1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 114 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 为二阶矩阵，且 A 的每行元素之和为 4，且EA=0，则2EA 2 为( )（分数：2.00）A.0B.54C.一 2D.一 243.设 A 为 mn 阶矩阵，C 为 n 阶矩阵，B=AC，且 r(A)=r，r(B)=r 1 ，则( )（分数：2.00）A.rr 1B.rr 1C.rr 1D.r 与 r 1 的关系依矩阵 C 的情况而定4.设 n 阶矩阵 A=( 1 ，
2、 2 ， n )，B=( 1 ， 2 ， n )，AB=( 1 ， 2 ， n )，记向量组()： 1 ， 2 ， n ；()： 1 ， 2 ， n ；()： 1 ， 2 ， n ，若向量组()线性相关，则( )（分数：2.00）A.()，()都线性相关B.()线性相关C.()线性相关D.()，()至少有一个线性相关5.设向量组 1 ， 2 ， 3 为方程组 AX=0 的一个基础解系，下列向量组中也是方程组 AX=0 的基础解系的是( )（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 3 ， 3 一 1B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 1 +2 2 + 3C. 1 +2 2 ，2 2 +3 3
3、 ，3 3 + 1D. 1 + 2 + 3 ，2 1 3 2 +22 3 ，3 1 +5 2 5 36.设 A 是 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.A，B 都不可逆的充分必要条件是 AB 不可逆B.r(A)n，r(B)n 的充分必要条件是 r(AB)nC.AX=0 与 BX=0 同解的充分必要条件是 r(A)=r(B)D.AB 的充分必要条件是 EAEB7.设 A，B 为正定矩阵，C 是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是( )（分数：2.00）A.C T ACB.A 1 +B 1C.A * +B *D.AB8.设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A
4、.存在可逆矩阵 P 1 ，P 2 ，使得 P 1 1 AP 1 ，P 2 1 BP 2 为对角矩阵B.存在正交矩阵 Q 1 ，Q 2 ，使得 Q 1 T AQ 1 ，Q 2 T BQ 2 为对角矩阵C.存在可逆矩阵 P，使得 P 1 (AB)P 为对角矩阵D.存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B9.设 （分数：2.00）A.相似且合同B.相似不合同C.合同不相似D.不合同也不相似二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.A 2 一 B 2 =(A+B)(AB)的充分必要条件是 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_12.设 A= （分数：2.
5、00）填空项 1:_13.设 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 BO 为三阶矩阵，且矩阵 B 的每个列向量为方程组 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 A 是三阶矩阵，其三个特征值为 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：30.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_17.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 2 =A，B 2 =B，(A+B) 2 =A+B证明：AB=O（分数：2.00）_设 A，B 为 n 阶矩阵， （分数：4.00）(1).求 PQ；（分数：2.00）_(2).证明：当 P 可逆时，Q 也可逆（分数：2.00）_1
6、8.设 A 为 n 阶可逆矩阵，A 2 =AE证明：A=A * （分数：2.00）_19.设 A 为 n 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 为 n 维列向量，其中 1 0，且 A 1 = 1 ，A 2 = 1 + 2 ，A 3 = 2 + 3 ，证明： 1 ， 2 ， 3 线性无关（分数：2.00）_20.设 1 ， 2 ， n 为 n 个线性无关的 n 维列向量，且与向量 正交证明：向量 为零向量（分数：2.00）_21.设 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )，其中 1 ， 3 ， 5 线性无关，且 2 =3 1 一 3 一 5 ， 4 =2 1 + 3 +6 5 ，求方程组 AX=
7、0 的通解（分数：2.00）_设向量 =(a 1 ，a 2 ，a n ) T ，其中 a 1 0，A= T （分数：4.00）(1).求方程组 AX=0 的通解；（分数：2.00）_(2).求 A 的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量（分数：2.00）_22.设 A 为三阶矩阵，A 的特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =3，其对应的线性无关的特征向量分别为 （分数：2.00）_23.设 A 为三阶矩阵，A i =i i (i=1，2，3)， （分数：2.00）_设 （分数：4.00）(1).求 a；（分数：2.00）_(2).求可逆矩阵 P，使得 P 1 AP=B（分数：2.00）_设
8、 C= 为正定矩阵，令 P= （分数：4.00）(1).求 P T CP；（分数：2.00）_(2).证明：DBA 1 B T 为正定矩阵（分数：2.00）_考研数学一（线性代数）模拟试卷 114 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 为二阶矩阵，且 A 的每行元素之和为 4，且EA=0，则2EA 2 为( )（分数：2.00）A.0B.54 C.一 2D.一 24解析：解析：因为 A 的每行元素之和为 4，所以 A 有特征值 4，又E+A=
9、0，所以 A 有特征值一 1，于是2E+A 2 的特征值为 18，3，于是2E+A 2 =54，选(B)3.设 A 为 mn 阶矩阵，C 为 n 阶矩阵，B=AC，且 r(A)=r，r(B)=r 1 ，则( )（分数：2.00）A.rr 1B.rr 1C.rr 1 D.r 与 r 1 的关系依矩阵 C 的情况而定解析：解析：因为 r 1 =r(B)=r(AC)r(A)=r，所以选(C)4.设 n 阶矩阵 A=( 1 ， 2 ， n )，B=( 1 ， 2 ， n )，AB=( 1 ， 2 ， n )，记向量组()： 1 ， 2 ， n ；()： 1 ， 2 ， n ；()： 1 ， 2 ， n
10、 ，若向量组()线性相关，则( )（分数：2.00）A.()，()都线性相关B.()线性相关C.()线性相关D.()，()至少有一个线性相关 解析：解析：若 1 ， 2 ， n 线性无关， 1 ， 2 ， n 线性无关，则 r(A)=n，r(B)=n，于是 r(AB)=n因为 1 ， 2 ， n 线性相关，所以 r(AB)=r( 1 ， 2 ， N )n，故 1 ， 2 ， n 与 1 ， 2 ， n 至少有一个线性相关，选(D)5.设向量组 1 ， 2 ， 3 为方程组 AX=0 的一个基础解系，下列向量组中也是方程组 AX=0 的基础解系的是( )（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2
11、 3 ， 3 一 1B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 1 +2 2 + 3C. 1 +2 2 ，2 2 +3 3 ，3 3 + 1 D. 1 + 2 + 3 ，2 1 3 2 +22 3 ，3 1 +5 2 5 3解析：解析：根据齐次线性方程组解的结构，四个向量组皆为方程组 AX=0 的解向量组，容易验证四组中只有(C)组线性无关，所以选(C)6.设 A 是 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.A，B 都不可逆的充分必要条件是 AB 不可逆B.r(A)n，r(B)n 的充分必要条件是 r(AB)nC.AX=0 与 BX=0 同解的充分必要条件是 r(A)=r(B)D.A
12、B 的充分必要条件是 EAEB 解析：解析：若 AB，则存在可逆矩阵 P，使得 P 1 AP=B，于是 P 1 (EA)P=EP 1 AP=EB，即 EAEB；反之，若 EAEB，即存在可逆矩阵 P，使得 P 1 (EA)P=EB，整理得 E 一 P 1 AP=EB，即 P 1 AP=B，即 AB，应选(D)7.设 A，B 为正定矩阵，C 是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是( )（分数：2.00）A.C T ACB.A 1 +B 1C.A * +B *D.AB 解析：解析：显然四个选项中的矩阵都是实对称阵，因为 A，B 正定，所以 A 1 ，B 1 及 A * ，B * 都是正定的，对任意
13、X0，X T (C T AC)X=(CX) T A(CX)0(因为 C 可逆，所以当 X0 时，CX0)，于是 C T AC 为正定矩阵，同样用定义法可证 A 1 +B 1 与 A * +B * 都是正定矩阵，选(D)8.设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.存在可逆矩阵 P 1 ，P 2 ，使得 P 1 1 AP 1 ，P 2 1 BP 2 为对角矩阵B.存在正交矩阵 Q 1 ，Q 2 ，使得 Q 1 T AQ 1 ，Q 2 T BQ 2 为对角矩阵C.存在可逆矩阵 P，使得 P 1 (AB)P 为对角矩阵D.存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B 解析：解析：因为
14、A，B 都是可逆矩阵，所以 A，B 等价，即存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B，选(D)9.设 （分数：2.00）A.相似且合同B.相似不合同C.合同不相似 D.不合同也不相似解析：解析：由E 一 A=0 得 A 的特征值为 1，3，一 5，由EB=0 得 B 的特征值为 1，1，一1，所以 A 与 B 合同但不相似，选(C)二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.A 2 一 B 2 =(A+B)(AB)的充分必要条件是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：AB=BA）解析：解析：A 2 一 B 2 =(A+B)(AB)=A 2 +BAABB 2 的充分必要条
15、件是 AB=BA11.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：A=10，因为 A * =AA 1 ，所以 A * =10A 1 ，故(A * ) 1 = 12.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)3，又因为 BO，所以 r(B)1，从而有 r(A)2，显然 A 有两行不成比例，故 r(A)2，于是 r(A)=213.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令过渡矩阵为 Q，则(e 1 ，e 2 ，e 3 )=( 1 ， 2 ， 3
16、)Q， Q=( 1 ， 2 ， 3 ) 1 (e 1 ，e 2 ，e 3 ) 由 得过渡矩阵为 Q= 14.设 BO 为三阶矩阵，且矩阵 B 的每个列向量为方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k=1，B=0；）解析：解析：令 A=15.设 A 是三阶矩阵，其三个特征值为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：10）解析：解析：A= ，A * 的特征值为 三、解答题(总题数：12，分数：30.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：17.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 2 =A，B 2 =B，(A+B) 2 =A+B证明
17、：AB=O（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 2 =A，B 2 =B 及(A+B) 2 =A+B=A 2 +B 2 +AB+BA 得 AB+BA=O 或 AB=一 BA，AB=一 BA 两边左乘 A 得 AB=一 ABA，再在 AB=一 BA 两边右乘 A 得 ABA=一 BA，则 AB=BA，于是 AB=O)解析：设 A，B 为 n 阶矩阵， （分数：4.00）(1).求 PQ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：PQ= )解析：(2).证明：当 P 可逆时，Q 也可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为P=AB，所以当 P 可逆时，AB0，而PQ=ABE，即
18、PQ=E，于是 Q 可逆且 Q 1 = )解析：18.设 A 为 n 阶可逆矩阵，A 2 =AE证明：A=A * （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 AA * =AE，又已知 A 2 =AE，所以 AA * =A 2 ，而 A 可逆，故 A=A * )解析：19.设 A 为 n 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 为 n 维列向量，其中 1 0，且 A 1 = 1 ，A 2 = 1 + 2 ，A 3 = 2 + 3 ，证明： 1 ， 2 ， 3 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 1 = 1 得(AE) 1 =0； 由 A 2 = 1 + 2 得(AE) 2 = 1
19、 ；由 A 3 = 2 + 3 得(AE) 3 = 2 ， 令 k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 =0， (1) (1)两边左乘 AE 得 k 2 1 +k 3 2 =0， (2) (2)两边左乘 AE 得 k 3 1 =0，因为 1 0，所以 k 3 =0，代入(2)、(1)得 k 1 =0，k 2 =0， 故 1 ， 2 ， 3 线性无关)解析：20.设 1 ， 2 ， n 为 n 个线性无关的 n 维列向量，且与向量 正交证明：向量 为零向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(反证法)不妨设 0，令 k 1 1 +k 2 2 +k n n +k 0 =0，上式两边左乘 T
20、得 k 1 T 1 +k 2 T 2 +k n T n +k 0 T =0 因为 1 ， 2 ， n 与 正交，所以 k 0 T =0，即 k 0 2 =0，从而 k 0 =0，于是 k 1 1 +k 2 2 +k n n =0，再由 1 ， 2 ， n 线性无关，得 k 1 =k 2 =k n =0，故 1 ， 2 ， n ， 线性无关，矛盾(因为当向量的个数大于向量的维数时向量组一定线性相关)，所以=0)解析：21.设 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )，其中 1 ， 3 ， 5 线性无关，且 2 =3 1 一 3 一 5 ， 4 =2 1 + 3 +6 5 ，求方程组 AX=
21、0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 1 ， 3 ， 5 线性无关，又 2 ， 4 可由 1 ， 3 ， 5 线性表示，所以 r(A)=3，齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含有两个线性无关的解向量 由 2 =3 1 一 3 一 5 ， 4 =2 1 + 3 +6 5 得方程组 AX=0 的两个解为 1 =(3，一 1，一 1，0，一 1) T ， 2 =(2，0，1，一 1，6) T 故 AX=0 的通解为 k 1 (3，一 1，一 1，0，一 1) T +k 2 (2，0，1，一1，6) T (k 1 ，k 2 为任意常数)解析：设向量 =(a 1 ，a 2 ，a n
22、 ) T ，其中 a 1 0，A= T （分数：4.00）(1).求方程组 AX=0 的通解；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r(A)=1，所以 AX=0 的基础解系含有 n1 个线性无关的特征向量，其基础解系为 1 =( ，1，0，0) T ， 2 =( ，0，1，0) T ， n1 =( )解析：(2).求 A 的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 2 =kA，其中 k=(，)= )解析：22.设 A 为三阶矩阵，A 的特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =3，其对应的线性无关的特征向量分别为 （分数：2.00）_正确
23、答案：(正确答案：令 =x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 ，解得 x 1 =2，x 2 =一 2，x 3 =1，则 A n =2A n 1 一 2A n 2 +A n 3 = )解析：23.设 A 为三阶矩阵，A i =i i (i=1，2，3)， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设 （分数：4.00）(1).求 a；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 AB，所以 tr(A)=tr(B)，即 2+a+0=1+(一 1)+2，于是 a=0)解析：(2).求可逆矩阵 P，使得 P 1 AP=B（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由EA= =(+1)( 一
24、 1)( 一 2)=0 得 A，B 的特征值为 1 =一1， 2 =1， 3 =2 当 =一 1 时，由(一 EA)X=0 即(E+A)X=0 得 1 =(0，一 1，1) T ； 当 =1时，由(EA)X=0 得 2 =(0，1，1) T ； 当 =2 时，由(2EA)X=0 得 3 =(1，0，0) T ，取 P 1 = ，则 P 1 1 AP 1 = 当 =一 1 时，由(一 EB)X=0 即(E+B)X=0 得 1 =(0，1，2) T ； 当 =1 时，由(EB)X=0 得 2 =(1，0，0) T ； 当 =2 时，由(2EB)X=0 得 3 =(0，0，1) T ，取 P 2 = ，则 P 2 1 BP 2 = 由 P 1 1 AP 1 =P 2 1 BP 2 得(P 1 P 2 1 ) 1 A(P 1 P 2 1 )=B， 取 P=P 1 P 2 1 = )解析：设 C= 为正定矩阵，令 P= （分数：4.00）(1).求 P T CP；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 C= 为正定矩阵，所以 A T =A，D T =D，P T CP= )解析：(2).证明：DBA 1 B T 为正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 C 与 合同，且 C 为正定矩阵，所以 )解析：
