1、考研数学一（线性代数）-试卷 32 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 2n 阶行列式 D 的某一列元素及其余子式都等于 a，则 D=( )（分数：2.00）A.0。B.a 2 。C.-a 2 。D.na 2 。3.设 A，B 是 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.AB=OB.A=OC.AB=0D.A=14.设 A 为正交矩阵，则下列矩阵中不属于正交矩阵的是( )（分数：2.00）A.A T 。B.A 2 。C.A * 。
2、D.2A。5.设 1 ， 2 ， s 均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，下列选项正确的是( )（分数：2.00）A.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关。B.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性无关。C.若 1 ， 2 ， s 线性无关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关。D.若 1 ， 2 ， s 线性无关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性无关。6.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则线性方程组(AB)x=0( )（分数：2.00）A.当 nm 时，仅有零解。B.当 nm 时，必有非零解。C.当
3、 mn 时，仅有零解。D.当 mn 时，必有非零解。7.设 1 ， 2 ， 3 是四元非齐次线性方程组 Ax=b 的三个解向量，且 r(A)=3， 1 =(1，2，3，4) T ， 2 + 3 =(0，1，2，3) T ，c 表示任意常数，则线性方程组 Ax=b 的通解 x=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.已知 =(1，-2，3) T 是矩阵 A= （分数：2.00）A.a=-2，b=6。B.a=2，b=-5。C.a=2，b=6。D.a=-2，b=-6。9.设 A 是 n 阶矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，n 维列向量 是矩阵 A 的属于特征值 的特征向量，那么在下列矩阵中 A 2
4、 ； P -1 AP； A T ； （分数：2.00）A.1。B.2。C.3。D.4。10.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +x 2 ) 2 +(2x 1 +3x 2 +x 3 ) 2 -5(x 2 +x 3 ) 2 的规范形为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：9，分数：18.00)11.设 A=( 1 ， 2 ， 3 )是三阶矩阵，且A=4。若 B=( 1 -3 2 +2 3 ， 2 -2 3 ，2 2 + 3 )，则B= 1。（分数：2.00）填空项 1:_12.设 =(1，2，3) T ，=(1， （分数：2.00）填空项 1:_13.已
5、知 1 =(1，0，0) T ， 2 =(1，2，-1) T ， 3 =(-1，1，0) T ，且 A 1 =(2，1) T ，A 2 =(-1，1) T ，A 3 =(3，-4) T ，则 A= 1。（分数：2.00）填空项 1:_14.如果 =(1，2，t) T 可以由 1 =(2，1，1) T ， 2 =(-1，2，7) T ， 3 =(1，-1，-4) T 线性表示，则 t 的值是 1。（分数：2.00）填空项 1:_15.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_16.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_17.已知矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_18.已知 A=
6、（分数：2.00）填空项 1:_19.设 f(x，x)= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：16.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_21.设 A= （分数：2.00）_22.设 A=( 1 ， 2 ， 3 )为三阶矩阵，且A=1。已知 B=( 2 ， 1 ，2 3 )，求 B * A。（分数：2.00）_23. * 是非齐次线性方程组 Ax=b 的一个解， 1 ， n-r 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。证明： () * ， 1 ， n-r 线性无关； () * ， * + 1 ， * + n-r 线性无关。（分数：
7、2.00）_24.设矩阵 A=(a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 )，其中 a 2 ，a 3 ，a 4 线性无关，a 1 =2a 2 -a 3 ，向量 b=a 1 +a 2 +a 3 +a 4 ，求方程组 Ax=b 的通解。（分数：2.00）_25.已知 1 ， 2 ， 3 是 A 的特征值， 1 ， 2 ， 3 是相应的特征向量且线性无关。证明：如 1 + 2 + 3 仍是 A 的特征向量，则 1 = 2 = 3 。（分数：2.00）_26.设三阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 1 =(-1，2，-1) T ， 2 =(0，-1，1) T 是线性方程组 Ax=0 的两个解。
8、 ()求 A 的特征值与特征向量； ()求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A，使得 Q T AQ=A。（分数：2.00）_27.已知三元二次型 f=x T Ax 的秩为 2，且 （分数：2.00）_考研数学一（线性代数）-试卷 32 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 2n 阶行列式 D 的某一列元素及其余子式都等于 a，则 D=( )（分数：2.00）A.0。 B.a 2 。C.-a 2 。D.na 2 。解析：解析：按这一列展开，D=a 1j
9、A 1j +a 2j A 2j +a 2nj A 2nj =aA 1j +aA 2j +aA 2nj ，并注意到这一列元素的代数余子式中有 n 个为 a，n 个为-a，从而行列式的值为零。所以应选 A。3.设 A，B 是 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.AB=OB.A=OC.AB=0 D.A=1解析：解析：AB=AB=0，故有A=0 或B=0，反之亦成立，故应选 C。 取 A= ，则AB=O，但 AO，AO，选项 A 不成立。 取A= ，选项 B 不成立。 取A=4.设 A 为正交矩阵，则下列矩阵中不属于正交矩阵的是( )（分数：2.00）A.A T 。B.A 2 。
10、C.A * 。D.2A。 解析：解析：因 A 为正交矩阵，所以 AA T =A T A=E，且A 2 =1。而(2A)(2A) T =4AA T =4E，故 2A 不为正交矩阵。所以选 D。 事实上，由 A T (A T ) T =A T A=E，(A T ) T A T =AA T =E，可知 A T 为正交矩阵。 由 A 2 (A 2 ) T =A(AA T )A T =AA T =E， (A 2 ) T A 2 =A T (A T A)A=A T A=E，可知 A 2 为正交矩阵。 由 A * =AA -1 =AA T ，可得 A * (A * ) T =AA T (AA)=A T A
11、T A=A T E=E， (A * ) T A * =(AA)AA T =A T AA T =A 2 E=E， 故 A * 为正交矩阵。5.设 1 ， 2 ， s 均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，下列选项正确的是( )（分数：2.00）A.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关。 B.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性无关。C.若 1 ， 2 ， s 线性无关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关。D.若 1 ， 2 ， s 线性无关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性无关。解析：解析：记 B=( 1 ， 2
12、 ， s )，则(A 1 ，A 2 ，A s )=AB。 若向量组 1 ， 2 ， s 线性相关，则 r(B)s，从而 r(AB)r(B)s，向量组 A 1 1 ，A 2 2 ，A s 也线性相关，故应选 A。6.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则线性方程组(AB)x=0( )（分数：2.00）A.当 nm 时，仅有零解。B.当 nm 时，必有非零解。C.当 mn 时，仅有零解。D.当 mn 时，必有非零解。 解析：解析：因为 AB 是 m 阶矩阵，且 r(AB)minr(A)，r(B)minm，n， 所以当 mn 时，必有r(AB)m，根据齐次方程组存在非零解的充分必要条件可知，
13、选项 D 正确。7.设 1 ， 2 ， 3 是四元非齐次线性方程组 Ax=b 的三个解向量，且 r(A)=3， 1 =(1，2，3，4) T ， 2 + 3 =(0，1，2，3) T ，c 表示任意常数，则线性方程组 Ax=b 的通解 x=( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：根据线性方程组解的结构性质，易知 2 1 -( 2 + 3 )=(2，3，4，5) T 是 Ax=0 的一个非零解，所以应选 C。8.已知 =(1，-2，3) T 是矩阵 A= （分数：2.00）A.a=-2，b=6。 B.a=2，b=-5。C.a=2，b=6。D.a=-2，b=-6。解析：解析：设 是
14、矩阵 A 属于特征值 的特征向量，按定义有 即有9.设 A 是 n 阶矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，n 维列向量 是矩阵 A 的属于特征值 的特征向量，那么在下列矩阵中 A 2 ； P -1 AP； A T ； （分数：2.00）A.1。B.2。 C.3。D.4。解析：解析：由 A=，0，有 A 2 =A()=A= 2 ，即 必是 A 2 属于特征值 2 的特征向量。 又 知 必是矩阵 属于特征值 10.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +x 2 ) 2 +(2x 1 +3x 2 +x 3 ) 2 -5(x 2 +x 3 ) 2 的规范形为( ) （分数：2.00）A.B.
15、 C.D.解析：解析：将二次型中的括号展开，并合并同类项可得 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= +14x 1 x 2 +4x 1 x 3 -4x 2 x 3 ， 则该二次型矩阵为 二、填空题(总题数：9，分数：18.00)11.设 A=( 1 ， 2 ， 3 )是三阶矩阵，且A=4。若 B=( 1 -3 2 +2 3 ， 2 -2 3 ，2 2 + 3 )，则B= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：20）解析：解析：利用行列式的性质 B=-3+2，-2，5=5-3+2，-2， =5-3，=5，=5A=20。12.设 =(1，2，3) T ，=(1， （分数：2.0
16、0）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：A= T = ，且矩阵的乘法满足结合律，所以 A 3 =( T )( T )( T )=( T )( T ) T =4 T =4A= 13.已知 1 =(1，0，0) T ， 2 =(1，2，-1) T ， 3 =(-1，1，0) T ，且 A 1 =(2，1) T ，A 2 =(-1，1) T ，A 3 =(3，-4) T ，则 A= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：利用分块矩阵，得 A( 1 ， 2 ， 3 )=(A 1 ，A 2 ，A 3 )= ，那么 14.如果 =(1，2，t) T
17、可以由 1 =(2，1，1) T ， 2 =(-1，2，7) T ， 3 =(1，-1，-4) T 线性表示，则 t 的值是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析： 可以由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表示的充分必要条件是非齐次线性方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 有解，对该方程组的增广矩阵作初等行变换得 15.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：n 元线性方程组 Ax=b 有解的充分必要条件是 r(A)= ，而有无穷多解的充分必要条件是r(A)= n，对增广矩阵作初等行变换，有16.设
18、A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1 或 5）解析：解析：解空间是二维的，即 Ax=0 的基础解系由两个向量组成，因此 n-r(A)=2，即 r(A)=2，对矩阵A 作初等行变换有17.已知矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-3）解析：解析：矩阵的所有特征值的和等于该矩阵对角线元素的和，即 a+3+(-1)=3，所以 a=1。又因为矩阵所有特征值的乘积等于矩阵对应行列式的值，因此有18.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1，7，7）解析：解析：由矩阵 A 的特征多项式 E-A= =(-7)(-1)
19、2 可得矩阵 A 的特征值为7，1，1。所以A=711=7。 如果 A=，则有 A * = 19.设 f(x，x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：把行列式展开就可以得到二次型的一般表达式。三、解答题(总题数：8，分数：16.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：21.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先观察 由此推测 下面用数学归纳法证明此结论成立： 当 n=2 时，结论显然成立；假设 n=k 时成立，则 n=k+1 时， 由数学归纳法知 )解析：22.设 A=( 1 ， 2 ， 3
20、)为三阶矩阵，且A=1。已知 B=( 2 ， 1 ，2 3 )，求 B * A。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意可知 B=( 1 ， 2 ， 3 ) =AP， 其中 P= ，则P=-2 且 P -1 = ，所以B=AP=-2。于是 B * A=B.B -1 .A=-2P -1 .(A -1 A)=-2P -1 = )解析：23. * 是非齐次线性方程组 Ax=b 的一个解， 1 ， n-r 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。证明： () * ， 1 ， n-r 线性无关； () * ， * + 1 ， * + n-r 线性无关。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(
21、)假设 * ， 1 ， n-r 线性相关，则存在不全为零的数 c 0 ，c 1 ，c n-r 使得 c 0 * +c 1 1 +c n-r n-r =0， (1) 用矩阵 A 左乘上式两边，得 0=A(c 0 * +c 1 1 +c n-r n-r )=c 0 A * +c 1 A 1 +c n-r A n-r =c 0 b， 其中 b0，则c=0，于是(1)式变为 c 1 1 +c n-r n-r =0， 1 ， n-r 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，故 1 ， n-r 线性无关，因此 c 1 =c 2 =c n-r =0，与假设矛盾。 所以 * ， 1 ， n-r 线性无关。 ()
22、假设 * ， * + 1 ， * + n-r 线性相关，则存在不全为零的数 c 0 ，c 1 ，c n-r 使 c 0 * +c 1 ( * + 1 )+c n-r ( * + n-r )=0， 即 (c 0 +c 1 +c n-r ) * +c 1 1 +c n-r n-r =0。 (2) 用矩阵 A 左乘上式两边，得 0=A(c 0 +c 1 +c n-r ) * +c 1 1 +c n-r n-r =(c 0 +c 1 +c n-r )A * +c 1 A 1 +c n-r A n-r =(c 0 +c 1 +c n-r )b， 因为 b0，故 c 0 +c 1 +c n-r =0，代入
23、(2)式，有 c 1 1 +c n-r n-r =0， 1 ， n-r 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，故 1 ， n-r 线性无关，因此 c 1 =c 2 =c n-r =0，则 c 0 =0。与假设矛盾。 综上，向量组 * ， * + 1 ， * + n-r 线性无关。)解析：24.设矩阵 A=(a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 )，其中 a 2 ，a 3 ，a 4 线性无关，a 1 =2a 2 -a 3 ，向量 b=a 1 +a 2 +a 3 +a 4 ，求方程组 Ax=b 的通解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：已知 a 2 ，a 3 ，a 4 线性无关，则 r(A
24、)3。又由 a 1 ，a 2 ，a 3 线性相关可知 a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 线性相关， 故 r(A)3。 终上所述，r(A)=3，从而原方程组的基础解系所含向量个数为 4-3=1。又因为 a 1 =2a 2 -a 3 a 1 -2a 2 +a 3 =0 (a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 ) )解析：25.已知 1 ， 2 ， 3 是 A 的特征值， 1 ， 2 ， 3 是相应的特征向量且线性无关。证明：如 1 + 2 + 3 仍是 A 的特征向量，则 1 = 2 = 3 。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 1 + 2 + 3 是矩阵 A 属于特征值 A 的特征
25、向量，则 A( 1 + 2 + 3 )=( 1 + 2 + 3 )。 又 A( 1 + 2 + 3 )=A 1 +A 2 +A 3 = 1 + 2 + 3 ，于是有 (- 1 ) 1 +(- 2 ) 2 +(- 3 ) 3 =0。 因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，故- 1 =0，- 2 =0，- 3 =0，即 1 = 2 = 3 。)解析：26.设三阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 1 =(-1，2，-1) T ， 2 =(0，-1，1) T 是线性方程组 Ax=0 的两个解。 ()求 A 的特征值与特征向量； ()求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A，使得 Q T AQ=A。（分
26、数：2.00）_正确答案：(正确答案：()因为矩阵 A 的各行元素之和均为 3，所以有 则 =3 是矩阵 A 的特征值，=(1，1，1) T 是对应的特征向量。对应 =3 的全部特征向量为 k=k(1，1，1) T ，其中 k 是不为零的常数。 又由题设知 A 1 =0，A 2 =0，即 A 1 =0. 1 ，A 2 =0. 2 ，而且 1 ， 2 线性无关，所以 =0 是矩阵 A 的二重特征值， 1 ， 2 是其对应的特征向量，因此对应 =0 的全部特征向量为 k 1 1 +k 2 2 =k 1 (-1，2，-1) T +k 2 (0，-1，1) T ，其中 k 1 ，k 2 是不全为零的常
27、数。()因为 A 是实对称矩阵，所以 与 1 ， 2 正交，只需将 1 与 2 正交化。 由施密特正交化法，取 1 = 1 ， 2 = 2 - 再将 ， 2 ， 2 单位化，得 令 Q=( 1 ， 2 ， 3 )，则 Q -1 =Q T ，且 Q T AQ= )解析：27.已知三元二次型 f=x T Ax 的秩为 2，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型 x T Ax 的秩为 2，即 r(A)=2，所以 =0 是 A 的特征值。 所以 3 是A 的特征值，(1，2，1) T 是与 3 对应的特征向量；-1 也是 A 的特征值，(1，-1，1) T 是与-1 对应的特征向量。 因为实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，设 =0 的特征向量是(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，则有 由方程组 解出 =0 的特征向量是(1，0，-1) T 。 则经正交变换 x=Qy，有 x T Ax=y T y= )解析：
