1、考研数学三-197 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设向量组 1， 2， 3， 4线性相关，则下列向量组中线性无关的是( )（分数：4.00）A. 1+ 2， 2+ 3， 3+ 4， 4+ 1B. 1- 2， 2- 3， 3- 4， 4- 1C. 1+ 2， 2- 3， 3- 4， 4- 1D. 1+ 2， 2+ 3， 3- 4， 4- 12.当 x0 时，f(lnx) （分数：4.00）A.B.C.D.3.设一个 5 元齐次线性方程组 AX=0 的系数矩阵 A 经过消元法，化为 B= （分数：4.00）A.B.C.D.4.设
2、 an0(n=1，2，)且 （分数：4.00）A.B.C.D.5.由甲，乙二人中任选一人对同一目标射击，已知甲，乙击中目标的概率分别为 0.6 和 0.5，今知目标被击中，则它由甲击中的概率为( )（分数：4.00）A.B.C.D.6.设函数 f(x)在 x=x0的某个邻域内连续，且 f(x0)是它的极大值，则存在 0，当 x(x 0-，x 0+)时，必有( )（分数：4.00）A.B.C.D.7.设函数 f(x)在(-，+)存在二阶导数，且 f(x)=-f(-x)，当 x0 时有 f(x)0，f“(x)0，则当x0 时有( )（分数：4.00）A.f(x)0，f“(x)0B.f(x)0，f“
3、(x)0C.f(x)0，f“(x)0D.f(x)0，f“(x)08.设 X1，X 2，X n是来自总体 X 的简单随机样本，D(X)= 20， 则( )（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）填空项 1:_10.曲线的极坐标方程为：r=3-2sin，则 （分数：4.00）填空项 1:_11.由 确定了隐函数 z=z(x，y)，则 （分数：4.00）填空项 1:_12.积分 （分数：4.00）填空项 1:_13.若 （分数：4.00）填空项 1:_14.一发高射炮弹击落，击伤和不能击中敌机的概率分别为 （分数：4.00）填空项 1:_
4、三、解答题(总题数：9，分数：94.00)已知 f(x)在1，2连续，在(1，2)可导，且 f(1)=0，f(2)=1试证：（分数：10.00）(1).存在 (1，2)，使 f()=2-。（分数：5.00）_(2).存在两个不同点 ，(1，2)，使 f()f()=1。（分数：5.00）_15.设 g(x)在(-，+)连续，对任意实数 x，有 g(x+1)=g(x)，且 ，而 f(x)在0，1上有连续的导数，记 试证：级数 （分数：10.00）_16.利用 ，计算广义积分 （分数：10.00）_17.设平面图形 A 由 x2+y22x 与 yx 围成，求图形 A 绕直线 x=2 旋转一周所得旋转
5、体的体积。（分数：10.00）_（分数：10.00）(1).验证函数 （分数：5.00）_(2).用()中结论求幂级数 （分数：5.00）_18.已知向量组 1=(1，2,0，-2) T， 2=(-1，4,2，) T， 3=(3，3，-1，-6) T与向量组 1=(1，5，1，-a) T， 2=(1，8,2，-2) T， 3=(-5,2，m，10) T是齐次方程组 AX=0 的两个基础解系，求a，m 的值。（分数：11.00）_矩阵 （分数：11.00）(1).求对角矩阵 ，使 B 与 A 相似。（分数：5.50）_(2).问 k 为何值时，B 为正定矩阵。（分数：5.50）_设鸟笼中有 3
6、只黄雀，5 只麻雀，每次开笼门放飞一只鸟，当 3 只黄雀都飞出后，停止放飞，以 X 表示停止放飞后，留在笼中的麻雀数。（分数：11.00）(1).写出 X 的分布律，（分数：5.50）_(2).求 P(XE(X)（分数：5.50）_设总体 x 的概率密度为 （分数：11.00）(1). 的矩估计量，（分数：5.50）_(2).的矩估计量，讨论其无偏性。 （分数：5.50）_考研数学三-197 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设向量组 1， 2， 3， 4线性相关，则下列向量组中线性无关的是( )（分数：4.00）A. 1+ 2，
7、 2+ 3， 3+ 4， 4+ 1B. 1- 2， 2- 3， 3- 4， 4- 1C. 1+ 2， 2- 3， 3- 4， 4- 1 D. 1+ 2， 2+ 3， 3- 4， 4- 1解析：考点 判定向量组的线性相关性答案解析 由观察易知，(A)不正确，( 1+ 2)-( 2+ 3)+( 3+ 4)-( 4+ 1)=0，故这组向量线性相关，(B)不正确，( 1- 2)+( 2- 3)+( 3- 4)+( 4+ 1)=0，故这组向量线性相关，(D)不正确，-( 1+ 2)+( 2+ 3)-( 3- 4)-( 4- 1)=0，故这组向量线性相关，由排除法知(C)组向量线性无关，应选(C)。2.当
8、 x0 时，f(lnx) （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 分部积分法计算定积分答案解析 *应选(A)。3.设一个 5 元齐次线性方程组 AX=0 的系数矩阵 A 经过消元法，化为 B= （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 齐次线性方程组系数矩阵化为阶梯形后，自由未知量的选取答案解析 由矩阵 B 与矩阵 A 有相同的秩，即 r(A)=3，从而自由未知量个数(即基础解系含向量个数)为5-r(A)=5-3=2 个。如果去掉 x4，x 5相应的两列，余下 3 阶矩阵为*其秩为 2 与 r(A)不相等，因此，x 4，x 5不能是自由未知量。同理去掉 x3，x 4相应的两列，余
9、下 3 阶矩阵为*其秩为 2 与 r(A)不相等，因此 x4，x 5不能是自由未知量，而 x1，x 5与 x2，x 3都可以是自由未知量，应选(B)。4.设 an0(n=1，2，)且 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 判定数项级数的绝对收敛，条件收敛与发散答案解析 由*因此对充分大的 n(nN)，*，因而无妨设对任意的 n，a n0，于是*是交错级数。首先，对取绝对值后的级数*发散，故原级数绝对发散。由于无法保证*的单调性，对原级数，考察其部分和*从而原级数本身收敛，其为条件收敛，应选(B)。5.由甲，乙二人中任选一人对同一目标射击，已知甲，乙击中目标的概率分别为 0.6 和 0
10、.5，今知目标被击中，则它由甲击中的概率为( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 贝叶斯公式答案解析 记 A1=“甲射击”，A 2=“乙射击”，则 P(A1)=P(A2)=0.5B=“目标被击中”，且 P(B|A1)=0.6，P(B|A 2)=0.5，由贝叶斯公式，所求概率为*应选(A)。6.设函数 f(x)在 x=x0的某个邻域内连续，且 f(x0)是它的极大值，则存在 0，当 x(x 0-，x 0+)时，必有( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 函数极大值概念与极限的性质答案解析 (A)不正确，若(A)成立，当 xx 0时，有 f(x)-f(x0)O，故 f(
11、x0)一定不是 f(x)的极大值，(B)不正确，若(B)成立，当 xx 0时，有 f(x)-f(x0)0，与题设矛盾。记*，因为 f(x0)是 f(x)的极大值，所以存在 0，当 x(x 0-，x 0+)时，*0(xx 0)，因为 F(t)在t=x0(x0x)处连续及极限的保号性有*因此(C)正确，(D)不正确，应选(C)。7.设函数 f(x)在(-，+)存在二阶导数，且 f(x)=-f(-x)，当 x0 时有 f(x)0，f“(x)0，则当x0 时有( )（分数：4.00）A.f(x)0，f“(x)0B.f(x)0，f“(x)0C.f(x)0，f“(x)0D.f(x)0，f“(x)0 解析：
12、考点 可导奇，偶函数的导数答案解析 由 f(x)=-f(-x)知 f(z)是奇函数，我们知道：可导奇函数的导数是偶函数；可导偶函数的导数是奇函数，已知 f(x)二阶可导，从而 f(x)为偶函数 f“(x)为奇函数又知当 x0 有 f(x)0，f“(x)0，因此，当 x0 时，有 f(x)0，f“(x)0，应选(D)。8.设 X1，X 2，X n是来自总体 X 的简单随机样本，D(X)= 20， 则( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 关于参数估计的相关概念答案解析 (A)不正确，因为 2=E(S2)=D(S)+(E(S)2(E(S) 2，即 E(S)，故 S 不是 的无偏估计。
13、(B)不正确，*的极大似然估计量，S 2不是。(C)正确，由辛钦大数定律知*由切比雩夫大数定律确*，再由依概率收敛的性质，有*(D)不正确，只有正态总体才有 X 与 S2相互独，本题并未指明 X 为正态总体，应选(C)。二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 复合函数求导，对数求导法答案解析 *两边对 x 求导，得*10.曲线的极坐标方程为：r=3-2sin，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 曲线的法线方程答案解析 曲线以极角 为参数的参数方程为x=(3-2sin)cos=3cos-sin2
14、y=(3-2sin)sin=3sin+cos2-1当*时曲线切线的切点坐标为*11.由 确定了隐函数 z=z(x，y)，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 求隐函数在一点微分的值答案解析 *代入(1，0，-1)，得*12.积分 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 计算定积分答案解析 *13.若 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 求矩阵的伴随矩阵答案解析 (3A) *=|3A|(3A)-1*14.一发高射炮弹击落，击伤和不能击中敌机的概率分别为 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0.998）解析：考点
15、 求随机事件的概率答案解析 记 A1=“一发炮弹击落敌机”，A 2=“一发炮弹击伤敌机”，A 3=“一发炮弹不能击中敌机”，则*设 B=“5 发炮弹击落敌机”，则*=“5 发炮弹未能击落敌机”，即*=“5 发均未击中”“5 发仅击伤一次”*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)已知 f(x)在1，2连续，在(1，2)可导，且 f(1)=0，f(2)=1试证：（分数：10.00）(1).存在 (1，2)，使 f()=2-。（分数：5.00）_正确答案：(令 F(x)=f(x)+x-2(x1，2)则 F(x)在1，2连续。且：F(1)=f(1)+1-2=-10；F(2)=，(2)+2-2=10
16、。由闭区间上连续函数零值定理，存在 (1，2)，使F()=f()+-2=0，即 f()=2-，)解析：(2).存在两个不同点 ，(1，2)，使 f()f()=1。（分数：5.00）_正确答案：(在1，2上分别对 f(x)用拉格朗日中值定理，存在 (1，)，(，2)，故 ，且 ，(1，2)，使*)解析：考点 闭区间上连续函数性质与微分中值定理15.设 g(x)在(-，+)连续，对任意实数 x，有 g(x+1)=g(x)，且 ，而 f(x)在0，1上有连续的导数，记 试证：级数 （分数：10.00）_正确答案：(g(x)是以 T=1 为周期的连续周期函数，满足*是以 T=1 为周期的可导函数，由连
17、续周期函数积分性质知*由于 G(X)在(-，+)连续，以 T=1 为周期，从而有界，即存在常数 M10 使|G(X)|M 1，于是|G(nx)|M 1 (x(-，+)又 f(x)在0，1连续，故有界，即存在常数 M20，使|f(x)|M 2(x0，1)由(*)式，有*依正项级数比较判别法知*收敛，)解析：考点 级数收敛性的判定16.利用 ，计算广义积分 （分数：10.00）_正确答案：(*因为幂级数可以在收敛区间内逐项积分，从而有*)解析：考点 幂级数与广义积分综合题17.设平面图形 A 由 x2+y22x 与 yx 围成，求图形 A 绕直线 x=2 旋转一周所得旋转体的体积。（分数：10.0
18、0）_正确答案：(以 y 为积分变量，则图形 A 的边界曲线为：*x 2=y (0y1)所求体积为曲线 x1=x1(y)，x 2=x2(y)绕直线 x=2 旋转体体积之差。取 y，y+dyy0，1，由微元法知*)解析：考点 定积分应用（分数：10.00）(1).验证函数 （分数：5.00）_正确答案：(*幂级数在收敛区间内可逐项求导，有*上面三式相加，得y“+y+y=-ex(-x+) (i)解析：(2).用()中结论求幂级数 （分数：5.00）_正确答案：(二阶常系数齐次方程的特征方程为： 2+1=0,则*非齐次项 f(x)=-ex，可设非齐次方程有特解形如：y*=Aex代入(i)得*，于是得
19、非齐次方程通解为*于是幂级数的和函数为*)解析：考点 求幂级数的和函数18.已知向量组 1=(1，2,0，-2) T， 2=(-1，4,2，) T， 3=(3，3，-1，-6) T与向量组 1=(1，5，1，-a) T， 2=(1，8,2，-2) T， 3=(-5,2，m，10) T是齐次方程组 AX=0 的两个基础解系，求a，m 的值。（分数：11.00）_正确答案：(由于 1， 2， 3； 1， 2，3 都是 AX=0 的基础体系，故 1， 2， 3线性无关； 1， 2， 3也线性无关又因为二者等价，因此可以相互线性表示( 1， 2， 3| 1， 2， 3)=*由于 r( 1， 2， 3)
20、=r( 1， 2， 3)，故 a-20，即 a2，又因为二者等价， 3可由 1， 2， 3线性表示，故r( 1， 2， 3| 3)=r( 1， 2， 3)=3于是 12-3m=0，故 m=4，总之 a2，m=4。)解析：考点 由齐次方程组基础解系等价，确定其中参数矩阵 （分数：11.00）(1).求对角矩阵 ，使 B 与 A 相似。（分数：5.50）_正确答案：(A T=A，即 A 是实对称矩阵。*A 的特征值为 1=0， 2= 3=2，于是存在正交矩阵 P，使*因为 BT=(kE+A)2T=(kE+A)T(kE+A)T=(kE+AT)2=(kE+A)2=B，即 B 也是实对称矩阵，且B=P(
21、kE)PT+P 1PT2=P(kE+ 1)PTP(kE+ 1)PT=P(kE+ 1)2PT于是 PTBP=P-1BP=(kE+ 1)2*即 B 与 A 相似。)解析：(2).问 k 为何值时，B 为正定矩阵。（分数：5.50）_正确答案：(B 的特征值为 k2，(k+2) 2，(k+2) 2，当*时，B 的特征值全是正数，此时 B 为正定矩阵，)解析：考点 矩阵相似对角化，正定矩阵设鸟笼中有 3 只黄雀，5 只麻雀，每次开笼门放飞一只鸟，当 3 只黄雀都飞出后，停止放飞，以 X 表示停止放飞后，留在笼中的麻雀数。（分数：11.00）(1).写出 X 的分布律，（分数：5.50）_正确答案：(X 可能取值为 0，1，2，3，4，5。设想鸟依次飞出后，及留下的鸟站成一排，以 8 个不同元素(鸟)的一个全排列对应一个基本事件，则：*于是 X 的分布律为*)解析：(2).求 P(XE(X)（分数：5.50）_正确答案：(*)解析：考点 离散型随机变量的分布律及随机事件的概率设总体 x 的概率密度为 （分数：11.00）(1). 的矩估计量，（分数：5.50）_正确答案：(*)解析：(2).的矩估计量，讨论其无偏性。 （分数：5.50）_正确答案：(因为*是总体一阶矩 E(X)的连续函数，所以 g()的矩估计量为*)解析：考点 参数的矩估计，无偏性
