1、考研数学一（线性代数）-试卷 41 及答案解析(总分：40.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.4 阶行列式 （分数：2.00）A.a 1 a 2 a 3 a 4 一 b 1 b 2 b 3 b 4B.a 1 a 2 a 3 a 4 +b 1 b 2 b 3 b 4C.(a 1 a 2 一 b 1 b 2 )(a 3 a 2 b 3 b 4 )D.(a 2 a 3 一 b 2 b 3 )(a 1 a 4 一 b 1 b 4 )3.行列式 （分数：2.00）A.(adbc) 2B
2、.一(adbc) 2C.a 2 d 2 一 b 2 c 2D.b 2 c 2 一 a 2 d 24.设对方阵 A 施行初等变换得到方阵 B，且A0，则( )（分数：2.00）A.必有B=AB.BAC.B0D.B=0 或B0 依赖于所作初等变换二、填空题(总题数：11，分数：22.00)5.n 阶行列式 （分数：2.00）填空项 1:_6.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_7.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_9.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_10.D n = （分数：2.00）填空项 1:_11.D n = （分数：2.00）填
3、空项 1:_12.行列式 （分数：2.00）填空项 1:_13.方程 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_14.方程 f(t=)= （分数：2.00）填空项 1:_15.方程 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：5，分数：10.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设有行列式 （分数：2.00）_18.求下列行列式的值： （分数：2.00）_19.计算下列 n 阶行列式： （分数：2.00）_20.设 ab，证明： （分数：2.00）_考研数学一（线性代数）-试卷 41 答案解析(总分：40.00，做题时间：90
4、 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.4 阶行列式 （分数：2.00）A.a 1 a 2 a 3 a 4 一 b 1 b 2 b 3 b 4B.a 1 a 2 a 3 a 4 +b 1 b 2 b 3 b 4C.(a 1 a 2 一 b 1 b 2 )(a 3 a 2 b 3 b 4 )D.(a 2 a 3 一 b 2 b 3 )(a 1 a 4 一 b 1 b 4 ) 解析：解析：按第 1 行展开所求行列式 D 4 ，得 D 4 = =(a 2 a 3 一 b 2 b 3 )(a 1 a 4
5、 一 b 1 b 4 ) 解法 2 如果读者学过行列式的拉普拉斯展开法则，则可将该行列式 D 4 按第 2、3 两行展开，得 D 4 = 3.行列式 （分数：2.00）A.(adbc) 2B.一(adbc) 2 C.a 2 d 2 一 b 2 c 2D.b 2 c 2 一 a 2 d 2解析：解析：按第 1 列展开，得所求行列式 D 等于 D= 4.设对方阵 A 施行初等变换得到方阵 B，且A0，则( )（分数：2.00）A.必有B=AB.BAC.B0 D.B=0 或B0 依赖于所作初等变换解析：解析：若互换 A 的某两行(列)，则有B=一A；若用非零数 k 乘 A 的某行(列)，则B=kA；
6、对第 3 种初等变换，则有B=A故由A0，知B0，而且作 1 次初等变换的结果如此，作若干次初等变换的结果还是如此二、填空题(总题数：11，分数：22.00)5.n 阶行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2 n+1 一 2）解析：解析：从第 n 列提取公因子(一 2)，得行列式为 按第 1 行展开，得所求行列式为 D=一 2一2 n +1(一 1) 1+n (一 1) n+1 =2 n+1 一 2 解法 2 记该行列式右下角的 k(k2)阶子行列式为 D k ，则 6.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a 1 a 2 a 3 a 4 一
7、 b 1 b 2 b 3 b 4 ）解析：解析：按第 1 列展开7.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1 一 x 2 一 y 2 一 z 2 ）解析：解析：将第 2 列的(一 x)倍、第 3 列的(一 y)倍、第 4 列的(一 z)倍都加到第 1 列上去，则得上三角行列式8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x 4 ）解析：解析：将第 2、3、4 列都加至第 1 列，并提出第 1 列的公因子 z，再将第 1 列的 1 倍、(一 1)倍、1 倍分别加至第 2、3、4 列，然后按第 4 行展开9.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_
8、（正确答案：正确答案：1 一 a+a 2 一 a 3 +a 4 一 a 5 ）解析：解析：先把第 2、3、4、5 行都加至第 1 行，再按第 1 行展开，得 D 5 =1 一 aD 4 ，一般地有 D n =1 一 aD n1 (n2)，并应用此递推公式10.D n = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：n!(2 一 n)）解析：解析：从第 j 列提出公因子 j，再将第 j 列的(一 1)倍加至第 1 列(j=2，3，n)，则得上三角行列式11.D n = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a n +(一 1) n+1 b n ）解析：解析：按第 1
9、 列展开12.行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 28）解析：解析：可直接计算亦可利用按第 4 行的展开法则，得所求值等于行列式13.方程 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1，2，3）解析：解析：由范德蒙行列式得 f(x)=(21)(31)(x 一 1)(32)(x 一 2)(x 一 3)14.方程 f(t=)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：t=6）解析：解析：注意行列式各行元素之和均等于(6 一 t)， f(t)=(t 一 6)(t 2 +3)15.方程 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:
10、_ （正确答案：正确答案：x=0，x=1）解析：解析：f(x)=5x(x 一 1)三、解答题(总题数：5，分数：10.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设有行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 D 的第 1 列的 1000 倍、第 2 列的 100 倍、第 3 列的 10 倍都加到第 4 列上去，则所得行列式第 4 列各元素有公因子 13)解析：18.求下列行列式的值： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)一 9(2)一 10)解析：19.计算下列 n 阶行列式： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1
11、)(一 1) n1 (n 一 1)x n2 先将第 2 行的(一 1)倍加至第 i 行(i=3，n)，再按第 1 列展开，并把(2，1)元素的余子式的第 2，3，n 一 1 列都加到第 1 列，则得上三角行列式 (2)(x 一 1)(x 一 2)(x 一 n+1)把第 1 行的(一 1)倍加到第 i 行(i=2，3，n)，则得上三角行列式 (3)n!(1+z+ )先把第 1 行的(一 1)倍加到第 i 行(i=2，3，1)，再把第 j 列的 )解析：20.设 ab，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先按第 1 行展开，并将(1，2)元素的余子式按第 1 列展开，得递推关系式 D n =(a+b)D n1 一 abD n2 ，D n 一 aD n2 =b(D n1 aD n2 )，D n 一 aD n1 =b n2 (D 2 一 aD 1 )=b”，对称地有 D n =bD n1 =a n ，解联立方程组 )解析：
