1、考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷 15及答案解析(总分：48.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：9，分数：18.00)1.微分方程 2y“=3y 2 满足初始条件 y(一 2)=1，y(一 2)=1的特解为= 1（分数：2.00）填空项 1:_2.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_3.设二阶常系数非齐次线性微分方程 y“+y+qy=Q(x)有特解 y=3e -4x +x 2 +3x+2，则 Q(x)= 1，该微分方程的通解为 2（分数：2.00）填空项 1:_4.以 y=C 1 e -2x +C 2 e x +cosx为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为 1（
2、分数：2.00）填空项 1:_5.设 y“一 3y+ay=一 5e -x 的特解形式为 Ax e -x ，则其通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_6.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_7.差分方程 y x+1 +2y x =5x 2 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_8.差分方程 y x+1 一 y x =x2 x 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_9.差分方程 y t+1 一 y t =2t 2 +1的特解形式为 y t * = 1（分数：2.00）填空项 1:_二、解答题(总题数：15，分数：30.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程
3、或演算步骤。（分数：2.00）_11.求微分方程 y“一 y一 6y=0的通解（分数：2.00）_12.求微分方程 y“+4y+4y=0 的通解（分数：2.00）_13.求微分方程 y“一 y+2y=0 的通解（分数：2.00）_14.设二阶常系数齐次线性微分方程以 y 1 =e 2x ，y 2 =2e -x 一 3e 2x 为特解，求该微分方程（分数：2.00）_15.求微分方程 y“+2y一 3y=(2x+1)e x 的通解（分数：2.00）_16.求 y“一 2y一 e 2x =0满足初始条件 y(0)=1，y(0)=1 的特解（分数：2.00）_17.求微分方程 y“+4y+4y=e
4、ax 的通解（分数：2.00）_18.求微分方程 y“+y=x 2 +3+cosx的通解（分数：2.00）_19.设单位质点在水平面内作直线运动，初速度 v| t=0 =v 0 已知阻力与速度成正比(比例系数为 1)，问t为多少时此质点的速度为 （分数：2.00）_20.设 f(x)在0，+)上连续，且 f(0)0，设 f(x)在0，x上的平均值等于 f(0)与 f(x)的几何平均数，求 f(x)（分数：2.00）_21.设曲线 L位于 xOy平面的第一象限内，L 上任意一点 M处的切线与 y轴总相交，交点为 A，已知|MA|=|OA|，且 L经过点 （分数：2.00）_22.在上半平面上求一
5、条上凹曲线，其上任一点 P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ的长度的倒数(Q 为法线与 x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与 x轴平行（分数：2.00）_23.一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比，比例系数为 k0，设融化过程中形状不变，设半径为r 0 的雪堆融化 3小时后体积为原来的 （分数：2.00）_24.设 f(x)在0，1上连续且满足 f(0)=1，f(x)一 f(x)=a(x一 1)y=f(x)，x=0，x=1，y=0 围成的平面区域绕 x轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求 f(x)（分数：2.00）_考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷 15答案解
6、析(总分：48.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：9，分数：18.00)1.微分方程 2y“=3y 2 满足初始条件 y(一 2)=1，y(一 2)=1的特解为= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：令 y=p，则 则原方程化为 解得 p 2 =y 3 +C 1 ， 由 y(一 2)=1，y(一 2)=1，得 C 1 =0，所以 从而有 再由 y(一 2)=1，得 C 1 =0，所求特解为 ）解析：2.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由 得 令 则 解得arcsinu=ln|x|+C，则原方程通解为 ）解析：3.设二阶常系数
7、非齐次线性微分方程 y“+y+qy=Q(x)有特解 y=3e -4x +x 2 +3x+2，则 Q(x)= 1，该微分方程的通解为 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：显然 =一 4是特征方程 2 +q=0 的解，故q=一 12， 即特征方程为 2 + 一 12=0，特征值为 1 =一 4， 2 =3 因为 x 2 +3x+2为特征方程y“+y一 12y=Q(x)的一个特解， 所以 Q(x)=2+2x+312(x 2 +3x+2)=一 12x 2 一 34x一 19， 且通解为y=C 1 e -4x +C 2 e 3x +x 2 +3x+2(其中 C 1 ，C 2 为任意
8、常数)）解析：4.以 y=C 1 e -2x +C 2 e x +cosx为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：特征值为 1 =一 2， 2 =1，特征方程为 2 + 一 2=0， 设所求的微分方程为 y“+y一 2y=Q(x)，把 Y=cosx代入原方程，得 Q(x)=一 sinx一3cosx，所求微分方程为 y“+y一 2y=一 sinx一 3cosx）解析：5.设 y“一 3y+ay=一 5e -x 的特解形式为 Ax e -x ，则其通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：因为方程有特解 Axe -x
9、 ，所以一 1为特征值，即(一 1) 2 一 3(一 1)+a=0 a=一 4， 所以特征方程为 2 一 3 一 4=0 ）解析：6.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由 得 整理得 ）解析：7.差分方程 y x+1 +2y x =5x 2 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y x+1 +2y x =0的通解为 y=C(一 2) x ， 令 y x+1 +2y x =5x 2 的特解为 y 0 (x)=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 ，代入原方程整理得 3a 0 +a 1 +a 2 +(3a 1 +2a 2 )
10、x+3a 2 x 2 =5x 2 ，解得 于是 y x+1 +2y x =5x 2 的通解为 ）解析：8.差分方程 y x+1 一 y x =x2 x 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y x+1 一 y x =0的通解为 y=C(1) x =C，令 y x+1 -y x =x2 x 的特解为 y 0 =(ax+b)2 x ， 代入原方程得 y 0 =(x一 2)2 x ，原方程的通解为 y=C+(x一 2)2 x ）解析：9.差分方程 y t+1 一 y t =2t 2 +1的特解形式为 y t * = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答
11、案：p=1，f(t)=2t 2 +1，故特解形式为 y t * =t(at 2 +bt+c)）解析：二、解答题(总题数：15，分数：30.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：11.求微分方程 y“一 y一 6y=0的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 2 一 一 6=0，特征值为 1 =-2， 2 =3，则原方程的通解为y=C 1 e -2x +C 2 e 3x )解析：12.求微分方程 y“+4y+4y=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 2 +4+4=0，特征值为 1 = 2 =一 2，则原方
12、程的通解为 y=(C 1 +C 2 x)e -2x )解析：13.求微分方程 y“一 y+2y=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 2 一 +2=0，特征值为 则原方程的通解为 )解析：14.设二阶常系数齐次线性微分方程以 y 1 =e 2x ，y 2 =2e -x 一 3e 2x 为特解，求该微分方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 y 1 =e 2x ，y 2 =2e -x 3e 2x 为特解，所以 e 2x ，e -x 也是该微分方程的特解，故其特征方程的特征值为 1 =一 1， 2 =2，特征方程为(+1)( 一 2)=0即 2 一 一2=0，
13、所求的微分方程为 y“一 y一 2y=0)解析：15.求微分方程 y“+2y一 3y=(2x+1)e x 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 2 +2 一 3=0，特征值为 1 =1， 2 =一 3，则 y“+2y一3y=0的通解为 y=C 1 e x +C 2 e -3x 令原方程的特解为 y 0 =x(ax+b)e x ，代入原方程得 所以原方程的通解为 )解析：16.求 y“一 2y一 e 2x =0满足初始条件 y(0)=1，y(0)=1 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原方程可化为 y“一 2y=e 2x ，特征方程为 2 一 2=0，特征值为
14、 1 =0， 2 =2，y“一 2y=0 的通解为 y=C 1 +C 2 e 2x 设 y“一 2y=e 2x 的特解为 y * =Axe 2x ，代入原方程得 A= 从而原方程的通解为 由 y(0)=1，y(0)=1 得 解得 故所求的特解为 )解析：17.求微分方程 y“+4y+4y=e ax 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 2 +4+4=0，特征值为 1 = 2 =一 2，原方程对应的齐次线性微分方程的通解为 y=(C 1 +C 2 x)e -2x (1)当 a一 2时，因为 a不是特征值，所以设原方程的特解为 y 0 (x)=Ae ax ，代入原方程得 则原
15、方程的通解为 (2)当 a=一 2时，因为 a=一 2为二重特征值，所以设原方程的特解为 y 0 (x)=Ax 2 e -2x ，代入原方程得 则原方程的通解为 y=(C 1 +C 2 x)e -2x + )解析：18.求微分方程 y“+y=x 2 +3+cosx的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 2 +1=0，特征值为 1 =一 i， 2 =i， 方程 y“+y=0的通解为y=C 1 cosx+C 2 sinx 对方程 y“+y=x 2 +3，特解为 y 1 =x 2 +1； 对方程 y“+y=cosx，特解为 xsinx，原方程的特解为 x 2 +1+ xsinx.
16、 则原方程的通解为 y=C 1 cosx+C 2 sinx+x 2 +1+ )解析：19.设单位质点在水平面内作直线运动，初速度 v| t=0 =v 0 已知阻力与速度成正比(比例系数为 1)，问t为多少时此质点的速度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 t时刻质点运动的速度为 v(t)，阻力 则有 解此微分方程得 v(t)=v 0 e -t 由 得 t=ln3，从开始到 t=ln3的时间内质点所经过的路程为 )解析：20.设 f(x)在0，+)上连续，且 f(0)0，设 f(x)在0，x上的平均值等于 f(0)与 f(x)的几何平均数，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(
17、正确答案：根据题意得 则有 两边求导得 即 则有 解得 )解析：21.设曲线 L位于 xOy平面的第一象限内，L 上任意一点 M处的切线与 y轴总相交，交点为 A，已知|MA|=|OA|，且 L经过点 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设点 M的坐标为(x，y)，则切线 MA：Yy=y(Xx) 令 X=0，则 Y=yxy，故 A点的坐标为(0，yxy) 由|MA|=|OA|，得 因为曲线经过点 所以 C=3，再由曲线经过第一象限得曲线方程为 )解析：22.在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点 P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ的长度的倒数(Q 为法线与 x轴的交点)，
18、且曲线在点(1，1)处的切线与 x轴平行（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设所求曲线为 y=y(x)，该曲线在点 P(x，y)的法线方程为 令 Y=0，得X=x+yy，该点到 x轴法线段 PQ的长度为 由题意得 即 yy“=1+y 2 令 y=p，则 则有 或者 两边积分得 由 y(1)=1，y(1)=0 得 C 1 =0，所以 变量分离得 两边积分得 由 y(1)=1得 )解析：23.一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比，比例系数为 k0，设融化过程中形状不变，设半径为r 0 的雪堆融化 3小时后体积为原来的 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 t时刻雪堆的半径为 r，则有 令 r=0得 t=6，即 6小时雪堆可以全部融化 )解析：24.设 f(x)在0，1上连续且满足 f(0)=1，f(x)一 f(x)=a(x一 1)y=f(x)，x=0，x=1，y=0 围成的平面区域绕 x轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x)一 f(x)=a(x一 1)得 由 f(0)=1得 C=1，故 f(x)=e x 一 ax 由 得 a=3，因为 )解析：
