1、考研数学一（线性代数）-试卷 3 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 n 维列向量组 1 ， 2 ， m (mn)线性无关，则 n 维列向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件为 ( )（分数：2.00）A.向量组 1 ， 2 ， m 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表出B.向量组 1 ， 2 ， m 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表出C.向量组 1 ， 2 ， m 与向量组 1 ， 2 ， m 等价D.矩阵 A= 1 ， 2
2、， m 与矩阵 B= 1 ， 2 ， m 等价3.要使 都是线性方程组 AX=0 的解，只要系数矩阵 A 为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.齐次线性方程组 （分数：2.00）A.=-2 且B=0B.=-2 且B0C.=1 且B=0D.=1 且B05.齐次线性方程组的系数矩阵 A 45 = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 经过初等行变换化成阶梯形矩阵为 （分数：2.00）A. 1 不能由 3 ， 4 ， 5 线性表出B. 2 不能由 1 ， 3 ， 5 线性表出C. 3 不能由 1 ， 2 ， 5 线性表出D. 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出6.设 A 为 mn 矩
3、阵，齐次线性方程组 AX=0 仅有零解的充分条件是 ( )（分数：2.00）A.A 的列向量线性无关B.A 的列向量线性相关C.A 的行向量线性无关D.A 的行向量线性相关7.设 A 为 n 阶实矩阵，则对线性方程组()AX=0 和()A T AX=0，必有 ( )（分数：2.00）A.()的解是()的解，()的解也是()的解B.()的解是()的解，但()的解不是()的解C.()的解不是()的解，()的解也不是()的解D.()的解是()的解，但()的解不是()的解8.已知 1 ， 2 是 AX=b 的两个不同的解， 1 ， 2 是相应的齐次方程组 AX=0 的基础解系，k 1 ，k 2 是任意
4、常数，则 AX=b 的通解是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：5，分数：10.00)9.方程组 x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 =0 的基础解系是 1（分数：2.00）填空项 1:_10.方程组 （分数：2.00）填空项 1:_11.方程组 （分数：2.00）填空项 1:_12.设线性方程组 有解，则方程组右端 （分数：2.00）填空项 1:_13.已知非齐次线性方程组 A 34 X=b 有通解 k 1 1，2，0，-2 T +k 2 4，-1，-1，-1 T +1，0，-1，1 T ，则满足方程组且满足条件 x 1 =x 2 ，x 3 =x 4
5、的解是 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：32.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_15.已知 1 =-3，2，0 T ， 2 =-1，0，-2 T 是线性方程组 （分数：2.00）_已知线性方程组 （分数：4.00）(1). 4 能否由 1 ， 2 ， 3 ， 5 线性表出，说明理由；（分数：2.00）_(2). 4 能否由 1 ， 2 ， 3 线性表出，说明理由（分数：2.00）_16.已知 4 阶方阵 A= 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 均为 4 维列向量，其中 2 ， 3 ， 4 线性无关， 1 =2
6、 2 - 3 ，如果 = 1 + 2 + 3 ， 4 ，求线性方程组AX= 的通解（分数：2.00）_17.设 A mn ，r(A)=m，B n(n-m) ，r(B)=n-m，且满足关系 AB=O证明：若 是齐次线性方程组 Ax=0 的解，则必存在唯一的 ，使得 B=（分数：2.00）_18.设三元非齐次线性方程组的系数矩阵 A 的秩为 1，已知 1 ， 2 ， 3 是它的三个解向量，且 1 + 2 =1，2，3 T ， 2 + 3 =2，-1，1 T ， 3 + 1 =0，2，0 T ，求该非齐次方程的通解（分数：2.00）_19.设三元线性方程组有通解 （分数：2.00）_20.已知方程组
7、() （分数：2.00）_21.已知方程组 与方程组 （分数：2.00）_22.设有 4 阶方阵 A 满足条件3E+A=0，AA T =2E，A0，其中 E 是 4 阶单位阵求方阵 A 的伴随矩阵 A * 的一个特征值（分数：2.00）_23.设 A 为 n 阶矩阵， 1 和 2 是 A 的两个不同的特征值x 1 ，x 2 是分别属于 1 和 2 的特征向量证明：x 1 +x 2 不是 A 的特征向量（分数：2.00）_已知矩阵 A= （分数：4.00）(1).求 x 与 y；（分数：2.00）_(2).求一个满足 P -1 AP=B 的可逆矩阵 P（分数：2.00）_24.已知 B 是 n
8、阶矩阵，满足 B 2 =E(此时矩阵 B 称为对合矩阵)求 B 的特征值的取值范围（分数：2.00）_25.设 A，B 是 n 阶方阵，证明：AB，BA 有相同的特征值（分数：2.00）_26.已知 n 阶矩阵 A 的每行元素之和为 a，求 A 的一个特征值，当 k 是自然数时，求 A k 的每行元素之和（分数：2.00）_考研数学一（线性代数）-试卷 3 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 n 维列向量组 1 ， 2 ， m (mn)线性无关
9、，则 n 维列向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件为 ( )（分数：2.00）A.向量组 1 ， 2 ， m 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表出B.向量组 1 ， 2 ， m 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表出C.向量组 1 ， 2 ， m 与向量组 1 ， 2 ， m 等价D.矩阵 A= 1 ， 2 ， m 与矩阵 B= 1 ， 2 ， m 等价 解析：解析：A= 1 ， 2 ， m ，= 1 ， 2 ， n 等价 r( 1 ， m )=r( 1 ， m ) 3.要使 都是线性方程组 AX=0 的解，只要系数矩阵 A 为 ( ) （分数：2.00）A. B.C.D.
10、解析：解析：因2，1，1 1 =0，-2，1，1 2 =04.齐次线性方程组 （分数：2.00）A.=-2 且B=0B.=-2 且B0C.=1 且B=0 D.=1 且B0解析：解析：BO，AB=O，故 AX=0 有非零解，A=0，5.齐次线性方程组的系数矩阵 A 45 = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 经过初等行变换化成阶梯形矩阵为 （分数：2.00）A. 1 不能由 3 ， 4 ， 5 线性表出B. 2 不能由 1 ， 3 ， 5 线性表出C. 3 不能由 1 ， 2 ， 5 线性表出D. 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出 解析：解析： i 能否由其他向量线性表出，只须将 i
11、视为是非齐次方程的右端自由项(无论它原在什么位置)有关向量留在左端，去除无关向量，看该非齐次方程是否有解即可由阶梯形矩阵知， 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出6.设 A 为 mn 矩阵，齐次线性方程组 AX=0 仅有零解的充分条件是 ( )（分数：2.00）A.A 的列向量线性无关 B.A 的列向量线性相关C.A 的行向量线性无关D.A 的行向量线性相关解析：解析：A 的列向量线性无关7.设 A 为 n 阶实矩阵，则对线性方程组()AX=0 和()A T AX=0，必有 ( )（分数：2.00）A.()的解是()的解，()的解也是()的解 B.()的解是()的解，但()的解不是()的解
12、C.()的解不是()的解，()的解也不是()的解D.()的解是()的解，但()的解不是()的解解析：解析：方程 AX=0 和 A T AX=0 是同解方程组8.已知 1 ， 2 是 AX=b 的两个不同的解， 1 ， 2 是相应的齐次方程组 AX=0 的基础解系，k 1 ，k 2 是任意常数，则 AX=b 的通解是 ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：(A)，(C)中没有非齐次特解，(D)中两个齐次解 1 与 1 - 2 是否线性无关未知，而(B)中因 1 ， 2 是基础解系，故 1 ， 1 - 2 仍是基础解系， 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)9.方程组 x
13、1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 =0 的基础解系是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 1 =1，-1，0，0，0 T ， 2 =1，0，-1，0，0 T ， 3 =1，0，0，-1，0 T ， 4 =1，0，0，0，-1 T）解析：10.方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k1，1，1，1 T ，其中 k 是任意常数）解析：11.方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：12.设线性方程组 有解，则方程组右端 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 其中 k
14、 1 ，k 2 ，k 3 是任意常数，方程组有解，即k 1 ，k 2 ，k 3 T 或说 13.已知非齐次线性方程组 A 34 X=b 有通解 k 1 1，2，0，-2 T +k 2 4，-1，-1，-1 T +1，0，-1，1 T ，则满足方程组且满足条件 x 1 =x 2 ，x 3 =x 4 的解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2，2，-1，-1 T）解析：解析：方程组的通解为 由题设 x 1 =x 2 ，x 3 =x 4 得 三、解答题(总题数：15，分数：32.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：15.已知 1 =-3，2，0
15、 T ， 2 =-1，0，-2 T 是线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对应齐次方程组有解 = 1 - 2 =-2，2，2 T 或写作-1，1，1 T ， 故对应齐次方程组至少有一个非零向量组成基础解系，故 )解析：已知线性方程组 （分数：4.00）(1). 4 能否由 1 ， 2 ， 3 ， 5 线性表出，说明理由；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 4 能由 1 ， 2 ， 3 ， 5 线性表出 由线性非齐次方程组的通解2，1，0，1 T +k1，1，2，0 T 知 5 =(k+2) 1 +(-k+1) 2 +2k 3 + 4 ， 故 4 =-(k+2) 1 -
16、(-k+1) 2 -2k 3 + 5 )解析：(2). 4 能否由 1 ， 2 ， 3 线性表出，说明理由（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，因对应齐次方程组的基础解系只有一个非零向量，故 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )=r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )=4-1=3，且由对应齐次方程组的通解知， 1 - 2 +2 3 =0，即 1 ， 2 ， 3 线性相关，r( 1 ， 2 ， 3 )3，若 4 能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 r( 4 ， 1 ， 2 ， 3 )=r( 1 ， 2 ， 3 )3，这和 r( 1 ， 2
17、 ， 3 ， 4 )=3 矛盾，故 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出)解析：16.已知 4 阶方阵 A= 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 均为 4 维列向量，其中 2 ， 3 ， 4 线性无关， 1 =2 2 - 3 ，如果 = 1 + 2 + 3 ， 4 ，求线性方程组AX= 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一 由 1 =2 2 - 3 及 2 ， 3 ， 4 线性无关知 r(A)=r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )=3且对应齐次方程组 AX=0 有通解 k1，-2，1，0 T ，又 = 1 + 2 + 3 + 4 ，即 1 ， 2
18、， 3 ， 4 X= 1 + 2 + 3 + 4 = 1 ， 2 ， 3 ， 4 故非齐次方程组有特解 =1，1，l，1 T ，故方程组的通解为 k1，-2，1，0 T +1，1，1，1 T 方法二 1 ， 2 ， 3 ， 4 X= 1 + 2 + 3 + 4 = 1 ， 2 ， 3 ， 4 =(2 2 - 3 )+ 2 + 3 + 4 =3 2 + 4 = 1 ， 2 ， 3 ， 4 故方程组有两特解 1 =1，1，1，1 T ， 2 =0，3，0，1 T 对 r(A)=3，故方程组的通解为 K( 1 - 2 )+ 1 =k1，-2，1，0 T +1，1，1，1 T 方法三 由 AX= 1
19、， 2 ， 3 ， 4 X= 1 + 2 + 3 + 4 ，得 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 +x 4 4 = 1 + 2 + 3 + 4 将 1 =2 2 - 3 代人，整理得 (2x 1 +x 2 -3) 2 +(-x 1 +x 3 ) 3 +(x 4 -1) 4 =0， 2 ， 3 ， 4 线性无关，得 解方程组，得 )解析：17.设 A mn ，r(A)=m，B n(n-m) ，r(B)=n-m，且满足关系 AB=O证明：若 是齐次线性方程组 Ax=0 的解，则必存在唯一的 ，使得 B=（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 B 按列分块，设 B= 1 ， 2 ， n-
20、m ，因已知 AB=O，故知 B 的每一列均是 AX=0 的解，由 r(A)=m，r(B)=n-m 知， 1 ， 2 ， n-m 是 AX=0 的基础解系 若 是AX=0 的解向量，则 可由基础解系 1 ， 2 ， n-m 线性表出，且表出法唯一，即 =x 1 1 +x 2 2 +x n-m n-m = 1 ， 2 ， n-m )解析：18.设三元非齐次线性方程组的系数矩阵 A 的秩为 1，已知 1 ， 2 ， 3 是它的三个解向量，且 1 + 2 =1，2，3 T ， 2 + 3 =2，-1，1 T ， 3 + 1 =0，2，0 T ，求该非齐次方程的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确
21、答案：r(A)=1，AX=b 的通解应为 k 1 1 +k 2 2 +，其中对应齐次方程 AX=0 的解为 1 =( 1 + 2 )-( 2 + 3 )= 1 - 3 =-1，3，2 T ， 2 =( 2 + 3 )-( 3 + 1 )= 2 - 1 =2，-3，1 T 因 1 ， 2 线性无关，故是 AX=0 的基础解系 取 AX=b 的一个特解为 = )解析：19.设三元线性方程组有通解 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设非齐次线性方程为 ax 1 +bx 2 +cx 3 =d， 由 1 ， 2 是对应齐次解，代入对应齐次线性方程组 )解析：20.已知方程组() （分数：2.00
22、）_正确答案：(正确答案：将方程组()的通解 k 1 -1，1，1，0 T +k 2 2，-1，0，1 T +-2，-3，0，0 T =-2-k 1 +2k 2 ，-3+k 1 -k 2 ，k 1 ，k 2 T 代入方程组()，得 )解析：21.已知方程组 与方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对方程组()，因增广矩阵为 知其通解为 k-1，2，-1，1 T +1，2，-1，0 T =1-k，2+2k，-1-k，k T 将通解代入方程组()， 当 a=-1，b=-2，c=4 时，方程组()的增广矩阵为 )解析：22.设有 4 阶方阵 A 满足条件3E+A=0，AA T =2E，A
23、0，其中 E 是 4 阶单位阵求方阵 A 的伴随矩阵 A * 的一个特征值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由3E+A=0 =-3 为 A 的特征值由 AA T =2E，A0 A=-4，则 A * 的一个特征值为 )解析：23.设 A 为 n 阶矩阵， 1 和 2 是 A 的两个不同的特征值x 1 ，x 2 是分别属于 1 和 2 的特征向量证明：x 1 +x 2 不是 A 的特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：反证法 假设 x 1 +x 2 是 A 的特征向量，则存在数 ，使得 A(x 1 +x 2 )=(x 1 +x 2 )，则 (- 1 )x 1 +(- 2 )x
24、2 =0 因为 1 2 ，所以 x 1 ，x 2 线性无关，则 )解析：已知矩阵 A= （分数：4.00）(1).求 x 与 y；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：B 的特征值为 2，y，-1由 A 与 B 相似，则 A 的特征值为 2，y，-1故 )解析：(2).求一个满足 P -1 AP=B 的可逆矩阵 P（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：分别求出 A 的对应于特征值 1 =2， 2 =-1， 3 =-1 的线性无关的特征向量为 令可逆矩阵 P=p 1 ，p 2 ，p 3 = )解析：24.已知 B 是 n 阶矩阵，满足 B 2 =E(此时矩阵 B 称为对合矩阵)求 B 的
25、特征值的取值范围（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 B 有特征值 ，对应的特征向量为 ，即 B=，左乘 B，得 B 2 =E=B= 2 ， ( 2 -1)=0，0， 故 =1，或 =-1，B 的特征值的取值范围是1，-1)解析：25.设 A，B 是 n 阶方阵，证明：AB，BA 有相同的特征值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一利用特征值的定义 设 AB 有任一特征值 ，其对应的特征向量为 ，则 AB= 式两边左乘 B，得 BAB=BA(B)=(B) 若 B0，式说明，BA 也有特征值(其对应的特征向量为 B)，若 B=0，由式知，=0，0，得 AB 有特征值 =0，从而AB=0，且BA=BA=AB=AB=0，从而 BA 也有 =0 的特征值，故 AB 和 BA 有相同的特征值 方法二 利用特征方程及分块矩阵的运算 设 AB 有特征值 ，即有E-AB=0，因)解析：26.已知 n 阶矩阵 A 的每行元素之和为 a，求 A 的一个特征值，当 k 是自然数时，求 A k 的每行元素之和（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 的每行元素之和为 a，故有 即 a 是 A 的一个特征值 又 A k 的特征值为a k ，且对应的特征向量相同，即 )解析：
