1、考研数学三（线性代数）-试卷 1 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 是 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.A，B 都不可逆的充分必要条件是 AB 不可逆B.r(A)n，r(B)n 的充分必要条件是 r(AB)nC.AX=0 与 BX=0 同解的充分必要条件是 r(A)=r(B)D.AB 的充分必要条件是 EAE 一 B3.设 A 为 N 阶可逆矩阵， 为 A 的特征值，则 A * 的一个特征值为( )（分数：2.00）A
2、.B.C.AD.A n14.设三阶矩阵 A 的特征值为 1 =一 1， 2 =0， 3 =1，则下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A 不可逆B.矩阵 A 的迹为零C.特征值一 1，1 对应的特征向量正交D.方程组 AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量5.设 A 为三阶矩阵，方程组 AX=0 的基础解系为 1 ， 2 ，又 =一 2 为 A 的一个特征值，其对应的特征向量为 3 ，下列向量中是 A 的特征向量的是( )（分数：2.00）A. 1 + 3B.3 3 一 1C. 1 +2 2 +3 3D.2 1 一 3 2二、填空题(总题数：4，分数：8.00)6.设 A
3、是三阶矩阵，其三个特征值为 （分数：2.00）填空项 1:_7.设 A 为 n 阶可逆矩阵，若 A 有特征值 0 ，则(A * ) 2 +3A * +2E 有特征值 1（分数：2.00）填空项 1:_8.设 A 为三阶矩阵，A 的各行元素之和为 4，则 A 有特征值 1，对应的特征向量为 2（分数：2.00）填空项 1:_9.设 A 为三阶实对称矩阵，且 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：32.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_11.求矩阵 A= （分数：2.00）_12.设 A= （分数：2.00）_13.设 A= （
4、分数：2.00）_14.设 A= （分数：2.00）_15.设 A T A=E，证明：A 的实特征值的绝对值为 1（分数：2.00）_16.设 0 为 A 的特征值 (1)证明：A T 与 A 特征值相等； (2)求 A 2 ，A 2 +2A+3E 的特征值； (3)若A0，求 A 1 ，A * ，E 一 A 1 的特征值（分数：2.00）_17.设 X 1 ，X 2 分别为 A 的属于不同特征值 1 ， 2 的特征向量证明：X 1 +X 2 不是 A 的特征向量（分数：2.00）_18.，求 A 的全部特征值，并证明 A 可以对角化 （分数：2.00）_19.设向量 =(a 1 ，a 2 ，
5、a n ) T ，其中 a 1 0，A= T (1)求方程组 AX=0 的通解； (2)求 A 的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量（分数：2.00）_20.设 = （分数：2.00）_21.设 A 为三阶矩阵，A 的特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =3，其对应的线性无关的特征向量分别为 （分数：2.00）_22.设 A 是 n 阶矩阵， 是 A 的特征值，其对应的特征向量为 X，证明： 2 是 A 2 的特征值，X 为特征向量若 A 2 有特征值 ，其对应的特征向量为 X，X 是否一定为 A 的特征向量?说明理由（分数：2.00）_23.设 A，B 为 n 阶矩阵 (1)是否有 A
6、BBA；(2)若 A 有特征值 1，2，n，证明：ABBA（分数：2.00）_24.设 为 n 维非零列向量，A=E 一 （分数：2.00）_25.设矩阵 A= （分数：2.00）_考研数学三（线性代数）-试卷 1 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 是 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.A，B 都不可逆的充分必要条件是 AB 不可逆B.r(A)n，r(B)n 的充分必要条件是 r(AB)nC.AX=0 与 BX=0
7、同解的充分必要条件是 r(A)=r(B)D.AB 的充分必要条件是 EAE 一 B 解析：解析：若 AB，则存在可逆矩阵 P，使得 P 1 AP=B， 于是 P 1 (EA)P=EP 1 AP=E一 B，即 E 一 AE 一 B； 反之，若 E 一 AE 一 B，即存在可逆矩阵 P，使得 P 1 (E 一 A)P=E 一 B， 整理得 E 一 P 1 AP=EB，即 P 1 AP=B，即 AB，应选 D3.设 A 为 N 阶可逆矩阵， 为 A 的特征值，则 A * 的一个特征值为( )（分数：2.00）A.B. C.AD.A n1解析：解析：因为 A 可逆，所以 0，令 AX=X，则 A *
8、AX=A * X，从而有 A 1 X= 4.设三阶矩阵 A 的特征值为 1 =一 1， 2 =0， 3 =1，则下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A 不可逆B.矩阵 A 的迹为零C.特征值一 1，1 对应的特征向量正交 D.方程组 AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量解析：解析：由 1 =一 1， 2 =0， 3 =1 得A=0，则 r(A)3，即 A 不可逆，(A)正确；又 1 + 2 + 3 =tr(A)=0，所以(B)正确；因为 A 的三个特征值都为单值，所以 A 的非零特征值的个数与矩阵 A 的秩相等，即 r(A)=2，从而 AX=0 的基础解系仅含有一个线性
9、无关的解向量，(D)是正确的；(C)不对，因为只有实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，一般矩阵不一定有此性质，选 C5.设 A 为三阶矩阵，方程组 AX=0 的基础解系为 1 ， 2 ，又 =一 2 为 A 的一个特征值，其对应的特征向量为 3 ，下列向量中是 A 的特征向量的是( )（分数：2.00）A. 1 + 3B.3 3 一 1C. 1 +2 2 +3 3D.2 1 一 3 2 解析：解析：因为 AX=0 有非零解，所以 r(A)n，故 0 为矩阵 A 的特征值， 1 ， 2 为特征值 0 所对应的线性无关的特征向量，显然特征值 0 为二重特征值，若 1 + 3 为属于特征值 0
10、 的特征向量，则有 A( 1 + 3 )= 0 ( 1 + 3 )，注意到 A( 1 + 3 )=0 1 2 3 =一 2 3 ，故一 2 3 = 0 ( 1 + 3 )或 0 1 +( 0 +2) 3 =0， 因为 1 ， 3 线性无关，所以有 0 =0， 0 +2=0，矛盾，故 1 + 3 不是特征向量，同理可证 3 3 1 及 1 +2 2 +3 3 也不是特征向量，显然 2 1 一 3 2 为特征值 0 对应的特征向量，选 D二、填空题(总题数：4，分数：8.00)6.设 A 是三阶矩阵，其三个特征值为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：10）解析：解析：A= 7
11、.设 A 为 n 阶可逆矩阵，若 A 有特征值 0 ，则(A * ) 2 +3A * +2E 有特征值 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 A 可逆，所以 0 0，A * 对应的特征值为 ，于是(A * ) 2 +3A * +2E 对应的特征值为 8.设 A 为三阶矩阵，A 的各行元素之和为 4，则 A 有特征值 1，对应的特征向量为 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：因为 A 的各行元素之和为 4，所以9.设 A 为三阶实对称矩阵，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：因
12、为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以有 6+3a+36a=0，a=3三、解答题(总题数：16，分数：32.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：11.求矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由EA=(1) 2 (4)=0 得 1 = 2 =1， 3 =4 当 =1 时，由(E 一 A)X=得属于特征值 =1 的线性无关的特征向量为 ，全部特征向量为 k 1 1 +k 2 2 (k 1 ，k 2 不同时为 0)； 当 =4 时，由(4E 一 A)X=0 得属于特征值 =4 的线性无关的特征向量为 3 = )解析：12.设 A
13、= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：13.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由E 一 A= )解析：14.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.设 A T A=E，证明：A 的实特征值的绝对值为 1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 AX=E，则 X T A T =X T ，从而有 X T A T AX=X T AX= 2 X T X，因为A T A=E，所以( 2 一 1)X T X=0，而 X T X=X 2 0，所以 2 =1，于是=1)解析：16.设 0 为 A 的特征值 (1)证明：A T 与 A 特征值相
14、等； (2)求 A 2 ，A 2 +2A+3E 的特征值； (3)若A0，求 A 1 ，A * ，E 一 A 1 的特征值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为EA T =(EA) T = T EA，所以 A T 与 A 的特征值相等 (2)因为 A= 0 (a0)， 所以 A 2 = 0 A= 0 2 ，(A 2 +2A+3E)=( 0 2 +2 0 +3)， 于是 A 2 ，A 2 +2A+3E 的特征值分别为 0 2 ， 0 2 +2 0 +3 (3) )解析：17.设 X 1 ，X 2 分别为 A 的属于不同特征值 1 ， 2 的特征向量证明：X 1 +X 2 不是 A
15、的特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：反证法 不妨设 X 1 +X 2 是 A 的属于特征值 的特征向量，则有 A(X 1 +X 2 )=(X 1 +X 2 )， 因为 AX 1 = 1 X 1 ，AX 2 = 2 X 2 ，所以( 1 )X 1 +( 2 一 )X 2 =0， 而 X 1 ，X 2 线性无关，于是 1 = 2 =，矛盾，故 X 1 +X 2 不是 A 的特征向量)解析：18.，求 A 的全部特征值，并证明 A 可以对角化 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 T =k，则 A 2 =kA， 设 AX=X，则 A 2 X= 2 X=kX，即 a(ak)X=
16、0， 因为 X0，所以矩阵 A 的特征值为 =0 或 =k 由 1 + n =tr(A)且 tr(A)=k 得 1 = n1 =0， n =k 因为 r(A)=1，所以方程组(OEA)X=0 的基础解系含有 n 一 1 个线性无关的解向量， 即=0 有 n 一 1 个线性无关的特征向量，故 A 可以对角化)解析：19.设向量 =(a 1 ，a 2 ，a n ) T ，其中 a 1 0，A= T (1)求方程组 AX=0 的通解； (2)求 A 的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 r(A)=1，所以 AX=0 的基础解系含有 n 一 1
17、个线性无关的特征向量，其基础解系为 则方程组 AX=0 的通解为 k 1 1 +k 2 2 +k n1 n1 (k 1 ，k 2 ，k n1 为任意常数) (2)因为 A 2 =kA，其中 k=(，)= )解析：20.设 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A n =( T )( T )= )解析：21.设 A 为三阶矩阵，A 的特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =3，其对应的线性无关的特征向量分别为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.设 A 是 n 阶矩阵， 是 A 的特征值，其对应的特征向量为 X，证明： 2 是 A 2 的特征值，X 为特征向量若
18、 A 2 有特征值 ，其对应的特征向量为 X，X 是否一定为 A 的特征向量?说明理由（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AX=X 得 A 2 X=A(AX)=A(AX)=AX= 2 X 可知 2 是 A 2 的特征值，X 为特征向量若 A 2 X=X，其中 A= ，显然 A 2 X=0X，但 AX= )解析：23.设 A，B 为 n 阶矩阵 (1)是否有 ABBA；(2)若 A 有特征值 1，2，n，证明：ABBA（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)一般情况下，AB 与 BA 不等价，如 )解析：24.设 为 n 维非零列向量，A=E 一 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 A 2 = 所以 A 可逆且 A 1 =A (2)因为 A= )解析：25.设矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 3 为 A 的特征值，所以3EA=0，解得 y=2 (2)(AP) T (AP)=P 2 A 2 AP=P 2 A 2 P， )解析：
