1、考研数学三线性代数（矩阵的特征值和特征向量）-试卷 2 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设矩阵 A= （分数：2.00）A.1，0，-2B.1，1，-3C.3，0，-2D.2，0，-33.已知 A 是 4 阶矩阵，A * 是 A 的伴随矩阵，若 A * 的特征值是 1，-1，2，4，那么不可逆矩阵是( )（分数：2.00）A.A-EB.2A-EC.A+2ED.A-4E4.已知 A 是 n 阶可逆矩阵，那么与 A 有相同特征值的矩阵是( )（分数：2
2、00）A.A TB.A 2C.A -1D.A-E5.已知 =(1，-2，3) T 是矩阵 A= （分数：2.00）A.a=-2，b=6B.a=2，b=-6C.a=2，b=6D.a=-2，b=-66.设 A 是 n 阶矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，n 维列向量 是矩阵 A 的属于特征值 的特征向量，那么在下列矩阵中 (1)A 2 (2)P -1 AP (3)A T (4) （分数：2.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个7.设 A 是 n 阶矩阵，下列命题中正确的是( )（分数：2.00）A.若 是 A T 的特征向量，那么 是 A 的特征向量B.若 是 A * 的特征向量，那么 是
3、 A 的特征向量C.若 是 A 2 的特征向量，那么 是 A 的特征向量D.若 是 2A 的特征向量，那么 是 A 的特征向量8.已知三阶矩阵 A 与三维非零列向量 ，若向量组 ，A，A 2 线性无关，而 A 3 =3A-2A 2 ，那么矩阵 A 属于特征值 =-3 的特征向量是( )（分数：2.00）A.B.A+2C.A 2 -AD.A 2 +2A-39.设 A 是三阶矩阵，其特征值是 1，3，-2，相应的特征向量依次是 1 ， 2 ， 3 ，若 P= ( 1 ，2 3 ，- 2 )，则 P -1 AP=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：8，分数：16.00)10
4、设 3 阶方阵 A 的特征值分别为-2，1，1，且 B 与 A 相似，则2B= 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设 3 阶矩阵 A 的特征值分别为 1，2，2，E 为 3 阶单位矩阵，则4A -1 -E= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 3 阶方阵 A 的特征值是 1，2，3，它们所对应的特征向量依次为 1 ， 2 ， 3 ，令 P=(3 3 ， 1 ，2 2 )，则 P -1 AP= 1（分数：2.00）填空项 1:_13.已知 A 有一个特征值-2，则 B=A 2 +2E 必有一个特征值是 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 A 是 n 阶矩阵，=2 是 A
5、的一个特征值，则 2A 2 -3A+5E 必定有特征值 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设 A 是 3 阶矩阵，且各行元素的和都是 5，则矩阵 A 一定有特征值 1（分数：2.00）填空项 1:_16.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_17.矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：22.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_19.设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1 =-1， 2 = 3 =1，对应于 1 的特征向量为 1 = （分数：2.00）_20.设矩阵 A= （分数：2.00）_21.设矩阵 A= （分数：2.
6、00）_22.设 3 阶对称阵 A 的特征值为 1 =6， 2 = 3 =3，与特征值 1 =6 对应的特征向量为 1 =(1，1，1) T ，求 A（分数：2.00）_23.设 3 阶方阵 A 的特征值为 1 =2， 2 =-2， 3 =1；对应的特征向量依次为 （分数：2.00）_24.设 3 阶对称阵 A 的特征值为 1 =1， 2 =-1， 3 =0；对应 1 ， 2 的特征向量依次为 p 1 = （分数：2.00）_设 a=(a 1 ，a 2 ，a n ) T ，a 1 0，A=aa T ，（分数：4.00）(1).证明 =0 是 A 的 n-1 重特征值；（分数：2.00）_(2)
7、求 A 的非零特征值及 n 个线性无关的特征向量（分数：2.00）_25.已知 A= （分数：2.00）_设 A 为 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是线性无关的 3 维列向量，且满足 A 1 = 1 + 2 + 3 ，A 2 =2 2 + 3 ，A 3 =2 2 +3 3（分数：4.00）(1).求矩阵 A 的特征值；（分数：2.00）_(2).求可逆矩阵 P 使得 P -1 AP=A（分数：2.00）_考研数学三线性代数（矩阵的特征值和特征向量）-试卷 2 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只
8、有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设矩阵 A= （分数：2.00）A.1，0，-2B.1，1，-3C.3，0，-2D.2，0，-3 解析：解析：根据特征值的性质： i =a ij 现在a ii =1+(-3)+1=-1，故可排除选项 C 显然，矩阵 A 中第 2、3 两列成比例，易知行列式A=0，故 =0 必是 A 的特征值，因此可排除选项 B 对于选项 A 和选项 D，可以用特殊值法，由于 3.已知 A 是 4 阶矩阵，A * 是 A 的伴随矩阵，若 A * 的特征值是 1，-1，2，4，那么不可逆矩阵是( )（分数：2.00）A.A-EB.2A-EC.A+2E D.A-
9、4E解析：解析：因为 A * 的特征值是 1、-1、2、4，所以A * =-8，又因为A * =A n-1 ，即A 3 =-8，于是A=-2 那么，矩阵 A 的特征值是：-2，2，-1， 因此，A-E 的特征值是-3，1，-2， 4.已知 A 是 n 阶可逆矩阵，那么与 A 有相同特征值的矩阵是( )（分数：2.00）A.A T B.A 2C.A -1D.A-E解析：解析：由于E-A T =(E-A) T =E-A，A 与 A T 有相同的特征多项式，所以 A 与 A T 有相同的特征值 由 A=，0 可得到： A 2 = 2 ，A -1 = -1 ，(A-E)=(-1)， 说明 A 2 、A
10、 -1 、A-E 与 A 的特征值是不一样的(但 A 的特征向量也是它们的特征向量)所以应选A5.已知 =(1，-2，3) T 是矩阵 A= （分数：2.00）A.a=-2，b=6 B.a=2，b=-6C.a=2，b=6D.a=-2，b=-6解析：解析：设 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量，按定义有6.设 A 是 n 阶矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，n 维列向量 是矩阵 A 的属于特征值 的特征向量，那么在下列矩阵中 (1)A 2 (2)P -1 AP (3)A T (4) （分数：2.00）A.1 个B.2 个 C.3 个D.4 个解析：解析：由 A=，0，有 A 2 =A()=Aa= 2
11、 ，0， 即 必是 A 2 属于特征值 2 的特征向量 7.设 A 是 n 阶矩阵，下列命题中正确的是( )（分数：2.00）A.若 是 A T 的特征向量，那么 是 A 的特征向量B.若 是 A * 的特征向量，那么 是 A 的特征向量C.若 是 A 2 的特征向量，那么 是 A 的特征向量D.若 是 2A 的特征向量，那么 是 A 的特征向量 解析：解析：如果 是 2A 的特征向量，即(2A)=，0那么 A= ，所以 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量由于(E-A)x=0 与(E-A T )x=0 不一定同解，所以 不一定是 A T 的特征向量 例如 8.已知三阶矩阵 A 与三维非零列向量
12、 ，若向量组 ，A，A 2 线性无关，而 A 3 =3A-2A 2 ，那么矩阵 A 属于特征值 =-3 的特征向量是( )（分数：2.00）A.B.A+2C.A 2 -A D.A 2 +2A-3解析：解析：因为 A 3 +2A 2 -3A=0故 (A+3E)(A 2 -A)=0=0(A 2 -A)， 因为，A，A 2 线性无关，那么必有 A 2 -A0，所以 A 2 -A 是矩阵 A+3E 属于特征值 =0 的特征向量，即矩阵 A 属于特征值 =-3 的特征向量所以应选 C9.设 A 是三阶矩阵，其特征值是 1，3，-2，相应的特征向量依次是 1 ， 2 ， 3 ，若 P= ( 1 ，2 3
13、 2 )，则 P -1 AP=( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由 A 2 =3 2 ，有 A(- 2 )=3(- 2 )，即当 2 是矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量时，- 2 仍是矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量同理，2 3 仍是矩阵 A 属于特征值 =-2 的特征向量 当 P -1 AP=A 时，P 由 A 的特征向量所构成，A 由 A 的特征值所构成，且 P 与 A 的位置是对应一致的，已知矩阵 A 的特征值是 1，3，-2，故对角矩阵 A 应当由 1，3，-2 构成，因此排除选项 B、C 由于 2 3 是属于 =-2 的特征向量，所以-2 在对角
14、矩阵 A 中应当是第 2 列，所以应选 A二、填空题(总题数：8，分数：16.00)10.设 3 阶方阵 A 的特征值分别为-2，1，1，且 B 与 A 相似，则2B= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-16）解析：解析：因为相似矩阵有相同的特征向量，矩阵对应的行列式等于特征向量的乘积，因此有11.设 3 阶矩阵 A 的特征值分别为 1，2，2，E 为 3 阶单位矩阵，则4A -1 -E= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：根据已知条件 A 的特征值为 1，2，2，A -1 的特征值为 12.设 3 阶方阵 A 的特征值是 1，
15、2，3，它们所对应的特征向量依次为 1 ， 2 ， 3 ，令 P=(3 3 ， 1 ，2 2 )，则 P -1 AP= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 3 3 ， 1 ，2 2 分别为 A 的对应特征值 3，1，2 的特征向量，所以 13.已知 A 有一个特征值-2，则 B=A 2 +2E 必有一个特征值是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：6）解析：解析：因为 =-2 是 A 的特征值，所以根据特征值的性质， 2 +2=(-2) 2 +2=6 是 B=A 2 +2E 的特征值14.设 A 是 n 阶矩阵，=2 是 A 的
16、一个特征值，则 2A 2 -3A+5E 必定有特征值 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：7）解析：解析：如果 是 A 的一个特征值， 是对应于 A 的一个特征向量，则 A=，因此有 A 2 =A()=A= 2 因此可知 (2A 2 -3A+5E)=2A 2 -3A+5=(2 2 -3+5)， 所以22 2 -32+5=7 一定是 2A 2 -3A+5E 的一个特征值15.设 A 是 3 阶矩阵，且各行元素的和都是 5，则矩阵 A 一定有特征值 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：已知各行元素的和都是 5，即 化为矩阵形式，可得16.
17、已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1，7，7）解析：解析：根据矩阵 A 的特征多项式 可得矩阵 A 的特征值为 7，1，1 又因为A= i ，可得A=7因为如果 A=，则有 A * = 17.矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：E-A= 所以 A 的特征值为 1 =2， 2 = 三、解答题(总题数：10，分数：22.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：19.设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1 =-1， 2 = 3 =1，对应于 1 的特征向量为 1 = （分数：2.00）_正确答案
18、正确答案：假设对应于 2 = 3 =1 的特征向量为 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，根据题设，A 为实对称矩阵，因此 T 1 =0，即 x 2 +x 3 =0，解得 2 =(1，0，0) T ， 3 =(0，1，-1) T 又由 A( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 1 ， 2 2 ， 3 3 )，故有 A=( 1 1 ， 2 2 ， 3 3 )( 1 ， 2 ， 3 ) -1 )解析：20.设矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题设有 A * =，又 AA * =AE=-E，于是 AA * =A 0 = 0 A= 0 A 即 由此可得 解此方程组 0 =
19、1，b=-3，a=c 又由A=-1，可得 )解析：21.设矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A 的特征值为 ，对应特征向量为 ，则有 A=由于A=70，所以 0 又因 A * A=AE，故有 A * = 于是有 故 A 的特征值为 1 = 2 =1， 3 =7 当 1 = 2 =1 时，对应线性无关的两个特征向量可取为 1 = 当 3 =7 时，对应的一个特征向量可取为 3 = 由 P -1 = 因此，B+2E 的三个特征值分别为 9，9，3 对应于特征值 9 的全部特征向量为 k 1 P -1 1 +k 2 P -1 2 =k 1 ，其中 k 1 ，k 2 是不全为零
20、的任意常数； 对应于特征值 3 的全部特征向量为 k 3 P -1 3 =k 3 )解析：22.设 3 阶对称阵 A 的特征值为 1 =6， 2 = 3 =3，与特征值 1 =6 对应的特征向量为 1 =(1，1，1) T ，求 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 A 是对称阵，必存在正交阵 Q，使 即 A=QAQ T 令 Q=( 1 ， 2 ， 3 )，则特征值 1 =6 对应的单位特征向量为 而 A-3E=Q(A-3E)Q T ，则 A=Q(A-3E)Q T +3E=( 1 ， 2 ， 3 ) ( 1 ， 2 ， 3 ) T +3E=3( 1 ，0，0) )解析：23.设 3
21、阶方阵 A 的特征值为 1 =2， 2 =-2， 3 =1；对应的特征向量依次为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 的特征值互异，故 p 1 ，p 2 ，p 3 线性无关，令 P=(p 1 ，p 2 ，p 3 )，P 是可逆矩阵，则 从而 A=PAP 1 )解析：24.设 3 阶对称阵 A 的特征值为 1 =1， 2 =-1， 3 =0；对应 1 ， 2 的特征向量依次为 p 1 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 为对称阵，故必存在正交阵 Q=(q 1 ，q 2 ，q 3 )，使 由题意，可得 1 、 2 的特征向量 由正交矩阵的性质，q 3 可取为 的
22、单位解向量，则由 )解析：设 a=(a 1 ，a 2 ，a n ) T ，a 1 0，A=aa T ，（分数：4.00）(1).证明 =0 是 A 的 n-1 重特征值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 为对称阵，故 A 与对角阵 A=diag( 1 ， 2 ， n )相似，其中 1 ， 2 ， n 是 A 的全部特征值 因为 A= T 且 a 1 0，所以 r(A)=1，从而 r(A)=1，于是 A只有一个非零对角元，即 =0 是 A 的 n-1 重特征值)解析：(2).求 A 的非零特征值及 n 个线性无关的特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 1 = T ，
23、2 = n =0 因为 A= T =( T )= 1 ，所以 p 1 = 是对应于 1 = T 的特征向量对于 2 = n =0，解方程 Ax=0，即 T x=0 已知 0，因此 T x=0，即 a 1 x 1 +a 2 x 2 +a n x n =0，所以其余(n-1)个线性无关特征向量为 p 2 =(-a 2 ，a 1 ，0，0) T ， p 3 =(-a 3 ，0，a 1 ，,，0) T ， p n =(-a n ，0，0，a 1 ) T )解析：25.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 的特征多项式为： 则 A 的特征值为 1 =2n-1， 2 =n-1，其中 n
24、1 为重根 当 1 =2n-1 时，解齐次方程组( 1 E-A)x=0，对系数作初等变换，有 得到基础解系 1 =(1，1，1) T 当 2 =n-1 时，齐次方程组( 2 E-A)x=0 等价于 x 1 +x 2 +x n =0，得到基础解系 2 =(-1，1，0，0) T ， 3 =(-1，0，1，0) T ， n =(-1，0，0，1) T 则 A 的特征向量是：k 1 1 和 k 2 2 +k 3 3 +k n n )解析：设 A 为 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是线性无关的 3 维列向量，且满足 A 1 = 1 + 2 + 3 ，A 2 =2 2 + 3 ，A 3 =2 2
25、3 3（分数：4.00）(1).求矩阵 A 的特征值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知可得 A( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 + 2 + 3 ，2 2 + 3 ，2 2 +3 3 )=( 1 ， 2 ， 3 ) 记 P 1 =( 1 ， 2 ， 3 )，B= ，则有 AP 1 =P 1 B 由于 1 ， 2 ， 3 线性无关，即矩阵 P 1 可逆， 所以 =B，因此矩阵 A 与 B 相似，则 )解析：(2).求可逆矩阵 P 使得 P -1 AP=A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(E-B)x=0，得矩阵 B 对应于特征值 =1 的特征向量 1 =(-1，1，0) T ， 2 =(-2，0，1) T ；由(4E-B)x=0，得对应于特征值 =4 的特征向量 3 =(0，1，1) T 即当P=P 1 P 2 =( 1 ， 2 ， 3 ) =(- 1 + 2 ，-2 1 + 3 ， 2 + 3 )时，P -1 AP=A= )解析：
