1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学文 一、选择题 (共本大题 10 小题，每小题 5分，共 50 分 ) 1.设 i 是虚数单位，复数 i3+ =( ) A.-i B.i C.-1 D.1 解析 ：复数 i3+ =-i+ =-i+ =1. 答案： D. 2.命题 “ x R， |x|+x20” 的否定是 ( ) A. x R， |x|+x2 0 B. x R， |x|+x20 C. x0 R， |x0|+x02 0 D. x0 R， |x0|+x020 解析 ：根据全称命题的否定是特称命题，则命题 “ x R， |x|+x20” 的否定 x0 R，|x0|+x02 0， 答
2、案： C. 3.抛物线 y= x2的准线方程是 ( ) A. y=-1 B. y=-2 C. x=-1 D. x=-2 解析 ：抛物线 y= x2的标准方程为 x2=4y，焦点在 y 轴上， 2p=4， =1， 准线方程 y=- =-1. 答案： A. 4.如图所示，程序框图 (算法流程图 )的输出结果是 ( ) A. 34 B. 55 C. 78 D. 89 解析 ：第一次循环得 z=2， x=1， y=2； 第二次循环得 z=3， x=2， y=3； 第三次循环得 z=5， x=3， y=5； 第四次循环得 z=8， x=5， y=8； 第五次循环得 z=13， x=8， y=13； 第六
3、次循环得 z=21， x=13， y=21； 第七次循环得 z=34， x=21， y=34； 第八次循环得 z=55， x=34， y=55；退出循环，输出 55， 答案： B 5.设 a=log37， b=23.3， c=0.81.1，则 ( ) A. b a c B. c a b C. c b a D. a c b 解析 ： 1 log37 2， b=23.3 2， c=0.81.1 1，则 c a b， 答案： B. 6.过点 P(- ， -1)的直线 l 与圆 x2+y2=1 有公共点，则直线 l 的倾斜角的取值范围是 ( ) A. (0， B. (0， C. 0， D. 0， 解析
4、 ：由题意可得，要求的直线的斜率存在，设为 k，则直线方程为 y+1=k(x+ )， 即 kx-y+ k-1=0. 根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得 1 ， 即 3k2-2 k+1k 2+1，解得 0k ，故直线 l 的倾斜角的取值范围是 0， ， 答案： D. 7.若将函数 f(x)=sin2x+cos2x 的图象向右平移 个单位，所得图象关于 y 轴对称，则 的最小正值是 ( ) A. B. C. D. 解析 ：函数 f(x)=sin2x+cos2x= sin(2x+ )的图象向右平移 的单位， 所得图象是函数 y= sin(2x+ -2) ， 图象关于 y 轴对称，
5、可得 -2=k+ ，即 = - ， 当 k=-1 时， 的最小正值是 . 答案： C. 8.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为 ( ) A. B. C. 6 D. 7 解析 ：由三视图可知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图， 正方体棱长为 2，正三棱锥侧棱互相垂直，侧棱长为 1， 故几何体的体积为： V 正方体 -2V 棱锥侧 = . 答案： A. 9.若函数 f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为 3，则实数 a 的值为 ( ) A. 5 或 8 B. -1 或 5 C. -1 或 -4 D. -4 或 8 解析 ： -1 时， x - ， f(x)=-
6、x-1-2x-a=-3x-a-1 -1； - x -1， f(x)=-x-1+2x+a=x+a-1 -1； x -1， f(x)=x+1+2x+a=3x+a+1 a-2， -1=3 或 a-2=3， a=8 或 a=5， a=5 时， -1 a-2，故舍去； -1 时， x -1， f(x)=-x-1-2x-a=-3x-a-1 2-a； -1x - ， f(x)=x+1-2x-a=-x-a+1 - +1； x - ， f(x)=x+1+2x+a=3x+a+1 - +1， 2 -a=3 或 - +1=3， a= -1 或 a=-4， a=-1 时， - +1 2-a，故舍去； 综上 ， a=-4
7、 或 8. 答案： D. 10.设 ， 为非零向量， | |=2| |，两组向量 ， ， ， 和 ， ， ， ，均由 2 个 和 2 个 排列而成，若 + + + 所有可能取值中的最小值为 4| |2，则 与 的夹角为 ( ) A. B. C. D. 0 解析 ：由题意，设 与 的夹角为 ， 分类讨论可得 + + + = + + + =10| |2，不满足 + + + = + + + =5| |2+4| |2cos ，不满足； + + + =4 =8| |2cos=4| |2，满足题意，此时 cos= ， 与 的夹角为 . 答案： B. 二、填空题 (本大题共 5 小题，每小题 5分，共 25
8、分 ) 11.( ) +log3 +log3 = . 解析 ： ( ) +log3 +log3 = = . 答案： . 12.如图，在等腰直角三角形 ABC 中，斜边 BC=2 ，过点 A作 BC 的垂线，垂足为 A1，过点A1作 AC 的垂线，垂足为 A2，过点 A2作 A1C 的垂线，垂足为 A3 ，依此类推，设 BA=a1， AA1=a2，A1A2=a3， ， A5A6=a7，则 a7= . 解析 ： 等腰直角三角形 ABC 中，斜边 BC=2 ， sin45= ，即 = ， 同理 = ， = ，由归纳推理可得 an是公比 q= 的等比数列，首项 a1=2， 则 a7= = ， 答案：
9、. 13.不等式组 表示的平面区域的面积为 . 解析 ：由不等式组 作平面区域如图， 由图可知 A(2， 0)， C(0， 2)， 联立 ，解得： B(8， -2).|BC|= . 点 A 到直线 x+2y-4=0 的距离为 d= . . 答案： 4. 14.若函数 f(x)(x R)是周期为 4 的奇函数，且在 0， 2上的解析式为f(x)= ，则 f( )+f( )= . 解析 ：函数 f(x)(x R)是周期为 4 的奇函数，且在 0， 2上的解析式为f(x)= ， 则 f( )+f( ) =f(8- )+f(8- ) =f(- )+f(- ) =-f( )-f( ) = = = . 答
10、案： . 15.若直线 l 与曲线 C 满足下列两个条件： (i)直线 l 在点 P(x0， y0)处与曲线 C 相切； (ii)曲线 C 在点 P 附近位于直线 l 的两侧，则称直线 l在点 P处 “ 切过 ” 曲线 C. 下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号 ). 直线 l： y=0 在点 P(0， 0)处 “ 切过 ” 曲线 C： y=x3 直线 l： x=-1 在点 P(-1， 0)处 “ 切过 ” 曲线 C： y=(x+1)2 直线 l： y=x 在点 P(0， 0)处 “ 切过 ” 曲线 C： y=sinx 直线 l： y=x 在点 P(0， 0)处 “ 切过 ” 曲线 C：
11、 y=tanx 直线 l： y=x-1 在点 P(1， 0)处 “ 切过 ” 曲线 C： y=lnx. 解析 ：对于 ，由 y=x3，得 y=3x 2，则 y| x=0=0，直线 y=0是过点 P(0， 0)的曲线 C 的切线，又当 x 0 时 y 0，当 x 0 时 y 0，满足曲线 C在 P(0， 0)附近位于直线 y=0 两侧， 命题 正确； 对于 ，由 y=(x+1)2，得 y=2(x+1) ，则 y| x=-1=0， 而直线 l： x=-1 的斜率不存在，在点 P(-1， 0)处不与曲线 C 相切， 命题 错误； 对于 ，由 y=sinx，得 y=cosx ，则 y| x=0=1，直
12、线 y=x 是过点 P(0， 0)的曲线的切线， 又 x 时 x sinx， x 时 x sinx，满足曲线 C 在 P(0， 0)附近位于直线 y=x 两 侧， 命题 正确； 对于 ，由 y=tanx，得 ，则 y| x=0=1，直线 y=x 是过点 P(0， 0)的曲线的切线， 又 x 时 tanx x， x 时 tanx x，满足曲线 C 在 P(0， 0)附近位于直线 y=x 两侧， 命题 正确； 对于 ，由 y=lnx，得 ，则 y| x=1=1，曲线在 P(1， 0)处的切线为 y=x-1， 由 g(x)=x-1-lnx，得 ，当 x (0， 1)时， g(x) 0， 当 x (1
13、， +) 时， g(x) 0. g(x) 在 (0， +) 上有极小值也是最小值，为 g(1)=0. y=x -1 恒在 y=lnx 的上方，不满足曲线 C 在点 P 附近位于直线 l 的两侧，命题 错误 . 正确的命题是 . 答案： . 三、解答题 (本大题共 6 小题，共 75 分 ) 16.(12 分 )设 ABC 的内角 A， B， C 所对边的长分别为 a， b， c，且 b=3， c=1， ABC 的面积为 ，求 cosA 与 a 的值 . 解析 ：利用三角形的面积公式，求出 sinA= ，利用平方关系，求出 cosA，利用余弦定理求出 a 的值 . 答案 ： b=3 ， c=1，
14、 ABC 的面积为 ， = ， sinA= ， 又 sin 2A+cos2A=1cosA= ， 由余弦定理可得 a= =2 或 2 . 17.(12 分 )某高校共有学生 15000 人，其中男生 10500 人，女生 4500 人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集 300 名学生每周平均体育运动时间的样本数据 （ 单位：小时 ） . () 应收集多少位女生的样本数据？ () 根据这 300 个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图 (如图所示 )，其中样本数据的分组区间为： 0， 2， (2， 4， (4， 6， (6， 8， (8， 10，
15、 (10， 12，估计该校学生 每周平均体育运动时间超过 4 小时的概率； () 在样本数据中，有 60 位女生的每周平均体育运动时间超过 4 小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有 95%的把握认为 “ 该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关 ”. 附： K2= . 解析 ： () 根据 15000 人，其中男生 10500 人，女生 4500 人，可得应收集多少位女生的样本数据； () 由频率分布直方图可得 1-2(0.100+0.025)=0.75 ，即可求出该校学生每周平均体育运动时间超过 4 小时的概率； () 写出 22 列联表，求出 K2，与 临界值比较，即
16、可得出结论 . 答案 ： ()300 =90， 应收集 90 位女生的样本数据； () 由频率分布直方图可得 1-2(0.100+0.025)=0.75 ， 该校学生每周平均体育运动时间超过 4 小时的概率为 0.75； () 由 () 知， 300 位学生中有 3000.75=225 人每周平均体育运动时间超过 4 小时， 75人每周平均体育运动时间不超过 4 小时，又因为样本数据中有 210 份是关于男生的， 90 份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下： K 2= 4.762 3.841， 有 95%的把握认为 “ 该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关 ”. 18.
17、(12 分 )数列 an满足 a1=1， nan+1=(n+1)an+n(n+1)， n N*. () 证明：数列 是等差数列； () 设 bn=3n ，求数列 bn的前 n 项和 Sn. 解析 ： () 将 nan+1=(n+1)an+n(n+1)的两边同除以 n(n+1)得 ，由等差数列的定义得证 . () 由 () 求出 bn=3n =n3n，利用错位相减求出数列 bn的前 n 项和 Sn. 答案： ()na n+1=(n+1)an+n(n+1)， ， ， 数列 是以 1 为首项，以 1 为公差的等差数列； () 由 () 知， ， ， bn=3n =n 3n， 3n-1+n 3n 3n
18、+n 3n+1 - 得 3n-n 3n+1= = . 19.(13 分 )如图，四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 8 的正方形，四条侧棱长均为 2 ，点 G，E， F， H 分别是棱 PB， AB， CD， PC 上共面的四点，平面 GEFH 平面 ABCD， BC 平面 GEFH. () 证明： GHEF ； () 若 EB=2，求四边形 GEFH 的面积 . 解析 ： () 证明 GHEF ，只需证明 EF 平面 PBC，只需证明 BCEF ，利用 BC 平面 GEFH即可； () 求出四边形 GEFH 的上底、下底及高，即可求出面积 . 答案： ()BC 平面 GEFH，平面 GEF
19、H 平面 ABCD=EF， BC平面 ABCD， BCEF ， EF 平面 PBC， BC 平面 PBC， EF 平面 PBC， 平面 EFGH 平面 PBC=GH， EFGH ； () 连接 AC， BD 交于点 O， BD 交 EF 于点 K，连接 OP， GK. PA=PC ， O 为 AC 中点， POAC ， 同理可得 POBD ， 又 BDAC=O ， AC底面 ABCD， BD底面 ABCD， PO 底面 ABCD， 又 平面 GEFH 平面 ABCD， PO平面 GEFH， PO 平面 GEFH， 平面 PBD 平面 GEFH=GK， POGK ，且 GK 底面 ABCDGK
20、是梯形 GEFH 的高 AB=8 ， EB=2， ， KB= ，即 K 为 OB 中点， 又 POGK ， GK= PO，即 G 为 PB 中点，且 GH= ， 由已知可得 OB=4 ， PO= = =6， GK=3 ， 故四边形 GEFH 的面积 S= = =18. 20.(13 分 )设函数 f(x)=1+(1+a)x-x2-x3，其中 a 0. () 讨论 f(x)在其定义域上的单调性； () 当 x 0， 1时，求 f(x)取得最大值和最小值时的 x 的值 . 解析 ： () 利用导数判断函数的单调性即可； () 利用 () 的结论，讨论两根与 1 的大小关系，判断函数在 0， 1时的
21、单调性，得出取最值时的 x 的取值 . 答案 ： ()f(x) 的定义域为 (- ， +) ， f(x)=1+a -2x-3x2， 由 f(x)=0 ，得 x1= ， x2= ， x1 x2， 由 f(x) 0 得 x ， x ； 由 f(x) 0 得 x ； 故 f(x)在 (- ， )和 ( ， +) 单调递减， 在 ( ， )上单调递增； ()a 0， x 1 0， x2 0， (i)当 a4 时， x21 ，由 () 知， f(x)在 0， 1上单调递增， f(x) 在 x=0 和 x=1 处分别取得最小值和最大值 . (ii)当 0 a 4 时， x2 1，由 () 知， f(x)在
22、 0， x2单调 dz，在 x2， 1上单调递减， 因此 f(x)在 x=x2= 处取得最大值，又 f(0)=1， f(1)=a， 当 0 a 1 时， f(x)在 x=1 处取得最小值； 当 a=1 时， f(x)在 x=0 和 x=1 处取得最小值； 当 1 a 4 时， f(x)在 x=0 处取得最小值 . 21.(13 分 )设 F1， F2分别是椭圆 E： + =1(a b 0)的左、右焦点，过点 F1的直线交椭圆 E 于 A， B 两点， |AF1|=3|F1B|. () 若 |AB|=4， ABF 2的周长为 16，求 |AF2|； () 若 cosAF 2B= ，求椭圆 E 的
23、离心率 . 解析 ： () 利用 |AB|=4， ABF 2的周长为 16， |AF1|=3|F1B|，结合椭圆的定义，即可求 |AF2|； () 设 |F1B|=k(k 0)，则 |AF1|=3k， |AB|=4k，由 cosAF 2B= ，利用余弦定理，可得 a=3k，从而 AF 1F2是等腰直角三角形，即可求椭圆 E 的离心率 . 答案 ： ()|AB|=4 ， |AF1|=3|F1B|， |AF 1|=3， |F1B|=1， ABF 2的周长为 16， 4a=16 ， |AF 1|+|AF2|=2a=8， |AF 2|=5； () 设 |F1B|=k(k 0)，则 |AF1|=3k， |AB|=4k， |AF 2|=2a-3k， |BF2|=2a-k cosAF 2B= ， (4k) 2=(2a-3k)2+(2a-k)2- (2a-3k)(2a-k)， 化简可得 a=3k， |AF 2|=|AF1|=3k， |BF2|=5k|BF 2|2=|AF2|2+|AB|2， AF 1AF 2， AF 1F2是等腰直角三角形， c= a， e= = .
