1、考研数学一（常微分方程）-试卷 3 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.微分方程 满足 y(1)=0 的特解是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设线性无关的函数 y 1 (x)，y 2 (x)，y 3 (x)均是方程 y“+p(x)y“+q(x)y=f(x)的解，C 1 ，C 2 是任意常数，则该方程的通解是 ( )（分数：2.00）A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3B.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(C 1 +C 2
2、)y 3C.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(1-C 1 -C 2 )y 3D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1-C 1 -C 2 )y 34.设二阶线性常系数齐次微分方程 y“+by“+y=0 的每一个解 y(x)都在区间(0，+)上有界，则实数 b 的取值范围是 ( )（分数：2.00）A.0，+)B.(-，0C.(-，4D.(-，+)5.具有特解 y 1 =e -x ，y 2 =2xe -x ，y 3 =3e x 的三阶线性常系数齐次微分方程是 ( )（分数：2.00）A.y“-y“-y“+y=0B.y“+y“-y“-y=0C.y“-6y“+11y“-6y=0D.y“-2y“
3、-y“+2y=06.函数 （分数：2.00）A.是通解B.是特解C.是解，但既非通解也非特解D.不是解二、填空题(总题数：8，分数：16.00)7.设 y=e c ，y=x 2 为某二阶线性齐次微分方程的两个特解，则该微分方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_8.设 p(x)，q(x)与 f(x)均为连续函数，f(x)0设 y(x)，y(x)与 y(x)是二阶线性非齐次方程 y“+p(x)y“+q(x)y=f(x) 的 3 个解，且 （分数：2.00）填空项 1:_9.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_10.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(x)在(-，+)内
4、有定义，且对任意 x(-，+)，y(-，+)，成立 f(x+y)=f(x)e y +f(y)e x ，且 f“(0)存在等于 a，a0，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 f(x)在(-，+)上可导，且其反函数存在为 g(x)若则当-x+时 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_13.微分方程 y“+ytanx=cosx 的通解为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.微分方程 y“-4y=e 2x 的通解为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：14，分数：32.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_已知 y
5、=y(x)是微分方程(x 2 +y 2 )dy=dx-dy 的任意解，并在 y=y(x)的定义域内取 x 0 ，记 y 0 =y(x 0 )（分数：4.00）(1).证明： （分数：2.00）_(2).证明： （分数：2.00）_16.设 a0，函数 f(x)在0，+)上连续有界，证明：微分方程 y“+ay=f(x)的解在0，+)上有界（分数：2.00）_17.已知曲线 y=y(x)经过点(1，e -1 )，且在点(x，y)处的切线方程在 y 轴上的截距为 xy，求该曲线方程的表达式（分数：2.00）_18.求解 （分数：2.00）_设 (x)是以 2 为周期的连续函数，且 “(x)=(x)，
6、(0)=0（分数：4.00）(1).求方程 y“+ysinx=(x)e cosx 的通解；（分数：2.00）_(2).方程是否有以 2 为周期的解?若有，请写出所需条件，若没有，请说明理由（分数：2.00）_19.设有方程 y“+P(x)y=x 2 ，其中 P(x)= （分数：2.00）_设 （分数：4.00）(1).用变限积分表示满足上述初值问题的特解 y(x)；（分数：2.00）_(2).讨论 （分数：2.00）_20.求微分方程 xy“+y=xe x 满足 y(1)=1 的特解（分数：2.00）_21.求(4-x+y)dx-(2-x-y)dy=0 的通解（分数：2.00）_22.求 xy
7、“-y“lny“+y“lnx=0 满足 y(1)=2 和 y“(1)=e 2 的特解（分数：2.00）_23.求 y“ 2 -yy“=1 的通解（分数：2.00）_24.求(x+2)y“+xy“ 2 =y“的通解（分数：2.00）_25.求微分方程 （分数：2.00）_考研数学一（常微分方程）-试卷 3 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.微分方程 满足 y(1)=0 的特解是 ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：将原方程变形为
8、 这是齐次微分方程，令 分离变量得 由 u(1)=0 可得 C=0，进而导出 u+3.设线性无关的函数 y 1 (x)，y 2 (x)，y 3 (x)均是方程 y“+p(x)y“+q(x)y=f(x)的解，C 1 ，C 2 是任意常数，则该方程的通解是 ( )（分数：2.00）A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3B.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(C 1 +C 2 )y 3C.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(1-C 1 -C 2 )y 3D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1-C 1 -C 2 )y 3 解析：解析：由于 C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1-C
9、 1 -C 2 )y 3 =C 1 (y 1 -y 3 )+C 2 (y 2 -y 3 )+y 3 ，其中 y 1 -y 3 和 y 2 -y 3 是原方程对应的齐次方程的两个线性无关的解，又 y 3 是原方程的一个特解，所以(D)是原方程的通解4.设二阶线性常系数齐次微分方程 y“+by“+y=0 的每一个解 y(x)都在区间(0，+)上有界，则实数 b 的取值范围是 ( )（分数：2.00）A.0，+) B.(-，0C.(-，4D.(-，+)解析：解析：因为当 b2 时， ，所以，当 b 2 -40 时，要想使 y(x)在区间(0，+)上有界，只需要 ，即 b2当 b 2 -40 时，要想
10、使 y(x)在区间(0，+)上有界，只需要 的实部大于等于零，即 0b2当 b=2 时，y(x)=C 1 e -x +C 2 xe -x 在区间(0，+)上有界当 b=-2 时，y(x)=C 1 e x +C 2 xe x 5.具有特解 y 1 =e -x ，y 2 =2xe -x ，y 3 =3e x 的三阶线性常系数齐次微分方程是 ( )（分数：2.00）A.y“-y“-y“+y=0B.y“+y“-y“-y=0 C.y“-6y“+11y“-6y=0D.y“-2y“-y“+2y=0解析：解析：根据题设条件，1，-1 是特征方程的两个根，且-1 是重根，所以特征方程为(-1)(+1) 2 =
11、3 + 2 -1=0，故所求微分方程为 y“+y“-y“-y=0，故选(B) 或使用待定系数法，具体为：设所求的三阶常系数齐次线性微分方程是 y“+ay“+by“+cy=0 由于 y 1 =e -x ，y 2 =2xe -x ，y 3 =3e x 是上述方程的解，所以将它们代入方程后得 6.函数 （分数：2.00）A.是通解B.是特解C.是解，但既非通解也非特解 D.不是解解析：解析：(1)因原方程阶数为二，通解中应包含两个任意常数(可求出通解为 C 1 +C 2 + )；(2)特解中不含有任意常数 二、填空题(总题数：8，分数：16.00)7.设 y=e c ，y=x 2 为某二阶线性齐次微
12、分方程的两个特解，则该微分方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于方程形状已知，故只要将两个特解分别代入并求出系数即可 方法一 设所求的二阶齐次线性微分方程为 y“+p(x)y“+q(x)y=0 分别以 y 1 =e x ，y 2 =x 2 代入，得 8.设 p(x)，q(x)与 f(x)均为连续函数，f(x)0设 y(x)，y(x)与 y(x)是二阶线性非齐次方程 y“+p(x)y“+q(x)y=f(x) 的 3 个解，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 1 (y 1 -y 2 )+C 2 (y 2 -y 3 )+
13、y 1 ，其中C 1 ，C 2 为任意常数）解析：解析：由非齐次线性方程的两个解，可构造出对应的齐次方程的解，再证明这样所得到的解线性无关便可 y 1 -y 2 与 y 2 -y 3 均是式对应的线性齐次方程 y“+p(x)y“+q(x)y=0 的两个解今证它们线性无关事实上，若它们线性相关，则存在两个不全为零的常数 k 1 与 2 使 k 1 (y 1 -y 2 )+k 2 (y 2 -y 3 )=0 设 k 1 0，又由题设知 y 2 -y 3 0，于是式可改写为 9.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x 2 =ylny+C，其中 C 为任意常数）解析：解析
14、：将 x 看成未知函数，y 看成自变量，问题就迎刃而解了 将 x 看成未知函数(实际上就是作反函数变换)，原方程改写为 这是一个伯努利方程，令 z=x 2 ，有 得 10.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：熟悉反函数的导数的读者知道， 原方程可化为 x 于 y 的二阶常系数线性方程将式代入原方程，原方程化为 解得 x 关于 y 的通解为 以 x=0 时，y=0 代入上式，得 0=C 1 +C 2 ， 再将式两边对 y 求导，有 x=0 时， ，解得 C 1 =1，C 2 =-1， 于是得通解 11.设 f(x)在(-，+)内有定义，且对任意 x(
15、-，+)，y(-，+)，成立 f(x+y)=f(x)e y +f(y)e x ，且 f“(0)存在等于 a，a0，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：axe x）解析：解析：由 f“(0)存在，设法去证对一切 x，f“(x)存在，并求出 f(x) 将 y=0 代入(x+y)=f(x)=f(x)e y +f(y)e x ，得 f(x)=f(x)+f(0)e x ，所以 f(0)=0 12.设 f(x)在(-，+)上可导，且其反函数存在为 g(x)若则当-x+时 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：未知函数含于
16、积分之中的方程称积分方程现在此积分的上限为变量，求此方程的解的方法是将方程两边对 x 求导数化成微分方程解之注意，积分方程的初值条件蕴含于所给式子之中，读者应自行设法挖掘之 将所给方程两边对 x 求导，有 gf(x)f“(x)+f(x)=xe x 因 gf(x)x，所以上式成为 xf“(x)+f(x)=xe x 以 x=0 代入上式，由于 f“(0)存在，所以由上式得 f(0)=0当 x0 时，上式成为 由于 f(x)在 x=0 处可导，所以连续令 x0，得 13.微分方程 y“+ytanx=cosx 的通解为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(x+C)cosx
17、，其中 C 为任意常数）解析：解析：属于一阶非齐次线性方程，直接根据解一阶非齐次线性方程的方法即可得出答案14.微分方程 y“-4y=e 2x 的通解为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：y“-4y=0 的特征根 =2，则 其通解为 y=C 1 e -2x +C 2 e 2x 设其特解 y*=Axe 2x 代入y“-4y=e 2x ，可解得 所以 y“-4y=e 2x 的通解为 三、解答题(总题数：14，分数：32.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：已知 y=y(x)是微分方程(x 2 +y 2 )dy=dx-dy
18、的任意解，并在 y=y(x)的定义域内取 x 0 ，记 y 0 =y(x 0 )（分数：4.00）(1).证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题以微分方程的概念为载体，考查一元微积分学的综合知识，是一道有一定难度的综合题 将微分方程(x 2 +y 2 )dy=dx-dy 变形为 ，则 y=y(x)为严格单调增函数，根据单调有界准则，只要证明 y(x)有界即可 对 设 xx 0 ，则 y(x)y(x 0 )+ )解析：(2).证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y(x)有上界，所以 存在 同理可证，当 xx 0 时，y(x)有下界，所以 也存在 故 )解析：16.设
19、 a0，函数 f(x)在0，+)上连续有界，证明：微分方程 y“+ay=f(x)的解在0，+)上有界（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原方程的通解为 设 f(x)在0，+)上的上界为 M，即f(x)M，则当x0 时，有 )解析：17.已知曲线 y=y(x)经过点(1，e -1 )，且在点(x，y)处的切线方程在 y 轴上的截距为 xy，求该曲线方程的表达式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题以几何问题为载体，让考生根据问题描述建立微分方程，然后求解，是一道简单的综合题，是考研的重要出题形式 曲线 y=f(x)在点(x，y)处的切线方程为 Y-y=y“(X-x)，令X=0，得到
20、截距为 xy=y-xy“，即 xy“=y(1-x) 此为一阶可分离变量的方程，于是， 又 y(1)=e -1 ，故 C=1，于是曲线方程为 )解析：18.求解 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程化为 此为齐次方程，故令 ，代入上述方程得 积分得ln(u+e u )=-lny+C 1 ， (u+e u )y=C， 将 ，故原方程的通解为 x+ )解析：设 (x)是以 2 为周期的连续函数，且 “(x)=(x)，(0)=0（分数：4.00）(1).求方程 y“+ysinx=(x)e cosx 的通解；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题考查微分方程的求解与解的讨论，尤其是(2
21、)关于解的讨论，是考生在考场上的难点，请复习备考的学生重视 该方程为一阶线性微分方程，通解为 y=e -sinxdx (x)e cosx e sinxdx dx+C=e cosx (x)e cosx .e -cosx dx+C =e cosx (x)dx+C=e cosx (x)+C(C 为任意常数)解析：(2).方程是否有以 2 为周期的解?若有，请写出所需条件，若没有，请说明理由（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 “(x)=(x)，所以 (x)= 而 (x+2)= 所以，当 时，(x+2)=(x)，即 (x)以 2 为周期 因此，当 )解析：19.设有方程 y“+P(x)y=x
22、 2 ，其中 P(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题虽是基础题，但其特色在于当 z 的取值范围不同时，系数 P(x)不同，这样所求解的方程就不一样，解的形式自然也会不一样，最后要根据解 y=y(x)是连续函数，确定任意常数 当x1 时，方程及其初值条件为 求解得 y=e -1dx (x 2 e 1dx dx+C)=e -x (x 2 e x dx+C)=x 2 -2x+2+Ce -x 由 y(0)=2 得 C=0，故 y=x 2 -2x+2 当 x1 时，方程为 ，求解得 又 y(x)在(-，+)内连续，有 f(1 - )=f(1 + )=f(1)，即 1-2+2= 所以
23、)解析：设 （分数：4.00）(1).用变限积分表示满足上述初值问题的特解 y(x)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：一般认为，一阶线性微分方程 y“+p(x)y=q(x)的计算公式为 y=e -p(x)dx e.q(x)dx+C， 而本题是要求写成变限积分形式 请考生仔细分辨这里的变量表达形式 由于本题表达形式比较复杂，且写出表达式后还要进行极限讨论，故本题对于考生是一道难题 初值问题可写成 由上述变限积分形式的通解公式，有： )解析：(2).讨论 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.求微分方程 xy“+y=xe x 满足 y(1)=1 的特解（分数：2.00
24、）_正确答案：(正确答案：方法一 对应的齐次方程 xy“+y=0 的通解是 设其中 C 为 x 的函数，则 代入原方程，得 C“=xe x ，C=xe x -e x +C 1 ， 故原方程的通解为 当 x=1，y=1 时，C 1 =1，所以特解为 方法二 由通解公式得 当 x=1，y=1 时，得 C=1，所以特解为 )解析：21.求(4-x+y)dx-(2-x-y)dy=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程化为 设 x=X+h，y=Y+k，代入方程，并令 解得 h=3，k=-1，此时原方程化为 )解析：22.求 xy“-y“lny“+y“lnx=0 满足 y(1)=2 和
25、y“(1)=e 2 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 y“=p，则 y“=p“，代入原方程中，xp“-plnp+pinx=0，即 这是齐次方程，设 p=xu，则 代入上式，得 由原方程知 x0，y“0，从而 u0，积分后，得 lnu-1=C 1 x，即 lnu=C 1 x+1， 回代 代入初值条件 y“(1)=e 2 ，解得 C 1 =1，得到方程 )解析：23.求 y“ 2 -yy“=1 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 y“=p， ，积分得 )解析：24.求(x+2)y“+xy“ 2 =y“的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 y“=p，有 ，原式成为 两边同除以 p 2 ，化为 当 C 1 0 时，得 当 C 1 =0 时，得 当 C 1 0 时，得 )解析：25.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：此为齐次方程，只要作代换 令 u= 所以有 uarctanu- 即得原方程通解为 )解析：
