1、考研数学一（线性代数）-试卷 22 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 n 阶矩阵 A，B 等价，则下列说法中，不一定成立的是 ( )（分数：2.00）A.如果A0，则B0B.如果 A 可逆，则存在可逆矩阵 P，使得 PB=EC.如果 AE，则B0D.存在可逆矩阵 P 与 Q，使得 PAQ=B3.设 A= （分数：2.00）A.1B.3C.1 或 3D.无法确定4.设 （分数：2.00）A.AP 1 P 2 =BB.AP 2 P 1 =BC.P 1
2、 P 2 A=BD.P 2 P 1 A=B5.设 （分数：2.00）A.A -1 P 1 P 2B.P 1 A -1 P 2C.P 1 P 2 A -1D.P 2 A -1 P 16.设 A 是 N 阶矩阵，则 （分数：2.00）A.(-2) n A nB.(4A) nC.(-2) 2n A * nD.4A n7.设 则(P -1 ) 2016 A(Q 2011 ) -1 = ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.已知 1 ， 2 ， 3 ， 4 为 3 维非零列向量，则下列结论： 如果 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 1 ， 2 ， 3 线性相关； 如果 1 ， 2 ，
3、 3 线性相关， 2 ， 3 ， 4 线性相关，则 1 ， 2 ， 4 也线性相关； 如果 r( 1 ， 1 + 2 ， 2 + 3 )=r( 4 ， 1 + 4 ， 2 + 4 ， 3 + 4 )， 则 4 可以由 1 ， 2 ， 3 线性表出其中正确结论的个数为 ( )（分数：2.00）A.0B.1C.2D.3二、填空题(总题数：5，分数：10.00)9.设 （分数：2.00）填空项 1:_10.已知 A，B 均是 3 阶矩阵，将 A 中第 3 行的一 2 倍加到第 2 行得矩阵 A 1 ，将 B 中第 1 列和第 2 列对换得到 B 1 ，又 A 1 B 1 = （分数：2.00）填空项
4、 1:_11.设 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 A，B 为 3 阶相似矩阵，且2E+A=0， 1 =1， 2 =-1 为 B 的两个特征值，则行列式A+2AB= 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设 A=E+ T ，其中 ， 均为 n 维列向量， T =3，则A+2E= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：34.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_15.设 A=(a ij ) nn ，且 （分数：2.00）_16.已知 n 阶矩阵 求A中元素的代数余子式之和 ，第 i 行元素的代数余子式之和 ，i=1，2，n 及主对角元的
5、代数余子式之和 （分数：2.00）_17.设矩阵 A 的伴随矩阵 A * = （分数：2.00）_18.设 A 是 n 阶可逆阵，将 A 的第 i 行和第 j 行对换得到的矩阵记为 B证明：B 可逆，并推导 A -1 和 B -1 的关系（分数：2.00）_设 A 是 n 阶可逆阵，每行元素之和都等于常数 a证明：（分数：4.00）(1).a0；（分数：2.00）_(2).A -1 的每行元素之和均为 （分数：2.00）_19.A，B 为 n 阶方阵，证明： （分数：2.00）_20.计算 （分数：2.00）_设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，E+AB 可逆（分数：4.00）(1).
6、验证：E n +BA 也可逆，且(E n +BA) -1 =E n -B(E nt +AB) -1 A；（分数：2.00）_(2).设 其中 （分数：2.00）_21.已知 1 =1，-1，1 T ， 2 =1，t，-1 T ， 3 =t，1，2 T ，=4，t 2 ，-4 T ，若 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，且表示法不唯一，求 t 及 的表达式（分数：2.00）_22.设向量组 1 ， 4 ， s (s2)线性无关，且 1 = 1 + 2 ， 2 = 2 + 3 ， s-1 = s-1 + s ， s = s + 1 讨论向量组 1 ， 2 ， s 的线性相关性（分数：2.00）_
7、23.设向量组 1 ， 2 ， t 是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，向量 不是方程组 Ax=0的解，即 A0证明：向量组 ，+ 1 ，+ 2 ，+ t 线性无关（分数：2.00）_24.设向量组()与向量组()，若()可由()线性表示，且 r()=r()=r证明：()与()等价（分数：2.00）_25.求齐次线性方程组 （分数：2.00）_26.问 A 为何值时，线性方程组 （分数：2.00）_27.A 为何值时，方程组 （分数：2.00）_考研数学一（线性代数）-试卷 22 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列
8、每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 n 阶矩阵 A，B 等价，则下列说法中，不一定成立的是 ( )（分数：2.00）A.如果A0，则B0 B.如果 A 可逆，则存在可逆矩阵 P，使得 PB=EC.如果 AE，则B0D.存在可逆矩阵 P 与 Q，使得 PAQ=B解析：解析：两矩阵等价的充要条件是秩相同 当 A 可逆时，有 r(A)=n，因此有 r(B)=n，也即 B 是可逆的，故 B -1 B=E，可见(B)中命题成立 AE 的充要条件也是 r(A)=n，此时也有 r(B)=n，故B0，可见(C)中命题也是成立的 矩阵 A，B 等价的充要条件是存在可
9、逆矩阵 P 与 Q，使得 PAQ=B，可知(D)中命题也是成立的 故唯一可能不成立的是(A)中的命题事实上，当A0 时，我们也只能得到 r(B)=n，也即B0，不一定有B0故选(A)3.设 A= （分数：2.00）A.1B.3C.1 或 3 D.无法确定解析：解析：由 r(A * )=1 得 r(A)=3，则A=0，即 4.设 （分数：2.00）A.AP 1 P 2 =BB.AP 2 P 1 =BC.P 1 P 2 A=B D.P 2 P 1 A=B解析：解析：由 A 第一行加到第三行(P 2 左乘 A)再将第一，二行对换(再 P 1 左乘 P 2 A)得到，故(C)成立5.设 （分数：2.0
10、0）A.A -1 P 1 P 2B.P 1 A -1 P 2C.P 1 P 2 A -1 D.P 2 A -1 P 1解析：解析：因 B=AP 2 P 1 ，B -1 =(AP 2 P 1 ) -1 = 6.设 A 是 N 阶矩阵，则 （分数：2.00）A.(-2) n A nB.(4A) n C.(-2) 2n A * nD.4A n解析：解析： 7.设 则(P -1 ) 2016 A(Q 2011 ) -1 = ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：易知 P 2 =E，故 P -1 =P，进一步有 (P -1 ) 2016 =P 2016 (P 2 ) 1008 =E 利
11、用归纳法易证 故(P -1 ) 2016 A(Q 2011 ) -1 = 8.已知 1 ， 2 ， 3 ， 4 为 3 维非零列向量，则下列结论： 如果 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 1 ， 2 ， 3 线性相关； 如果 1 ， 2 ， 3 线性相关， 2 ， 3 ， 4 线性相关，则 1 ， 2 ， 4 也线性相关； 如果 r( 1 ， 1 + 2 ， 2 + 3 )=r( 4 ， 1 + 4 ， 2 + 4 ， 3 + 4 )， 则 4 可以由 1 ， 2 ， 3 线性表出其中正确结论的个数为 ( )（分数：2.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析：如果 1 ， 2
12、， 3 线性无关，由于 1 ， 2 ， 3 ， 4 为 4 个 3 维向量，故 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，则 4 必能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，可知是正确的 令 1 = 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)9.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：E+B=E+(E+A) -1 (E-A)=(E+A -1 (E+A+E-A)=(E+A) -1 2E， 故 10.已知 A，B 均是 3 阶矩阵，将 A 中第 3 行的一 2 倍加到第 2 行得矩阵 A 1 ，将 B 中第 1 列和第 2 列对换得到 B 1 ，又 A 1 B 1 = （
13、分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：12.设 A，B 为 3 阶相似矩阵，且2E+A=0， 1 =1， 2 =-1 为 B 的两个特征值，则行列式A+2AB= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：18）解析：解析：由2E+A=A-(-2E)=0 知 =-2 为 A 的一个特征值由 AB 知 A 和 B 有相同特征值，因此 1 =1， 2 =-1 也是 A 的特征值故 A，B 的特征值均 1 =1， 2 =-1， 3 =-2 则有E+2B 的特征值为 1+21
14、=3，1+2(-1)=-1，1+2(-2)=-3，从而 E+2B=3(-1)(-3)=9，A= 1 2 3 =2 故 A+2AB=A(E+2B)=A.E+2B=29=1813.设 A=E+ T ，其中 ， 均为 n 维列向量， T =3，则A+2E= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2.3 n）解析：解析：由于 T =3，可知 tr( T )=3 T 的秩为 1，故 0 至少为 T 的 n-1 重特征值，故 T 的特征值为 0(n-1 重)，3因此，A+2E= T +3E 的特征值为 3(n-1 重)，6，故 A+2E=3-1.6=2.3 n 三、解答题(总题数：16
15、，分数：34.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：15.设 A=(a ij ) nn ，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.已知 n 阶矩阵 求A中元素的代数余子式之和 ，第 i 行元素的代数余子式之和 ，i=1，2，n 及主对角元的代数余子式之和 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：AA * =AE=E， )解析：17.设矩阵 A 的伴随矩阵 A * = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设 (A-E)BA -1 =3E (A-E)B=3A， A -1 (A-E)B=3E， (E-A -1 )B=3E， 其中A * =
16、8=A 3 ，A=2，从而得 (2E-A * )B=6E，B=6(2E-A * ) -1 )解析：18.设 A 是 n 阶可逆阵，将 A 的第 i 行和第 j 行对换得到的矩阵记为 B证明：B 可逆，并推导 A -1 和 B -1 的关系（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 E ij 为初等阵 )解析：设 A 是 n 阶可逆阵，每行元素之和都等于常数 a证明：（分数：4.00）(1).a0；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 A 中各列加到第一列，得 )解析：(2).A -1 的每行元素之和均为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A= 1 ， 2 ， n ，A -
17、1 = 1 ， 2 ， n ，E=e 1 ，e 2 ，e n ，由 A -1 A=E，得 A -1 1 ， 2 ， n =e 1 ，e 2 ，e n ， A -1 j =e j ，j=1，n， A -1 1 +A -1 2 +A -1 n =e 1 +e 2 +e n ， A -1 ( 1 + 2 + n )=A -1 另一方面，A -1 =a( 1 + 2 + n ) 比较以上两式，得证 得证A -1 的每行元素之和为 )解析：19.A，B 为 n 阶方阵，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设 A 是
18、mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，E+AB 可逆（分数：4.00）(1).验证：E n +BA 也可逆，且(E n +BA) -1 =E n -B(E nt +AB) -1 A；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(E n +BA)(E n -B(E m +AB) -1 A) =E n +BA-B(E m +AB) -1 A-BAB(E m +AB) -1 A =E n +BA-B(E m +AB)(E m +AB) -1 A=E n ， 故 (E n +BA) -1 =E n -B(E m +AB) -1 A)解析：(2).设 其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 其中 X=
19、x 1 ，x 2 ，x n T ，Y=y 1 ，y 2 ，y n T 因1+Y T X=1+ =20，由(1)知 P=E+XY T 可逆，且 )解析：21.已知 1 =1，-1，1 T ， 2 =1，t，-1 T ， 3 =t，1，2 T ，=4，t 2 ，-4 T ，若 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，且表示法不唯一，求 t 及 的表达式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 =，按分量写出为 对增广矩阵进行初等行变换得 其通解为 )解析：22.设向量组 1 ， 4 ， s (s2)线性无关，且 1 = 1 + 2 ， 2 = 2 + 3 ，
20、 s-1 = s-1 + s ， s = s + 1 讨论向量组 1 ， 2 ， s 的线性相关性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一 设 x 1 1 +x 2 2 +x s s =0，即 (x 1 +x s ) 1 +(x 1 +x 2 ) 2 +(x s-1 +x s ) s =0 因为 1 ， 2 ， s 线性无关，则 其系数行列式 (1)当 s 为奇数时，A=20，方程组只有零解，则向量组 1 ， 2 ， s 线性无关； (2)当 s 为偶数时，A=0，方程组有非零解，则向量组 1 ， 2 ， s 线性相关 方法二 显然 1 ， 2 ， s = 1 ， 2 ， s = 1
21、， 2 ， s K ss ， 因为 1 ， 2 ， s 线性无关，则 r( 1 ， 2 ， s )minr( 1 ， 2 ， s )，r(K)=r(K) (1)r(K)=s K=1+(-1) s+1 0 s 为奇数时，r( 1 ， 2 ， s )=s，则向量组 1 ， 2 ， s 线性无关； (2)r(K)s K=1+(-1) s+1 =0 )解析：23.设向量组 1 ， 2 ， t 是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，向量 不是方程组 Ax=0的解，即 A0证明：向量组 ，+ 1 ，+ 2 ，+ t 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 k+k 1 (+ 1 )+k
22、t (+ t )=0，即 (k+k 1 +k t )+k 1 1 +k t t =0， 等式两边左乘 A，得(k+k 1 +k t )A=0 k+k 1 +k t =0，则 k 1 1 +k t t =0 由 1 ， 2 ， t 线性无关，得 k 1 =k t =0 )解析：24.设向量组()与向量组()，若()可由()线性表示，且 r()=r()=r证明：()与()等价（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设()的一个极大无关组为 1 ， 2 ， r ，()的一个极大无关组为 1 ， 2 ， r 因为()可由()表示，即 1 ， 2 ， r 可由 1 ， 2 ， r 线性表示，于是 r(
23、 1 ， 2 ， r ， 1 ， 2 ， r )=r( 1 ， 2 ， r )=r 又 1 ， 2 ， r 线性无关，则 1 ， 2 ， r ，也可作为 1 ， 2 ， r ， 1 ， 2 ， r 的一个极大无关组，于是 1 ， 2 ， r 也可由 1 ， 2 ， r 表示，即()也可由()表示，得证)解析：25.求齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A= ，则方程组的解为 )解析：26.问 A 为何值时，线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：B=Ab= 线性方程组有解 ，其通解为 )解析：27.A 为何值时，方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程组改写为 则有 当 1 且 时，方程组有唯一解； 当 =1 时，方程组有无穷多解，且 通解为 )解析：
