1、考研数学一（线性代数）-试卷 40 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 n 维行向量 （分数：2.00）A.OB.-EC.ED.E+ T 3.A，B 是 n 阶方阵，则下列公式正确的是 ( )（分数：2.00）A.(A 2 ) -1 =(A -1 ) 2B.(A+B) -1 =A -1 +B -1C.(A+B)(A-B)=A 2 -B 2D.(kA) -1 =kA -1 (k0)4.已知 A，B，A+B，A -1 +B -1 均为 n 阶可逆阵，则
2、(A -1 +B -1 ) -1 等于 ( )（分数：2.00）A.A+BB.A -1 +B -1C.A(A+B) -1 BD.(A+B) -15.下列命题正确的是 ( )（分数：2.00）A.若 AB=E，则 A 必可逆，且 A -1 =BB.若 A，B 均为 n 阶可逆阵，则 A+B 必可逆C.若 A，B 均为 n 阶不可逆阵，则 A-B 必不可逆D.若 A，B 均为 n 阶不可逆阵，则 AB 必不可逆6.设 A 是 n 阶方阵，且 A 3 =O，则 ( )（分数：2.00）A.A 不可逆，且 E-A 不可逆B.A 可逆，但 E+A 不可逆C.A 2 -A+E 及 A 2 +A+E 均可逆
3、D.A 不可逆，且必有 A 2 =O7.设 A，B 是 n 阶方阵，AB=O，B0，则必有 ( )（分数：2.00）A.(A+B) 2 =A 2 +B 2B.B0C.B * =0D.A * =08.A 是 n 阶方阵，A * 是 A 的伴随矩阵，则A * = ( )（分数：2.00）A.AB.A -1 C.A n-1 D.A n 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)9.设 =1，0，1 T ，A= T ，n 是正数，则aE-A n = 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设 A 是 m 阶矩阵B 是 n 阶矩阵，且A=a，B=b，C= （分数：2.00）填空项 1:_11.设 A 为
4、奇数阶矩阵，AA T =A T A=E，A0，则A-E= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 3 阶方阵 A，B 满足关系式 A -1 BA=6A+BA，且 A= （分数：2.00）填空项 1:_13.设 =1，2，3，= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：34.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设 A= （分数：4.00）(1).证明：当 n3 时，有 A n =A n-2 +A 2 -E；（分数：2.00）_(2).求 A 100（分数：2.00）_设 A= （分数：4.00）(1).计算 A 2 ，并将 A 2 用 A 和
5、E 表出；（分数：2.00）_(2).设 A 是二阶方阵，当 k2 时，证明：A k =O 的充分必要条件为 A 2 =O（分数：2.00）_15.证明：方阵 A 与所有同阶对角阵可交换的充分必要条件是 A 是对角阵（分数：2.00）_16.证明：若 A 为 n 阶可逆方阵，A * 为 A 的伴随矩阵，则(A * ) T =(A T ) * （分数：2.00）_17.证明：若 A 为 n 阶方阵，则有A * =(-A) * (n2)（分数：2.00）_18.已知 n 阶方阵 A 满足矩阵方程 A 2 -3A-2E=O证明：A 可逆，并求出其逆矩阵 A -1 （分数：2.00）_19.已知对于
6、n 阶方阵 A，存在自然数 k，使得 A k =O 试证明：矩阵 E-A 可逆，并写出其逆矩阵的表达式(E 为 n 阶单位阵)（分数：2.00）_20.设 M= （分数：2.00）_21.设矩阵 A= （分数：2.00）_22.假设 A= （分数：2.00）_设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数记分块矩阵 （分数：4.00）(1).计算并化简 PQ；（分数：2.00）_(2).证明：矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 T A -1 b（分数：2.00）_23.设(2E-C -1 B)A T =C -1 ，其中 E 是 4 阶单位矩阵，A T 是 4 阶矩阵 A 的转置矩阵，
7、 （分数：2.00）_24.设 A= （分数：2.00）_25.已知 A= （分数：2.00）_考研数学一（线性代数）-试卷 40 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 n 维行向量 （分数：2.00）A.OB.-EC.E D.E+ T 解析：解析：AB=(E- T )(E+2 T )=E+ T -2 T T =E+ T -2 T ( T )， 其中 故 AB=E+ T -2. 3.A，B 是 n 阶方阵，则下列公式正确的是 ( )（分数：2.0
8、0）A.(A 2 ) -1 =(A -1 ) 2 B.(A+B) -1 =A -1 +B -1C.(A+B)(A-B)=A 2 -B 2D.(kA) -1 =kA -1 (k0)解析：解析：(A 2 )=(AA) -1 =A -1 A -1 =(A -1 ) 2 (B)不成立，例：B=-A，A+B 不可逆.(C)中，ABBA，BA-ABO(D)中，(kA) -1 = 4.已知 A，B，A+B，A -1 +B -1 均为 n 阶可逆阵，则(A -1 +B -1 ) -1 等于 ( )（分数：2.00）A.A+BB.A -1 +B -1C.A(A+B) -1 B D.(A+B) -1解析：解析：方
9、法一验算 (A -1 +B -1 )A(A+B) -1 B=(E+B -1 A)(A+B) -1 B =B -1 (B+A)(A+B) -1 B=B -1 B=E， 故 (A -1 +B -1 ) -1 =A(A+B) -1 B 方法二直接计算 (A -1 +B -1 ) -1 =B -1 (BA -1 +E) -1 =B -1 (B+A)A -1 -1 =A(A+B) -1 B5.下列命题正确的是 ( )（分数：2.00）A.若 AB=E，则 A 必可逆，且 A -1 =BB.若 A，B 均为 n 阶可逆阵，则 A+B 必可逆C.若 A，B 均为 n 阶不可逆阵，则 A-B 必不可逆D.若
10、A，B 均为 n 阶不可逆阵，则 AB 必不可逆 解析：解析：因 A，B 不可逆，则A=0，B=0，AB=AB=0，AB 不可逆(A)中 AB=E，但未指出是方阵，若 A= ，则 AB=E，但 A，B 均无逆可言(B)中，取 B=-A，则 A+B=A-A=O 不可逆(C)中，取 A=6.设 A 是 n 阶方阵，且 A 3 =O，则 ( )（分数：2.00）A.A 不可逆，且 E-A 不可逆B.A 可逆，但 E+A 不可逆C.A 2 -A+E 及 A 2 +A+E 均可逆 D.A 不可逆，且必有 A 2 =O解析：解析：A 3 =O，有 E 3 +A 3 =(E+A)(A 2 -A+E)=E，
11、E 3 -A 3 =(E-A)(A 2 +A+E)=E， 故 A 2 -A+E及 A 2 +A+E 均可逆，由以上两式知，E-A，E+A 也均可逆，故(A)，(B)不成立，同时(D)不成立，例：A= 7.设 A，B 是 n 阶方阵，AB=O，B0，则必有 ( )（分数：2.00）A.(A+B) 2 =A 2 +B 2B.B0C.B * =0D.A * =0 解析：解析：AB=O，不一定有 BA=O，故(A)选项中(A+B) 2 =A 2 +B 2 ，不成立；BO，B可以为零，也可以不为零，B * 也可以为零，可以不为零，故(B)，(C)不成立；BO，AB=O，AX=0 有非零解，故A=0，从而
12、A * =A n-1 =08.A 是 n 阶方阵，A * 是 A 的伴随矩阵，则A * = ( )（分数：2.00）A.AB.A -1 C.A n-1 D.A n 解析：解析：AA * =AE，两边取行列式，得AA * =A n 若A0，A * =A n-1 =A n-1 ；若A=0，则A * =0，故选(C)二、填空题(总题数：5，分数：10.00)9.设 =1，0，1 T ，A= T ，n 是正数，则aE-A n = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a 2 (a-2 n )）解析：解析：A= T = A n =( T ) n = T T T =( T )( T )
13、( T ) T =2 n-1 A， 10.设 A 是 m 阶矩阵B 是 n 阶矩阵，且A=a，B=b，C= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(-1) mn ab）解析：解析：C= 11.设 A 为奇数阶矩阵，AA T =A T A=E，A0，则A-E= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：A-E=A-AA T =A(E-A)=A(E-A) T =AE-A 由于 AA T =A T A=E，可知A 2 =1又由于A0，可知A=1又由于 A 为奇数阶矩阵，故 E-A=-(A-E)=-A-E， 故有A-E=-A-E，可知A-E=012.设
14、 3 阶方阵 A，B 满足关系式 A -1 BA=6A+BA，且 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：diag(3，2，1)）解析：解析：由 A -1 BA=6A+BA 得 B=6A(E-A) -1 =diag(3，2，1)， 其中， 13.设 =1，2，3，= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3 n-1 A）解析：解析：A= T = 三、解答题(总题数：15，分数：34.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设 A= （分数：4.00）(1).证明：当 n3 时，有 A n =A n-2 +A 2 -E；（分数：2
15、.00）_正确答案：(正确答案：用归纳法 n=3 时，因 A 2 = )解析：(2).求 A 100（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由上述递推关系可得 A 100 =A 98 +A 2 =E=(A 96 +A 2 -E)+A 2 -E =A 96 +2(A 2 -E)=A 2 +49(A 2 -E) )解析：设 A= （分数：4.00）(1).计算 A 2 ，并将 A 2 用 A 和 E 表出；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 2 = 令 )解析：(2).设 A 是二阶方阵，当 k2 时，证明：A k =O 的充分必要条件为 A 2 =O（分数：2.00）_正确答案：(正
16、确答案：充分性 A 2 =O A k =O，k2，显然成立； 必要性 方法一 A k =O A=ad-bc=0，由(1)知 A 2 =(a+d)A，于是 A k =(a+d) k-1 A=O， 故 A=O 或 a+d=0，从而有 A 2 =(a+d)A=O 方法二 A 是 2 阶矩阵，A=0，故 r(A) 若 r(A)=0，则 A=O，从而 A 2 =O； 若 r(A)=1，则 A= T ，A 2 = T T =( T )A，其中 ， 为非零二维列向量， A k =( T )k k-1 A=O )解析：15.证明：方阵 A 与所有同阶对角阵可交换的充分必要条件是 A 是对角阵（分数：2.00）
17、_正确答案：(正确答案：充分性 A 是对角阵，则显然 A 可与任何对角阵可交换 必要性设 A= 与任何对角阵可交换，则应与对角元素互不相同的对角阵 B= 可交换，即 b 1 a 12 =b 2 a 12 ，b 1 b 2 ，故 a 12 =0 b i a ij =b j a ij ，ij，b i b j ，a ij =0，i=1，2，n，j=1，2，n，故 A= )解析：16.证明：若 A 为 n 阶可逆方阵，A * 为 A 的伴随矩阵，则(A * ) T =(A T ) * （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(A * ) T =(AA -1 ) T =A(A -1 ) T =A(A
18、T ) -1 =A T (A T ) -1 =(A T ) * )解析：17.证明：若 A 为 n 阶方阵，则有A * =(-A) * (n2)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A=(a ij ) nn ，A的元素 a ij 的代数余子式为 A ij ，则A的元素-a ij 的代数余子式为 B ij =(-1) n-1 A ij 于是(-A) * =(-1) n-1 (A ji ) nn =(-1) n-1 A * ，所以 (-A) * =(-1) n-1 A * =(-1) n-1 n A * =A * )解析：18.已知 n 阶方阵 A 满足矩阵方程 A 2 -3A-2E=O证
19、明：A 可逆，并求出其逆矩阵 A -1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 2 -3A-2E=O，则 )解析：19.已知对于 n 阶方阵 A，存在自然数 k，使得 A k =O 试证明：矩阵 E-A 可逆，并写出其逆矩阵的表达式(E 为 n 阶单位阵)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E=E-A k =E-A k =(E-A)(E+A+A k-1 )，所以 E-A 可逆，且(E-A) -1 =E+A+A k-1 )解析：20.设 M= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：M 可逆 ，D 可逆 设 M 的逆矩阵为 M -1 = 所以 M -1 = )解析：21.设矩阵 A
20、= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AX+E=A 2 +X，则(A-E)X=(A-E)(A+E)又A-E=-10，故 )解析：22.假设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先计算出 A -1 = ，由于A=1，所以 )解析：设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数记分块矩阵 （分数：4.00）(1).计算并化简 PQ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).证明：矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 T A -1 b（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(1)得P.Q=PQ=A 2 (b- T A -1 ) Q=A(b- T A -1 )Q 可逆 )解析：23.设(2E-C -1 B)A T =C -1 ，其中 E 是 4 阶单位矩阵，A T 是 4 阶矩阵 A 的转置矩阵， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(2E-C -1 B)A T =C -1 ，有 A=(2C-B) T -1 = )解析：24.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A= =E+B，又 EB=BE，所以 )解析：25.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对 A 分块为 ，则 B=3E+J，于是 )解析：
