值亦可求出【知识模块】 二次型11 【正确答案】 证法一 因为 A 是正定阵，故存在正交矩阵 Q，使 Q TAQ=Q-1AQ=A= 其中 i0(i：1，2，n)， i 是 A 的特征值. 因此 QT(A+E)Q=QTAQ+QTQ=A+E 两端取行列式得 丨 A+E 丨=丨 QT 丨丨 A+E 丨丨 Q 丨=丨 QT(A+E)Q 丨= 丨 A+E 丨= (i+1) 从而丨 A+E 丨1证法二 设 A 的 n个特征值是 1， 2， n由于 A 是正定矩阵，故特征值全大于 0 因为 A+E的特征值是 i+1， 2+
12、1， ， n+1，它们全大于 1，根据丨 A 丨= i，知 丨 A+E丨= (i+1)1【知识模块】 二次型12 【正确答案】 必要性,设 BTAB 为正定矩阵，按定义 0，恒有 xT(BTAB)x0即 0，恒有(Bx) TA(Bx)0即 0，恒有 Bx0因此，齐次线性方程组Bx=0 只有零解，从而 r(B)=n 充分性因(B TAB)T=BTAT(BT)T=BTAB，知 BTAB为实对称矩阵 若 r(B)=n，则齐次方程组 Bx=0 只有零解，那么 0必有Bx0 又 A 为正定矩阵，所以对于 Bx0，恒有(Bx) TA(Bx)0即当 x0时，xT(BTAB)x0，故 BTAB 为正定矩阵【知
13、识模块】 二次型【知识模块】 二次型13 【正确答案】 由于 f(x1，x 2，.,x n)= Aij/丨 A 丨 xixj. =(x1，x 2，.,x n)因为 r(A)=n，知 A 可逆，又因 A 是实对称的，有(A -1)T=(AT)-1=A-1得知 A-1=A*/丨 A 丨是实对称矩阵，于是 A*是对称的，故二次型f(X)的矩阵是 A-1.【知识模块】 二次型14 【正确答案】 经坐标变换 X=A-1Y，有 g(X)=x TAX=(A-1Y)TA(A-1Y)=YT(A-1)TY=YTA-1Y=f(Y)， 即 g(X)与 f(X)有相同的规范形【试题解析】 如果 f(x)=XTAX，其中
14、 A 是实对称矩阵，那么 XTAX 就是二次型f(X)的矩阵表示，为此应读出双和号的含义两个二次型如果其正负惯性指数相同，它们的规范形就一样。反之亦然而根据惯性定理，经坐标变换二次型的正负惯性指数不变，因而规范形相同【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型15 【正确答案】 因为 =3是 A 的特征值，故所以 y=2【知识模块】 二次型16 【正确答案】 由于 AT=A，要(AP) T(AP)=PTA2P=A，而 A2= 是对称矩阵，故可构造二次型 xTA2x，将其化为标准形 yTAy即有 A2 与 A 合同亦即pTA2P=A由于 x TA2x=x12+x22+5x32+5x42+8x3x4=x12+x22+5(x32+8/5x3x4+16/25x42)+5x42-16/5x42；=x 12+x22+5(x3+x4)2+9/5x42，那么，令y1=x1， y2=x2,y3=x3+4/5x4，y 4=x4，即经坐标变换 有 xTA2x=y12+y22+5y32+9/5y42所以，取 P= ，有(AP) T(AP)=PTA2P=.【知识模块】 二次型
