1、考研数学三（线性代数）-试卷 36 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设矩阵 A= （分数：2.00）A.6B.6C.D.3.设 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，且（A+B） 2 =E，则（E+BA 1 ） 1 =（ ）（分数：2.00）A.（A+B）BB.E+AB 1C.A（A+B）D.（A+B）A4.已知 （分数：2.00）A.3B.20C.1D.1 或 35.设 1 =（1，2，3，1） T ， 2 =（3，4，7，1） T ， 3 =（2，6
2、，a，6） T ， 4 =（0，1，3，a） T ，那么 a=8 是 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关的（ ）（分数：2.00）A.充分必要条件B.充分而非必要条件C.必要而非充分条件D.既不充分也非必要条件6.设向量组： 1 ， 2 ， r 可由向量组： 1 ， 2 ， s 线性表示，则（ ）（分数：2.00）A.当 rs 时，向量组必线性相关B.当 rs 时，向量组必线性相关C.当 rs 时，向量组必线性相关D.当 rs 时，向量组必线性相关7.非齐次线性方程组 Ax=b 中未知量的个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵的秩为 r，则（ ）（分数：2.00）A.r=m 时，方程组 Ax=
3、b 有解B.r=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解C.m=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解D.rn 时，方程组 Ax=b 有无穷多个解8.设 1 ， 2 ， 3 是四元非齐次线性方程组 Ax=b 的三个解向量，且 r（A）=3， 1 =（1，2，3，4） T ， 2 + 3 =（0，1，2，3） T ，c 表示任意常数，则线性方程组 Ax=b 的通解x=（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.9.设三阶矩阵 A 的特征值是 0，1，1，则下列选项中不正确的是（ ）（分数：2.00）A.矩阵 AE 是不可逆矩阵B.矩阵 A+E 和对角矩阵相似C.矩阵 A 属于 1 与1 的特征向量相互正交D
4、.方程组 Ax=0 的基础解系由一个向量构成10.n 阶矩阵 A 和 B 具有相同的特征值是 A 和 B 相似的（ ）（分数：2.00）A.充分必要条件B.必要而非充分条件C.充分而非必要条件D.既非充分也非必要条件11.下列矩阵中 A 与 B 合同的是（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：9，分数：18.00)12.设 A 为奇数阶矩阵，且 AA T =A T A=E。若|A|0，则|AE|= 1。（分数：2.00）填空项 1:_13.设 （分数：2.00）填空项 1:_14.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_15.已知 r（ 1 ， 2 ， s ）=r（ 1
5、， 2 ， s ，）=m，r（ 1 ， 2 ， s ，）=m+1，则 r（ 1 ， 2 ， s ，）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_16.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_17.已知齐次线性方程组 有通解 k 1 （2，1，0，1） T +k 2 （3，2，1，0） T ，则方程组 （分数：2.00）填空项 1:_18.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_19.设 =（1，一 1，a） T ，=（1，a，2） T ，A=E+ T ，且 =3 是矩阵 A 的特征值，则矩阵 A属于特征值 =3 的特征向量是 1。（分数：2.00）填空项 1:_20.二次型 f（x 1 ，x
6、 2 ，x 3 ）=（a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 ）（b 1 x 1 +b 2 x 2 +b 3 x 3 ）的矩阵为 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：22.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_22.设 （分数：2.00）_23.设 A 为 n 阶可逆矩阵，A+为 A 的伴随矩阵，证明：（A * ） T =（A T ） * 。（分数：2.00）_24.设向量组 1 =（a，0，10） T ， 2 =（2，1，5） T ， 3 =（一 1，1，4） T ，=（1，b，c） T ，试问：当 a，b，
7、c 满足什么条件时， （） 可由 a 1 ，a 2 ，a 3 线性表出，且表示唯一； （） 不可由 a 1 ，a 2 ，a 3 线性表出； （） 可由 a 1 ，a 2 ，a 3 线性表出，但表示不唯一，求出一般表达式。（分数：2.00）_25.设 n 元线性方程组 Ax=b，其中 （分数：2.00）_26.设四元齐次线性方程组（1）为 （分数：2.00）_27.设矩阵 A= （分数：2.00）_28.已知矩阵 A 与 B 相似，其中 A= （分数：2.00）_29.设 A= 且存在正交矩阵 Q 使得 Q T AQ 为对角矩阵。若 Q 的第一列为 （分数：2.00）_30.设二次型 f=x 1
8、 2 +x 2 2 +x 3 2 4x 1 x 2 4x 1 x 3 +2ax 2 x 3 经正交变换化为 3y 1 2 +3y 2 2 + by 3 2 ，求 a，b 的值及所用正交变换。（分数：2.00）_31.设二次型 f（x 1 ，x 2 ，x 3 ）=ax 1 2 +ax 2 2 +（a1）x 3 2 +2x 1 x 3 2x 2 x 3 。 （）求二次型 f 的矩阵的所有特征值； （）若二次型 f 的规范形为 y 1 2 +y 2 2 ，求 a 的值。（分数：2.00）_考研数学三（线性代数）-试卷 36 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，
9、分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设矩阵 A= （分数：2.00）A.6B.6C. D.解析：解析：化简矩阵方程，构造 B+E，用因式分解法，则有 A（B+E）+（B+E）=E，即（A+E）（B+E）=E， 两边取行列式，由行列式乘法公式得 |A+E|B+E|=1，3.设 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，且（A+B） 2 =E，则（E+BA 1 ） 1 =（ ）（分数：2.00）A.（A+B）BB.E+AB 1C.A（A+B） D.（A+B）A解析：解析：因为 （E+BA 1 ） 1 =（AA 1 +BA 1 ） 1 =
10、（A+B）A 1 1 =（A 1 ） 1 （A+B） 1 =A（A+B），所以应选 C。注意，由（A+B） 2 =E，即（A+B）（A+B）=E，按可逆矩阵的定义知（A+B） 1 =（A+B）。4.已知 （分数：2.00）A.3B.20C.1D.1 或 3 解析：解析：伴随矩阵秩的公式为 5.设 1 =（1，2，3，1） T ， 2 =（3，4，7，1） T ， 3 =（2，6，a，6） T ， 4 =（0，1，3，a） T ，那么 a=8 是 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关的（ ）（分数：2.00）A.充分必要条件B.充分而非必要条件 C.必要而非充分条件D.既不充分也非必要条件解析：
11、解析：n 个 n 维向量的线性相关性一般用行列式| 1 ， 2 ， n |是否为零判断。因为| 1 ， 2 ， 3 ， 4 |= 6.设向量组： 1 ， 2 ， r 可由向量组： 1 ， 2 ， s 线性表示，则（ ）（分数：2.00）A.当 rs 时，向量组必线性相关B.当 rs 时，向量组必线性相关C.当 rs 时，向量组必线性相关D.当 rs 时，向量组必线性相关 解析：解析：因为向量组可由向量组线性表示，故 r（）r（）s。又因为当 rs 时，必有r（）r，即向量组的秩小于其所含向量的个数，此时向量组必线性相关，所以应选 D。7.非齐次线性方程组 Ax=b 中未知量的个数为 n，方程个
12、数为 m，系数矩阵的秩为 r，则（ ）（分数：2.00）A.r=m 时，方程组 Ax=b 有解 B.r=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解C.m=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解D.rn 时，方程组 Ax=b 有无穷多个解解析：解析：对于选项 A，r（A）=r=m。由于 r（A|b）m=r， 且 r（A|b）minm，n+1=minr，n+1=r， 因此必有 r（A|b）=r，从而 r（A）=r（A|b），此时方程组有解，所以应选 A。 由 B、C、D 选项的条件均不能推得“两秩”相等。8.设 1 ， 2 ， 3 是四元非齐次线性方程组 Ax=b 的三个解向量，且 r（A）=3， 1 =（1
13、，2，3，4） T ， 2 + 3 =（0，1，2，3） T ，c 表示任意常数，则线性方程组 Ax=b 的通解x=（ ） （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：根据线性方程组解的结构性质，易知 2 1 （ 2 + 3 ）=（2，3，4，5） T 是 Ax=0的一个非零解，所以应选 C。9.设三阶矩阵 A 的特征值是 0，1，1，则下列选项中不正确的是（ ）（分数：2.00）A.矩阵 AE 是不可逆矩阵B.矩阵 A+E 和对角矩阵相似C.矩阵 A 属于 1 与1 的特征向量相互正交 D.方程组 Ax=0 的基础解系由一个向量构成解析：解析：因为矩阵 A 的特征值是 0，1，1，所以矩
14、阵 AE 的特征值是1，0，2。由于 =0 是矩阵 AE 的特征值，所以 AE 不可逆。 因为矩阵 A+E 的特征值是 1，2，0，矩阵 A+E 有三个不同的特征值，所以 A+E 可以相似对角化。（或由 AA10.n 阶矩阵 A 和 B 具有相同的特征值是 A 和 B 相似的（ ）（分数：2.00）A.充分必要条件B.必要而非充分条件 C.充分而非必要条件D.既非充分也非必要条件解析：解析：由 AB，即存在可逆矩阵 P，使 P 1 AP=B，故 |AEB|=|AEP 1 AP|=|P 1 （EA）P|=|P 1 |EA|P|=|EA|， 即 A 与 B 有相同的特征值。 但当 A，B 有相同特
15、征值时，A 与 B不一定相似。例如 11.下列矩阵中 A 与 B 合同的是（ ） （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：合同的定义：C T AC=B，矩阵 C 可逆。合同的必要条件是：r（A）=r（B）且行列式|A|与|B|同号。A 选项的矩阵秩不相等。B 选项中行列式正、负号不同，故排除。C 选项中矩阵 A 的特征值为1，2，0，而矩阵 B 的特征值为 1，3，0，所以二次型 x T Ax 与 x T Bx 有相同的正、负惯性指数，因此 A和 B 合同。而 D 选项中，A 的特征值为 1，2，B 的特征值为1，2，2，因此 x T Ax 与 X T Bx 正、负惯性指数不同，故不合
16、同。所以选 C。二、填空题(总题数：9，分数：18.00)12.设 A 为奇数阶矩阵，且 AA T =A T A=E。若|A|0，则|AE|= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：|AE|=|AAA T |=|A（EA T ）|=|A|EA T |=|A|EA|。由 AA T =A T A=E，可知|A| 2 =1，因为|A|0，所以|A|=1，即|AE|=|EA|。又 A 为奇数阶矩阵，所以|EA|=|（AE）|=一|AE|=|EA|，故|AE|=0。13.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 B+E=（E+A
17、） 1 （EA）+E =(E+A) -1 (EA)+(E+A) -1 (E+A) =(E+A) -1 (EA)+(E+A) =2（E+A） -1 ， 可得（E+B） 1 = 14.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：依矩阵乘法直接计算得 15.已知 r（ 1 ， 2 ， s ）=r（ 1 ， 2 ， s ，）=m，r（ 1 ， 2 ， s ，）=m+1，则 r（ 1 ， 2 ， s ，）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：m+1）解析：解析：已知 r（ 1 ， 2 ， s ）=r（ 1 ， 2 ， s ，）=m，表明向量
18、可以由向量组 1 ， 2 ， s 线性表示，但是 r（ 1 ， 2 ， s ，）=m+1，则表明向量“不能由向量组 1 ， 2 ， s 线性表示，因此通过对向量组 1 ， 2 ， s ， 作初等列变换，可得（ 1 ， 2 ， s ，）=（ 1 ， 2 ， s ，0，），因此可得 r（ 1 ， 2 ， s ，）=m+1。16.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：n 元线性方程组 Ax=b 有解的充分必要条件是 r（A）= ，而有无穷多解的充分必要条件是 r（A）= n，对增广矩阵作初等行变换，有17.已知齐次线性方程组 有通解 k 1 （2，1，0
19、，1） T +k 2 （3，2，1，0） T ，则方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k（13，3，1，5） T ，k 为任意常数）解析：解析：方程组（2）的通解一定会在方程组（1）的通解之中，且是方程组（1）的通解中满足（2）中第三个方程的解，将（1）的通解 18.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2 或*）解析：解析：|EA|= =（2） 2 2A2（a2） =0。 如果 =2 是二重根，则 =2是 2 22（a2）=0 的单根，故 a=2。 如果 2 22（a2）=0 是完全平方，则有=4+8（a2）=0，满足 =1 是一个二重
20、根，此时 a= 19.设 =（1，一 1，a） T ，=（1，a，2） T ，A=E+ T ，且 =3 是矩阵 A 的特征值，则矩阵 A属于特征值 =3 的特征向量是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k（1，1，1） T ，k0）解析：解析：令 B= T ，则矩阵 B 的秩是 1，且 =a+1，由此可知矩阵 B 的特征值为 a+1，0，0。那么 A=E+B 的特征值为 a+2，1，1。 因为 =3 是矩阵 A 的特征值，所以 a+2=3，即 a=1。于是 B=（ T ）=a（ T ）=2， 即 a=（1，1，1） T 是矩阵 B 属于特征值 =2 的特征向量，也是矩
21、阵 A属于特征值 =3 的特征向量。20.二次型 f（x 1 ，x 2 ，x 3 ）=（a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 ）（b 1 x 1 +b 2 x 2 +b 3 x 3 ）的矩阵为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：f（x 1 ，x 2 ，x 3 ）=（a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 ）（b 1 x 1 +b 2 x 2 +b 3 x 3 ） 所以原二次型矩阵为 三、解答题(总题数：11，分数：22.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：22.设 （分数：2.0
22、0）_正确答案：(正确答案：首先观察 下面用数学归纳法证明此结论成立： 当 n=2 时，结论显然成立；假设 n=k 时成立，则 n=k+1 时， A k+1 =A k A= k2 )解析：23.设 A 为 n 阶可逆矩阵，A+为 A 的伴随矩阵，证明：（A * ） T =（A T ） * 。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 可逆，所以|A|=|A 1 |，且 AA 1 =E。 在 AA 1 =E 两边同时取转置可得（A 1 ） T A T =E，即（A T ） 1 =（A 1 ） T ，所以 （A * ） T =（|A|A 1 ） T =|A|（A 1 ）T=|A T |（A
23、 T ） 1 =（A T ） * 。)解析：24.设向量组 1 =（a，0，10） T ， 2 =（2，1，5） T ， 3 =（一 1，1，4） T ，=（1，b，c） T ，试问：当 a，b，c 满足什么条件时， （） 可由 a 1 ，a 2 ，a 3 线性表出，且表示唯一； （） 不可由 a 1 ，a 2 ，a 3 线性表出； （） 可由 a 1 ，a 2 ，a 3 线性表出，但表示不唯一，求出一般表达式。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：考虑线性方程组 k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 =， （1） 记其系数矩阵A=（ 1 ， 2 ， 3 ）。对该线性方程组的增广矩阵作初
24、等行变换，即 （）当 a10 时，r（A）=r（A，）=3，此时方程组（1）有唯一解， 可由 1 ， 2 ， 3 唯一地线性表出。 （）当 a=10，且 c3b1 时， 可知 r（A）r（A，），此时方程组（1）无解， 不可由 1 ， 2 ， 3 线性表出。 （）当 n=10，且 c=3b1 时， 可知 r（A）=r（A，）=2，此时方程组（1）有无穷多解，其全部解为 k 1 = k 2 =l，k 3 =bl，其中 l 为任意常数。 可由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出，但表示不唯一，其一般表达式为 )解析：25.设 n 元线性方程组 Ax=b，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确
25、答案：由数学归纳法得到方程组系数矩阵的行列式|A|=D n =（n+1）a n 。 （）当a0 时，D n 0，方程组有唯一解。将 A 的第一列换成 b，得行列式为 )解析：26.设四元齐次线性方程组（1）为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）对方程组（1）的系数矩阵作初等行变换，有 则 nr（A）=42=2，基础解系由两个线性无关的解向量构成。取 x 3 ，x 4 为自由变量，得 1 =（5，3，1，0） T ， 2 =（3，2，0，1） T 是方程组（1）的基础解系。 （）设 是方程组（1）与（2）的非零公共解，则 =k 1 1 +k 2 2 =l 1 1 +l 2 2 ，其中
26、 k 1 ，k 2 与 l 1 ，l 2 均是不全为 0 的常数。 由 k 1 1 +k 2 2 l 1 1 l 2 2 =0，得齐次方程组 对方程组（3）的系数矩阵作初等行变换，有 当 a1 时，方程组（3）的系数矩阵变为 可知方程组（3）只有零解，即 k 1 =k 2 =l 1 =l 2 =0，于是 =0，不合题意。 当 a=1 时，方程组（3）系数矩阵变为 )解析：27.设矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：AA * =|A|E=E。对于 A * = 0 ，用 A 左乘等式两端，得 （1）一（3）得 0 =1。将 0 =1 代入（2）和（1），得 b=3，a=c。 由|
27、A|=1 和 a=c，有 )解析：28.已知矩阵 A 与 B 相似，其中 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AB，得 解得 a=7，b=2。 由矩阵 A 的特征多项式|EA|= = 2 45，得 A 的特征值是 1 =5， 2 =1。它们也是矩阵 B 的特征值。 分别解齐次线性方程组（5EA）x=0，（EA）x=0，可得到矩阵 A 的属于 1 =5， 2 =1 的特征向量依次为 1 =（1，1） T ， 2 =（2，1） T 。 分别解齐次线性方程组（5EB）x=0，（EB）x=0，可得到矩阵 B 的属于 1 =5 2 =1 的特征向量分别是 1 =（7，1） T ， 2 =
28、（1，1） T 。 令 P 1 = ，则有 P 1 1 AP 1 = =P 2 1 P 2 。 取 P=P 1 P 2 1 = )解析：29.设 A= 且存在正交矩阵 Q 使得 Q T AQ 为对角矩阵。若 Q 的第一列为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：按已知条件，（1，2，1） T 是矩阵 A 的特征向量，设特征值是 1 ，那么 知矩阵 A 的特征值是 2，5，4。 对 =5，由（5EA）x=0 得基础解系 2 =（1，1，1） T 。 对 =4，由（4EA）x=0 得基础解系 2 =（1，0，1） T 。 因为 A 是实对称矩阵，对应于不同特征值的特征向量相互正交，故只需单位化
29、 2 ， 3 ，即 )解析：30.设二次型 f=x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 4x 1 x 2 4x 1 x 3 +2ax 2 x 3 经正交变换化为 3y 1 2 +3y 2 2 + by 3 2 ，求 a，b 的值及所用正交变换。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型及其标准形的矩阵分别是 由于是用正交变换化为标准形，故 A 与 B不仅合同而且相似。由 1+1 +1=3+3+b 得 b=3。 对 =3，则有 |3EA|= =2（a +2） 2 =0，因此 a=2（二重根）。 由（3EA）x=0，得特征向量 1 =（1，1，0） T ， 2 =（1，0，1） T 。 由（3EA）x=0，得特征向量 3 =（1，1，1） T 。 因为 =3 是二重特征值，对 1 ， 2 正交化有 1 = 1 =（1，1，0） T ， 2 = 2 （1，1，2） T 单位化有 )解析：31.设二次型 f（x 1 ，x 2 ，x 3 ）=ax 1 2 +ax 2 2 +（a1）x 3 2 +2x 1 x 3 2x 2 x 3 。 （）求二次型 f 的矩阵的所有特征值； （）若二次型 f 的规范形为 y 1 2 +y 2 2 ，求 a 的值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）二次型的矩阵为 )解析：
