1、考研数学二-197 及答案解析(总分：146.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.下列函数中，在 x=0 处既连续又可导的是_ABCD （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(x)在(-，+)内有定义，且 x00 是函数 f(x)的极大值点，则_Ax 0必为 f(x)的驻点B-x 0必为-f(x)的极小值点C-x 0必为-f(-x)的极小值点D对任何 x(-，+)，都有 f(x)f(x 0)（分数：4.00）A.B.C.D.3.若 f(0，0)=0，当(x，y)(0，0)时，f(x，y)为如下四式之一，则 f(x，y)在点(0，0)处连续的是_ABC
2、D （分数：4.00）_4.设 f(x)是连续可导函数，当 0axb 时，恒有 xf(x)f(x)，则_Aaf(x)xf(a) Bbf(x)xf(b)Cxf(x)bf(b) Dxf(x)af(a)（分数：4.00）A.B.C.D.5.设 f(x0)=0，f“(x 0)0，则必定存在一个正数 ，使得_A曲线 y=f(x)在(x 0-，x 0+)内单调增加B曲线 y=f(x)在(x 0-，x 0+)内单调减少C曲线 y=f(x)在(x 0-，x 0内单调减少，而在x 0，x 0+)内单调增加D曲线 y=f(x)在(x 0-，x 0内单调增加，而在x 0，x 0+)内单调减少（分数：4.00）_6.
3、微分方程 y“+y=-2x 的通解为_A-2x+c 1cosx+c2sinxB2x+c 1cosx+c2sinxC-2x+cosx+sinxD-2x+c 1cosx+sinx（分数：4.00）A.B.C.D.7.设若矩阵 X 满足 AX+2B=BA+2X，则 X4=_ABCD （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 A 为三阶非零方阵，而 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.若当 x0 时， （分数：4.00）填空项 1:_10.设 （分数：4.00）填空项 1:_11.设 f(x)是-a，a的连续函数，则（分数：4.00）填空项 1:_12.方程
4、 y“+16y=sin(4x+)( 是常数)的特解形式为 y*_（分数：4.00）填空项 1:_13.设 f(x)可导，且 ，又（分数：4.00）填空项 1:_14.四阶行列式 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：90.00)15.设 求 （分数：10.00）_16.讨论函数 y=x2lnx 的单调性、凹凸性及拐点（分数：10.00）_17.设 （分数：10.00）_18.设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=，试证明至少存在一点 (a，b)，使f()+f()=（分数：10.00）_19.已知 f(x)连续，且试求 （分数：10.
5、00）_20.设有一容器由平面 z=0，z=1 及介于它们之间的曲面 S 所围成，过 z 轴上任意点(0，0，z)(0z1)作垂直于 z 轴的平面与该立体相截得水平截面 D(z)，它是半径 （分数：10.00）_21.设 ，f 具有连续二阶导数，求 及 （分数：10.00）_22.讨论线性方程组（分数：10.00）_23.设()求矩阵 A 的特征值与特征向量；()当 （分数：10.00）_考研数学二-197 答案解析(总分：146.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.下列函数中，在 x=0 处既连续又可导的是_ABCD （分数：4.00）A.B. C.D.
6、解析：解析 利用函数在一点连续、可导的定义或其充要条件判别对于(A)， ，而 f(0)=0，所以在 x=0 处连续因为为振荡型，在 x=0 处不存在，故 f(x)在 x=0 处不可导对于(C)，易知 f(x)在 x=0 处不连续对于(D)， 在 x=0 处不存在，即 f(x)在 x=0 处不可导对于(B)， ，f(0)=0，故其在 x=0 处连续又因为因2.设 f(x)在(-，+)内有定义，且 x00 是函数 f(x)的极大值点，则_Ax 0必为 f(x)的驻点B-x 0必为-f(x)的极小值点C-x 0必为-f(-x)的极小值点D对任何 x(-，+)，都有 f(x)f(x 0)（分数：4.0
7、0）A.B.C. D.解析：解析 利用函数 f(x)的图形与-f(x)的图形的关系判别之f(x)在 x0处不一定可导，(A)不成立设 f(x)=sinx，它在 x0=/2 取得极大值，但是-f(x)=-sinx 在-x0=-/2 取值为-sin(-/2)=1，也是极大值，不能选(B)由于极大值未必是最大值，因而不能选(D)由于 y=-f(-x)的图形与 y=f(x)的图形关于原点对称，当 x0 是 f(x)的极大值点时，-x 0必是-f(-x)的极小值点仅(C)入选3.若 f(0，0)=0，当(x，y)(0，0)时，f(x，y)为如下四式之一，则 f(x，y)在点(0，0)处连续的是_ABCD
8、 （分数：4.00）_解析：4.设 f(x)是连续可导函数，当 0axb 时，恒有 xf(x)f(x)，则_Aaf(x)xf(a) Bbf(x)xf(b)Cxf(x)bf(b) Dxf(x)af(a)（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 从要判定的不等式看来，归结判定三个值 的大小，故必作辅助函数 令 ，则由题设知，当 0axb 时，xf(x)f(x)因而在(a，b)内 F(x)0，即 F(x)单调减少，故F(a)F(x)F(b)，x(a，b)，即5.设 f(x0)=0，f“(x 0)0，则必定存在一个正数 ，使得_A曲线 y=f(x)在(x 0-，x 0+)内单调增加B曲线 y=f
9、(x)在(x 0-，x 0+)内单调减少C曲线 y=f(x)在(x 0-，x 0内单调减少，而在x 0，x 0+)内单调增加D曲线 y=f(x)在(x 0-，x 0内单调增加，而在x 0，x 0+)内单调减少（分数：4.00）_解析：6.微分方程 y“+y=-2x 的通解为_A-2x+c 1cosx+c2sinxB2x+c 1cosx+c2sinxC-2x+cosx+sinxD-2x+c 1cosx+sinx（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 首先求出对应的齐次方程的通解，然后观察求出一特解 y*=-2x因 r2+1=0，故 r=i=0i所以 y“+y=0 的通解为e0x(c1co
10、sx+c2sinx)=c1cosx+c2sinx又 y*=-2x 满足 y“+y=-2x，为一特解故所求的通解为y=-2x+c1cosx+c2sinx 仅(A)入选7.设若矩阵 X 满足 AX+2B=BA+2X，则 X4=_ABCD （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由题设易求得(A-2E)X=B(A-2E)，即X=(A-2E)-1B(A-2E)因而 X 与 B 相似，而 B 为对角矩阵，这样 X 的高次方就易求了易知 A-2E 可逆，由题设的矩阵方程易得到(A-2E)X=B(A-2E)，于是X=(A-2E)-1B(A-2E)，则XB因而8.设 A 为三阶非零方阵，而 （分数：4
11、.00）A.B.C.D. 解析：解析 先证|B|=0由|B|=0 即可求出 t用反证法证|B|=0事实上，如|B|0，则 B 可逆由 AB=O 得到 ABB-1=OB-1，即 A=O，与 A 为非零矩阵矛盾，故|B|=0由|B|=1+2+t+4=0 得 t=-7仅(D)入选二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.若当 x0 时， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：6）解析：解析 比较无穷小量的阶可由定义确定之，也可由下述结论直接观察求出：当 f(x)连续且 xa 时，f(x)是 x-a 的 n 阶无穷小量，g(x)是 x-a 的 m 阶的无穷小量，则当 xa 时，必为 x-a
12、 的(n+1)m 阶无穷小量解一 利用洛比达法则与等价无穷小关系：得到再利用洛必达法则，即得由此可见，当 n=6 时，有解二 因当 x0 时，ln(1+x)为 x 的一阶无穷小，x-sinxx 3/6 为 x 的 3 阶无穷小量，由上述结论知ln(1+t)dt 必为(1+1)3=6 阶无穷小为使 x0 时，10.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：ydx）解析：解析 用微分运算法则及一阶微分形式不变性求之解一 11.设 f(x)是-a，a的连续函数，则（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 注意到积分区间为对称区间，需考察被积函数的奇偶性以简化计算因(x+e
13、cosx)f(x)+(x-ecosx)f(-x)=xf(x)+f(x)+ecosxf(x)-f(-x)，而 f(x)+f(-x)，f(x)-f(-x)分别为偶函数和奇函数，x，e cosx分别为奇函数和偶函数，故 xf(x)+f(-x)与 ecosxf(x)-f(-x)都为奇函数，所以 I=012.方程 y“+16y=sin(4x+)( 是常数)的特解形式为 y*_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：x(Acos4x+Bsin4x)）解析：解析 求出对应齐次方程的特征根，与方程中非齐次项进行比较，由此可确定 y*的形式令f(x)=sin(4x+)=e 0x(sin4xcos+sinc
14、os4x)=e0x(Asin4x+Bcos4x)即 =0，=4需考察 i=4i 是否是特征方程的根，由 r2+16=0，得到 r1,2=4i因而4i 为特征方程的根，其特解形式为y*=x(Acos4x+Bsin4x)13.设 f(x)可导，且 ，又（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析 易求得 ，如能由 化为导数的极限，便可由题设经比较求出 a由拉格朗日中值定理得到f(x+1)-f(x)=f()(x+1-x)=f()，xx+1.而因 xx+1，故当 x时，必有 于是14.四阶行列式 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：D 4=(a2+b2+c2+d2)2）解析：
15、解析 利用行列式性质 DDT=D2求之三、解答题(总题数：9，分数：90.00)15.设 求 （分数：10.00）_正确答案：(可按求参数方程导数的一般方法求之可用两种方法求 法一将 代入上式，得由 x，y 的参数方程知x2+y2=2，因此法二 )解析：16.讨论函数 y=x2lnx 的单调性、凹凸性及拐点（分数：10.00）_正确答案：(由 y=0 确定驻点及单调区间，再由 y“=0 确定凹凸区间及拐点y=x(2lnx+1)，令 y=0，得驻点又 y“=2lnx+3，令 y“=0，得为便于研究 y=x2lnx 的一性质，列表如下：由上表可知，函数 y=x2lnx 在区间 和 内单调下降，在区
16、间 内单调上升，在点 处达到极小值又曲线 y=x2lnx 在区间 内是凸的，在区间 由是凹的，拐点为 )解析：17.设 （分数：10.00）_正确答案：(先依据 X 的取值范围，去掉被积函数的绝对值符号，求出 f(x)的分段表达式，再求 f(x)的极值和最值当 0x1 时，当 x1 时，于是有则由导数定义知 f(1)=2因 x0，故 是函数 f(x)唯一的驻点又因为 ，所以 )解析：18.设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=，试证明至少存在一点 (a，b)，使f()+f()=（分数：10.00）_正确答案：(首先考虑哪一个函数的导数能推出f(x)+f(x
17、)-=0借助 ex的导数等于它自己的性质，由函数 F(x)=exf(x)-的导数能推出f(x)+f(x)-=0事实上，F(x)=exf(x)-+e xf(x)=exf(x)+f(x)-因为 ex0，由exf(x)+f(x)-=0，就得到f(x)+f(x)-=0， 即 f(x)+f(x)=证作辅助函数F(x)=ex(f(x)-)，则 F(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，F(x)=ex(f(x)+f(x)-)， 且 F(a)=F(b)=0，故由罗尔定理可知，存在 (a，b)，使 F()=0，注意到 ex0，即得f()+f()=)解析：19.已知 f(x)连续，且试求 （分数：10.00）_
18、正确答案：(两次对变上限积分求导得到 的表达式，然后令 x=/2，即得所求结果等式两边同时对 x 求导，得令 x-=t，得于是有两边对 x 求导，得令 ，则)解析：20.设有一容器由平面 z=0，z=1 及介于它们之间的曲面 S 所围成，过 z 轴上任意点(0，0，z)(0z1)作垂直于 z 轴的平面与该立体相截得水平截面 D(z)，它是半径 （分数：10.00）_正确答案：(要明确题中所出现的各个物理量之间的关系，并能用积分或导数表示其关系，以及它们所满足的微分方程由题设知其中 S(z)是水面 D(z)的面积，且S(z)=z 2+(1-z)2，现由 及 z(0)=0，求 z(t)将上式两边对
19、 t 求导，由复合函数求导法则得即两边积分并注意 z(0)=0，得(*)()求 z 取何值时， 取最大值已求得因此，求 取最大值时，z 的取值归结为求f(z)=z2+(1-z)2在0，1上的最小值由得在 z=1/2 处 f(x)在0，1上取最小值，故 z=1/2 时，水表面上升速度最大()归结求容器的容积，即因此，灌满容器所需时间为或由于灌满容器所需时间也就是 z=1 时所对应的时间 t，于是在(*)式中令 z=1 得，即 )解析：21.设 ，f 具有连续二阶导数，求 及 （分数：10.00）_正确答案：(利用复合函数求导法则直接求导即可)解析：22.讨论线性方程组（分数：10.00）_正确答
20、案：(先用初等行变换将其增广矩阵化为行阶梯形矩阵，然后再讨论参数取值的情况对方程组解的影响对增广矩阵进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵：当 a1 时，方程组有唯一解：当 a=1，b-1 时，方程组无解，因为当 a=1，b=-1 时，方程组有无穷多组解，因)解析：23.设()求矩阵 A 的特征值与特征向量；()当 （分数：10.00）_正确答案：(P 已给定，利用 B=P-1AP 即可求出 B，从而可利用相似的关系求出 A100，至于求 B100还可用分块矩阵求之()由矩阵 A 的特征多项式得矩阵 A 的特征值 1= 2=1， 3=-3由齐次线性方程组(E-A)x=0，及得基础解系为=-2，1/2，1 T为方便计，取 1=-4，1，2 T为其基础解系由齐次方程组(-3E-A)x=0，由得基础解系 2=-2，1，1 T因此，矩阵 A 关于特征值 1= 2=1 的特征向量为k1-4，1，2 T，k 10；而关于特征值 3=-3 的特征向量为k2-2，1，1 T，k 20()()由 P-1AP=B，有P-1A100P=B100，故A100=PB100P-1，又于是 )解析：
