1、考研数学一（常微分方程）模拟试卷 14 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.微分方程 y“+2y+y=0 的通解是( )（分数：2.00）A.y=C 1 cosx+C 2 sinx。B.y=C 1 e x +C 2 e -2x 。C.y=(C 1 +C 2 x)e -x 。D.y=C 1 e x +C 2 e -x 。3.在下列微分方程中，以 y=C 1 e x +C 2 cos2x+C 3 sin2x(其中 C 1 ，C 2 ，C 3 为任意常数)为
2、通解的是( )（分数：2.00）A.y“+y“一 4y一 4y=0。B.y“+y“+4y+4y=0。C.y“一 y“一 4y+4y=0。D.y“一 y“+4y一 4y=0。4.设 y=y(x)是二阶常系数微分方程 y“+py+qy=e 3x 满足初始条件 y(0)=y(0)=0 的特解，则当 x0 时，函数 （分数：2.00）A.不存在。B.等于 1。C.等于 2。D.等于 3。5.微分万程 y“一 4y=x+2 的通解为( )（分数：2.00）A.(C 1 +C 2 x)e 2x 一 B.(C 1 +C 2 x)e -2x 一 C.C 1 e -2x +C 2 e 2x 一 D.C 1 e
3、-2x +C 2 e 2x 一 6.设 a，b，c 为待定常数，则微分方程 y“一 3y+2y=3x 一 2e x 的特解形式为( )（分数：2.00）A.(ax+b)e x 。B.(ax+b)xe x 。C.(ax+b)+ce x 。D.(ax+b)+cxe x 。二、填空题(总题数：8，分数：16.00)7.微分方程 xy+y=0 满足条件 y(1)=1 的解是 y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_8.微分方程 ydx+(x 2 4x)dy=0 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_9.微分方程 ydx+(x 一 3y 2 )dy=0 满足条件 y x=1 =1 的解为 1。
4、（分数：2.00）填空项 1:_10.微分方程 xy+2y=xlnx 似满足 y(1)=一 （分数：2.00）填空项 1:_11.若函数 f(x)满足方程 f“(x)+f(x)一 2f(x)=0 及 f(x)+f(x)=2e x ，则 f(x)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_12.y“一 6y+13y=0 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_13.已知 y 1 =e 3x 一 xe 2x ，y 2 =e x 一 xe 2x ，y 3 =一 xe 2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3 个解，则该方程的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_14.欧拉方程 x （分数：
5、2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：32.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_16.求微分方程 xy+y=2 （分数：2.00）_17.求微分方程 （分数：2.00）_18.设有微分方程 y一 2y=(x)，其中 (x)= （分数：2.00）_19.求微分方程 yycosx=y 2 (1 一 sinx)cosx 的通解。（分数：2.00）_20.试确定常数 ，使微分方程 xydx+ （分数：2.00）_21.求微分方程 y“=e 2x cosx 的通解。（分数：2.00）_22.求微分方程 xy“=y+x 2 的通解。（分数：2.0
6、0）_23.设函数 y(x)(x0)二阶可导，且 y(x)0，y(0)=1。过曲线 y=y(x)上任一点 P(x，y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形面积记为 S 1 ，区间0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S 2 ，且 2S 1 一 S 2 =1，求此曲线 y=y(x)的方程。（分数：2.00）_24.若二阶常系数线性齐次微分方程 y“+ay+by=0 的通解为 y=(C 1 +C 2 x)e x ，则非齐次方程y“+ay+by=x 满足条件 y(0)=2，y(0)=0 的解为 y=_。（分数：2.00）_25.求微分方程 y“一 3y+2y
7、=2xe x 的通解。（分数：2.00）_26.求方程 y“+y一 2y=2cos2x 的通解。（分数：2.00）_27.求微分方程 y“一 y=e x cos2x 的一个特解。（分数：2.00）_28.解微分方程 y“一 y“一 2y=0。（分数：2.00）_29.解微分方程 y (4) 一 2y“+y“=0。（分数：2.00）_30.某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下来。 现有一质量为 9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为 700kmh。经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 k=60
8、10 6 )。问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少?(kg 表示千克，kmh 表示千米小时。)（分数：2.00）_考研数学一（常微分方程）模拟试卷 14 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.微分方程 y“+2y+y=0 的通解是( )（分数：2.00）A.y=C 1 cosx+C 2 sinx。B.y=C 1 e x +C 2 e -2x 。C.y=(C 1 +C 2 x)e -x 。 D.y=C 1 e x +C 2 e -x 。解析：解析：
9、特征方程为 2 +2+1=0 1 = 2 =一 1，则通解为 y=(C 1 +C 2 x)e -x 。故选 C。3.在下列微分方程中，以 y=C 1 e x +C 2 cos2x+C 3 sin2x(其中 C 1 ，C 2 ，C 3 为任意常数)为通解的是( )（分数：2.00）A.y“+y“一 4y一 4y=0。B.y“+y“+4y+4y=0。C.y“一 y“一 4y+4y=0。D.y“一 y“+4y一 4y=0。 解析：解析：由 y=C 1 e x +C 2 cos2x+C 3 sin2x，可知其特征根为 1 =1， 2，3 =2i，故对应的特征方程为 ( 一 1)(+2i)( 一 2i)
10、=( 一 1)( 2 +4) = 3 一 x +4 一 4。 所以所求微分方程为 y“一 y“+4y一 4y=0。应选 D。4.设 y=y(x)是二阶常系数微分方程 y“+py+qy=e 3x 满足初始条件 y(0)=y(0)=0 的特解，则当 x0 时，函数 （分数：2.00）A.不存在。B.等于 1。C.等于 2。 D.等于 3。解析：解析：因 y(0)=y(0)=0，ln(1+0)=0，故利用洛必达法则， 5.微分万程 y“一 4y=x+2 的通解为( )（分数：2.00）A.(C 1 +C 2 x)e 2x 一 B.(C 1 +C 2 x)e -2x 一 C.C 1 e -2x +C
11、2 e 2x 一 D.C 1 e -2x +C 2 e 2x 一 解析：解析：对应齐次微分方程 y“一 4y=0 的特征方程为 2 4=0，特征值为 =一 2，=2，则齐次方程 y“一 4y=0 的通解为 C 1 e -2x +C 2 e 2x ，根据选项进行验证知，方程 y“一 4y=x+2 有特解一 6.设 a，b，c 为待定常数，则微分方程 y“一 3y+2y=3x 一 2e x 的特解形式为( )（分数：2.00）A.(ax+b)e x 。B.(ax+b)xe x 。C.(ax+b)+ce x 。D.(ax+b)+cxe x 。 解析：解析：微分方程对应的齐次微分方程是 y“一 3y+
12、2y=0，其特征方程为 一 3+2=0，其特征根为 1 =1， 2 =2。 因此微分方程 y“一 3y+2y=一 2e x 有形如 y 1 x =cxe x 的特解，又微分方程 y“一3y+2y=3x 有形如 y 2 * =ax+b 的特解。所以，由叠加原理可知，原方程 y“一 3y+2y=3x 一 2e x 有形如 y * =y 1 * +y 2 * =cxe x +(ax+b)的特解，应选 D。二、填空题(总题数：8，分数：16.00)7.微分方程 xy+y=0 满足条件 y(1)=1 的解是 y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由已知方程变形
13、整理得 ，两边积分后，得 lny=一 lnx+C。 代入初值条件 y(1)=1，得 C=0。所以 y=8.微分方程 ydx+(x 2 4x)dy=0 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(x 一 4)y 4 =Cx，C 为任意常数。）解析：解析：分离变量得 ，两边积分后整理得 +lny=C 1 ， 化简可得 9.微分方程 ydx+(x 一 3y 2 )dy=0 满足条件 y x=1 =1 的解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：C=0）解析：解析：如果把 x 看成因变量(未知函数)，y 看成自变量，则原微分方程可写成 这是以 y 为
14、自变量，x 为未知函数的一阶线性微分方程。由一阶线性微分方程通解公式得 将 y x=1 =1 代入解得C=0。 所以微分方程满足条件 y x=1 =1 的解为 x=y 2 ，即 y= 10.微分方程 xy+2y=xlnx 似满足 y(1)=一 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：原方程两端同除以 x，得 y+ =lnx， 此为一阶线性微分方程，通解为11.若函数 f(x)满足方程 f“(x)+f(x)一 2f(x)=0 及 f(x)+f(x)=2e x ，则 f(x)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e x）解析：解析：已知条件
15、中二阶常微分方程的特征方程为 2 + 一 2=0，特征根为 1 =1， 2 =一2， 则二阶齐次微分方程 f“(x)+f(x)一 2f(x)=0 的通解为 f(x)=C 1 e x +C 2 e -2x 。 再由 f(x)+f(x)=2e x 得 2C 1 e x 一 C 2 e -2x =2e x ，可知 C 1 =1，C 2 =0故 f(x)=e x 。12.y“一 6y+13y=0 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=e 3x (C 1 cos2x+C 2 sin2x)，其中 C 1 ，C 2 为常数。）解析：解析：特征方程为 2 一 6+13=0，
16、因为根的判别式=36413=一 160，则特征方程有一对共轭复根 i，其中 =一 13.已知 y 1 =e 3x 一 xe 2x ，y 2 =e x 一 xe 2x ，y 3 =一 xe 2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3 个解，则该方程的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 1 e 3x +C 2 e x 一 xe 2x ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数。）解析：解析：显然 y 1 一 y 3 =e 3x 和 y 2 一 y 3 =e x 是对应的二阶常系数齐次线性微分方程两个线性无关的解。且 y * =一 xe 2x 是非齐次微分方程的一个
17、特解。 由解的结构定理，该方程的通解为 y=C 1 e 3x +C 2 e x 一 xe 2x ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数。14.欧拉方程 x （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y= ）解析：解析：令 x=e t ，则 t=lnx，且 解此方程，得通解为 y=C 1 e -t +C 2 e -2t ， 将 x=e t 代回，即 y= 三、解答题(总题数：16，分数：32.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：16.求微分方程 xy+y=2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程两端同除以 x 得 y+ ，即
18、y=xu，则 y=u+ 。 将 )解析：17.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原方程可变形为 两边积分，得 lnlnu 一 1=lnx+lnC， 即 Cx=lnu 一 1， 将 )解析：18.设有微分方程 y一 2y=(x)，其中 (x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：已知所求函数 y=y(x)在(一，1)和(1，+)都满足所给微分方程，故在两个区间上分别求微分方程，即 其中 C 1 ，C 2 为常数。化简得 因为 y(0)=0，所以 y x=0 =一1+C 1 e 2x x=0 =一 1+C 1 =0，解得 C 1 =1。 又因为 y=y(x)在(一，+)
19、内连续，所以 C 2 e 2x =y(1)，解得 C 2 =1 一 e -2 ，故所求函数 )解析：19.求微分方程 yycosx=y 2 (1 一 sinx)cosx 的通解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原微分方程可变形为 =(sinx 一 1)y 2 。 令 y -1 =u，则 ，代入变形后的方程，得 此为一阶线性微分方程，由一阶线性微分方程通解公式，得 )解析：20.试确定常数 ，使微分方程 xydx+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据全微分方程的特点，有 由 ，得 =1，此时微分方程为全微分方程。选取路径为(0，0)(x，0)(x，y)，则 u(x，y)=
20、0 x x0dx+ y 2 =c， 由于 y(0)=2，所以 c=1，因此方程的通解为 )解析：21.求微分方程 y“=e 2x cosx 的通解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对方程连续积分三次，得 )解析：22.求微分方程 xy“=y+x 2 的通解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 y=P，则 y“=P，将其代入原方程，得 xP=P+x 2 ，即 P一 P=x， 这是以 x 为自变量，P 为未知函数的一阶线性微分方程，利用一阶线性微分方程的求解公式，有 P= +C 1 )=e lnx (xe -lnx dx+C 1 ) =x(dx+C 1 )=x(x+C 1 )，
21、 即1555*=x 2 +C 1 x，该等式两边积分，得原微分方程的通解为 y= )解析：23.设函数 y(x)(x0)二阶可导，且 y(x)0，y(0)=1。过曲线 y=y(x)上任一点 P(x，y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形面积记为 S 1 ，区间0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S 2 ，且 2S 1 一 S 2 =1，求此曲线 y=y(x)的方程。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设曲线 y=y(x)上点 P(x，y)处的切线斜率为 y，则切线方程为 yy=y(X 一 x)，上式两边对 x 求导并化简，得 yy“一(y)2
22、=0， 此为不显含 x 的可降阶方程，令 y=p，则 y“= ，因此原方程化为 )解析：24.若二阶常系数线性齐次微分方程 y“+ay+by=0 的通解为 y=(C 1 +C 2 x)e x ，则非齐次方程y“+ay+by=x 满足条件 y(0)=2，y(0)=0 的解为 y=_。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由齐次微分方程 y“+ay+by=0 的通解为 y=(C 1 +C 2 x)e x 可知 =1 是特征方程 2 +a+b=0 的重根，从而可得 a=一 2，b=1。则原齐次微分方程为 y“一 2y+y=x。 设特解 y * =Ax+B，则(y * )=A，(y * )“=0。
23、分别将其代入原微分方程，有一 2A+Ax+B=x，比较 x 的系数知，A=1。于是有一 2+B=0，即 B=2。所以特解 y * =x+2。 故非齐次微分方程的通解 y=(C 1 +C 2 x)e x +x+2，将y(0)=2，y(0)=0 代入，得 C 1 =0，C 2 =一 1。 因此满足条件的解 y=一 xe x +x+2x(1 一 e x )+2。)解析：25.求微分方程 y“一 3y+2y=2xe x 的通解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：所对应齐次方程 y“一 3y+2y=0 的特征方程为 2 一 3+2=0，由此解得 1 =2， 2 =1。因此对应齐次方程的通解为 y
24、=C 1 e 2x +C 2 e x 。 x=1 是特征方程的一个单根，故设非齐次方程的特解为 y * =(ax+b)xe x ，则 (y * )=ax 2 +(2a+b)x+be x ，(y * )“=ax 2 +(4a+b)x+2a+2be x ， 代入原方程得 a=一 1，b=一 2，即 y * =一(x+2)xe x 。 从而所求解为 y=C 1 e 2x +C 2 e x 一x(x+2)e x ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数。)解析：26.求方程 y“+y一 2y=2cos2x 的通解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对应的齐次线性方程 y“+y一 2y=0 的特征方
25、程为 2 + 一 2=0 解得特征根为 1 =一 2， 2 =1，因此，齐次线性方程的通解为 y=Cl e -2x +C2e x 。 由于 =2，i=2i 不是特征根，因此，设非齐次线性方程的特解 y * =Acos2x+Bsin2x，对其求一阶、二阶导数，并代入原方程可得 (一 2A+2B 一 4A)cos2x+(一 2B 一 2A4B)sin2x=2cos2x， 比较两端相同项的系数可得 故原方程的通解为 y=C 1 e -2x +C 2 e x 一 )解析：27.求微分方程 y“一 y=e x cos2x 的一个特解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是二阶常系数非齐次线性方程
26、，且 f(x)属 e x P l (1) (x)coswx+P n (2) (x)sinwx型，其中 =1，w=2，P l (1) (x)=1，P n (2) (x)=0。 对应齐次方程的特征方程为 2 一 1=0，解得 ，=1，=一 1。由于 +iw=1+2i 不是特征方程的根，所以设特解为 y * =e x (accos2x+bsin2x)。求导得 (y * )=e x (a+2b)cos2x+(一 2a+b)sin2x， (y * )“=e x (一 3a+4b)cos2x+(一 4a 一 3b)sin2x， 代入所给方程，得 4e x (一 a+b)cos2x 一(a+b)sin2x=
27、e x cos2x， 比较两端同类项的系数，有 因此所给方程的一个特解为 y * = )解析：28.解微分方程 y“一 y“一 2y=0。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：该微分方程的特征方程为： 3 一 2 一 2=0， 即 ( 一 2)(+1)=0，它的根分别为 =0，=2，=一 1，因此所给微分方程的通解是 y=C 1 +C 2 e -x +C 3 e 2x ，其中 C 1 ，C 2 ，C 3 为常数。)解析：29.解微分方程 y (4) 一 2y“+y“=0。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 4 2 3 + 2 =0，即 2 ( 一 1) 2 =0，解得 1
28、，2 =0， 3，4 =1，故方程的解为 y=C 1 +C 2 x+(C 3 +C 4 x)e x ，其中 C 1 ，C 2 ，C 3 ，C 4 为常数。)解析：30.某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下来。 现有一质量为 9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为 700kmh。经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 k=6010 6 )。问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少?(kg 表示千克，kmh 表示千米小时。)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设，飞机的质量 m=9000kg，着陆时的水平速度 v 0 =700kmh。从飞机接触跑道开始记时，设 t 时刻飞机的滑行距离为 x(t)，速度为 v(t)。 根据牛顿第二定律，得 ，积分得 x(t)=一 +C。由于 v(0)=v 0 ，x(0)=0，故得 C= v 0 一 v(t)。 当 v(t)0 时， x(t) )解析：
