1、考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷 13及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.微分方程 y“一 4y=e 2x +x的特解形式为( )（分数：2.00）A.ae 2x +bx+cB.ax 2 e 2x +bx+cC.axe 2x +bx 2 +cxD.axe 2x +bx+c3.设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 y 1 一 e x ，y 2 =2xe x ，y 3 =3e -x ，则该微分方程为( )（分数：2.00）A.y“一 y“一 y+y=
2、0B.y“+y“一 y一 y=0C.y“+2y“一 y一 2y=0D.y“一 2y“一 y+2y=04.设 1 (x)， 2 (x)为一阶非齐次线性微分方程 y+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为( )（分数：2.00）A.C 1 (x)+ 2 (x)B.C 1 (x)一 2 (x)C.C 1 (x)一 2 (x)+ 2 (x)D. 1 (x)一 2 (x)+C 2 (x)二、填空题(总题数：9，分数：18.00)5.设 y=y(x)满足y=yx+(x)且 y(0)=1，则 y(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_6.设 y 1 (x)，y 2 (x)为 y+P(
3、x)y=Q(x)的特解，又 py 1 (x)+2qy 2 (x)为 y+P(x)y=0 的解，py 1 (x)一 qy 2 (x)为 y+P(x)y=Q(x)的解，则 p= 1，q= 2（分数：2.00）填空项 1:_7.设 y=y(x)满足(1+x 2 )yxy 且 y(0)=1，则 y(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_8.设 y=2e -x +e x sinx为 y“+py“+qy+ry=0 的特解，则该方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_10.微分方程 y+ytanx=cosx 的通解为 1（分数：2.00）填空项
4、 1:_11.设函数 (u)可导且 (0)=1，二元函数 z=(x+y)e xy 满足 （分数：2.00）填空项 1:_12.连续函数 f(x)满足则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设 y=y(x)可导，y(0)=2，令y=y(x+x)一 y(x)，且 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：26.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_15.求微分方程 y一 2xy=e x2 的满足初始条件 y(0)=1的特解（分数：2.00）_16.设位于第一象限的曲线 y=f(x)上任一点 P(x，y)的切线在 x轴上的
5、截距等于该点法线在 y轴上截距的相反数，且曲线经过点(1，0)，求该曲线（分数：2.00）_17.求差分方程 y t+1 +2y t =3的通解（分数：2.00）_18.求微分方程 y“+y一 2y=(2x+1)e x 一 2的通解（分数：2.00）_19.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）_20.求微分方程 xy+(1 一 x)y=e 2x (x0)满足 （分数：2.00）_21.求微分方程 （分数：2.00）_22.求微分方程 xy“+2y=e x 的通解（分数：2.00）_23.设 x0 时，f(x)可导，且满足： （分数：2.00）_24.求微分方程 （分数：2.00）_25.求
6、微分方程(yx 3 )dx一 2xdy=0的通解（分数：2.00）_26.求微分方程 y 2 dx+(2xy+y 2 )dy=0的通解（分数：2.00）_考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷 13答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.微分方程 y“一 4y=e 2x +x的特解形式为( )（分数：2.00）A.ae 2x +bx+cB.ax 2 e 2x +bx+cC.axe 2x +bx 2 +cxD.axe 2x +bx+c 解析：解析：y“
7、一 4y=0的特征方程为 2 一 4=0，特征值为 1 =一 2， 2 =2 y“一 4y=e 2x 的特解形式为 y 1 =axe 2x ， y“一 4y=x的特解形式为 y 2 =bx+c，故原方程特解形式为 axe 2x +bx+c，选(D)3.设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 y 1 一 e x ，y 2 =2xe x ，y 3 =3e -x ，则该微分方程为( )（分数：2.00）A.y“一 y“一 y+y=0 B.y“+y“一 y一 y=0C.y“+2y“一 y一 2y=0D.y“一 2y“一 y+2y=0解析：解析：由 y 1 =e x ，y 2 =2xe x ，y 3 =3e
8、 -x 为三阶常系数齐次线性微分方程的特解可得其特征值为 1 = 2 =1， 3 =一 1，其特征方程为( 一 1) 2 (+1)=0，即 3 一 2 一 +1=0，所求的微分方程为 y“一 y“一 y+y=0，选(A)4.设 1 (x)， 2 (x)为一阶非齐次线性微分方程 y+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为( )（分数：2.00）A.C 1 (x)+ 2 (x)B.C 1 (x)一 2 (x)C.C 1 (x)一 2 (x)+ 2 (x) D. 1 (x)一 2 (x)+C 2 (x)解析：解析：因为 1 (x)， 2 (x)为方程 y+p(x)y=Q(x)的两
9、个线性无关解，所以 1 (x)一 2 (x)为方程 y+P(x)y=0 的一个解，于是方程 y+P(x)y=Q(x)的通解为 C 1 (x)一 2 (x)+ 2 (x)，选(C)二、填空题(总题数：9，分数：18.00)5.设 y=y(x)满足y=yx+(x)且 y(0)=1，则 y(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由y=yx+(5x)得 解得 ）解析：6.设 y 1 (x)，y 2 (x)为 y+P(x)y=Q(x)的特解，又 py 1 (x)+2qy 2 (x)为 y+P(x)y=0 的解，py 1 (x)一 qy 2 (x)为 y+P(x)y=Q(x)的
10、解，则 p= 1，q= 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由一阶线性微分方程解的结构性质得 ）解析：7.设 y=y(x)满足(1+x 2 )yxy 且 y(0)=1，则 y(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：将原方程变量分离得*积分得*再由 y(0)=1得*）解析：8.设 y=2e -x +e x sinx为 y“+py“+qy+ry=0 的特解，则该方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：三阶常系数齐次线性微分方程的特征值为 1 =一 1， 2,3 =1i， 特征方程为(+1)( 一 1一 i)( 一 1+i)
11、=0，整理得 3 一 2 +2=0， 所求方程为 y“一 2y“+2y=0）解析：9.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由 得 求导得 f(x)一 2f(x)=e x ，解得 ）解析：10.微分方程 y+ytanx=cosx 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：通解为*）解析：11.设函数 (u)可导且 (0)=1，二元函数 z=(x+y)e xy 满足 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：令 x+y=u，则 再由 (0)=1 得 C=1，故）解析：12.连续函数 f(x)满足则 f(x)= 1（分
12、数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由 得 两边对 x求导得 f(x)一3f(x)=0，解得 ）解析：13.设 y=y(x)可导，y(0)=2，令y=y(x+x)一 y(x)，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由 得 或者 解得 再由 y(0)=2，得 C=2，所以 ）解析：三、解答题(总题数：13，分数：26.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：15.求微分方程 y一 2xy=e x2 的满足初始条件 y(0)=1的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由一阶非齐次线性微分方程通解公式得 )解析
13、：16.设位于第一象限的曲线 y=f(x)上任一点 P(x，y)的切线在 x轴上的截距等于该点法线在 y轴上截距的相反数，且曲线经过点(1，0)，求该曲线（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：切线为 Yy=y(Xx)，令 Y=0得 法线为 令 X=0得 由题意得解得 令 代入得 变量分离得 积分得 x=1 时，u=0，C=0所以，所求曲线为 )解析：17.求差分方程 y t+1 +2y t =3的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y t+1 +2y t =0的通解为 y t =C(一 2) t ； 设方程 y t+1 +2y t =3 t 的特解为 y * =a3 t ，代入得
14、 故差分方程 y t+1 +2y t =3 t 的通解为 )解析：18.求微分方程 y“+y一 2y=(2x+1)e x 一 2的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 2 + 一 2=0，特征值为 1 =1， 2 =一 2， 令 y“+y一2y=(2x+1)e x (1) y“+y一 2y=一 2 (2) 令(1)的特解为 y 1 =(ax 2 +bx)e x ，代入(1)得 显然(2)的一个特解为 y 2 =1， 故原方程通解为 )解析：19.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 原方程两边求导得 再求导得 f“(x)一 4f(x)=e x ，
15、 解方程得 f(x)=C 1 e -2x +C 2 e 2x 一 e x ， 由 f(0)=1，f(0)=1 得 故 )解析：20.求微分方程 xy+(1 一 x)y=e 2x (x0)满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原方程化为 通解为 由 得 C=一 1，故特解为 )解析：21.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 可写为 令 原方程化为 变量分离得 )解析：22.求微分方程 xy“+2y=e x 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一 令 y=p，则原方程化为 解得 故 方法二 xy“+2y=e x 两边乘以 x得 x 2 y“+2xy=x
16、e x ，即(x 2 y)=xe x ，积分得 x 2 y=(x 一 1)e x +C 1 ，即 再积分得原方程通解为 )解析：23.设 x0 时，f(x)可导，且满足： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得 两边对 x求导得 f(x)+xf(x)=1+f(x)，解得 )解析：24.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得 令 则原方程化为 积分得 即 将初始条件y(1)=0代入得 C=1 由 得 即满足初始条件的特解为 )解析：25.求微分方程(yx 3 )dx一 2xdy=0的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(yx 2 )dx一 2xdy=0，得 则 即原方程的通解为 )解析：26.求微分方程 y 2 dx+(2xy+y 2 )dy=0的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 y 2 dx+(2xy+y 2 )dy=0得 )解析：
