1、考研数学三（线性代数）-试卷 3 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 1 ， 2 是 n 阶矩阵 A 的特征值， 1 ， 2 分别是 A 的对应于 1 ， 2 的特征向量，则 ( )（分数：2.00）A.当 1 = 2 时， 1 ， 2 对应分量必成比例B.当 1 = 2 时， 1 ， 2 对应分量不成比例C.当 1 2 时， 1 ， 2 对应分量必成比例D.当 1 2 时， 1 ， 2 对应分量必不成比例3.已知 1 =1，1，a，4 T ，
2、2 =2，1，5，a T ， 3 =a，2，10，1 T 是 4 阶方阵 A 的3 个不同特征值对应的特征向量，则 a 的取值为 ( )（分数：2.00）A.a5B.a4C.a3D.a3 且 a44.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则 ( )（分数：2.00）A.EA=EBB.A 与 B 有相同的特征值和特征向量C.A 与 B 都相似于一个对角矩阵D.对任意常数 t，tEA 与 tEB 相似5.设 A 为 n 阶矩阵，下列命题正确的是 ( )（分数：2.00）A.若 为 A T 的特征向量，那么 为 A 的特征向量B.若 为 A * 的特征向量，那么
3、为 A 的特征向量C.若 为 A 2 的特征向量，那么 为 A 的特征向量D.若 为 2A 的特征向量，那么 为 A 的特征向量6.已知 3 阶矩阵 A 有特征值 1 =1， 2 =2， 3 =3，则 2A * 的特征值是 ( )（分数：2.00）A.1，2，3B.4，6，12C.2，4，6D.8，16，247.已知 A 是 3 阶矩阵，r(A)=1，则 =0 ( )（分数：2.00）A.必是 A 的二重特征值B.至少是 A 的二重特征值C.至多是 A 的二重特征值D.一重、二重、三重特征值都可能8.已知 1 ， 2 是方程(EA)X=0 的两个不同的解向量，则下列向量中必是 A 的对应于特征
4、值 的特征向量的是 ( )（分数：2.00）A. 1B. 2C. 1 2D. 1 + 29.设 （分数：2.00）A. 1 =1，2，1 TB. 2 =1，2，1 TC. 3 =2，1，2 TD. 4 =2，1，2 T10.下列矩阵中能相似于对角阵的矩阵是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)11.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_12.已知2 是 A= （分数：2.00）填空项 1:_13.设 n 阶矩阵 A 的元素全是 1，则 A 的 n 个特征值是 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 A 是 3 阶矩阵，已知A+E=0，A+
5、2E=0，A+3E=0，则A+4E= 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设 A 是 3 阶矩阵，A=3且满足A 2 +2A=0，2A 2 +A=0，则 A * 的特征值是 1（分数：2.00）填空项 1:_16.设 A 是 n 阶实对称阵， 1 ， 2 ， n 是 A 的 n 个互不相同的特征值， 1 是 A 的对应于 1 的一个单位特征向量，则矩阵 B=A 1 1 1 T 的特征值是 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：32.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_18.A 是三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是三个不同
6、的特征值， 1 ， 2 ， 3 是相应的特征向量证明：向量组 A( 1 + 2 )，A( 2 + 3 )，A( 3 + 1 )线性无关的充要条件是 A 是可逆矩阵（分数：2.00）_19.设 A 是三阶实矩阵， 1 ， 2 ， 3 是 A 的三个不同的特征值， 1 ， 2 ， 3 是三个对应的特征向量证明：当 2 3 0 时，向量组 1 ，A( 1 + 2 )，A 2 ( 1 + 2 + 3 )线性无关（分数：2.00）_20.设 A 是 n 阶实矩阵，有 A=，A T =，其中 ， 是实数，且 ， 是 n 维非零向量证明：， 正交（分数：2.00）_21.设矩阵 A= （分数：2.00）_2
7、2.已知 A= （分数：2.00）_23.已知 =1，k，1 T 是 A 1 的特征向量，其中 A= （分数：2.00）_24.设矩阵 A= （分数：2.00）_25.已知 =1，1，1 T 是矩阵 A= （分数：2.00）_26.设矩阵 A= （分数：2.00）_27.设 A 是三阶实对称阵， 1 =1， 2 = 3 =1 是 A 的特征值，对应于 1 的特征向量为 1 =0，1，1 T ，求 A（分数：2.00）_28.设 A 是 n 阶方阵，2，4，2n 是 A 的 n 个特征值，E 是 n 阶单位阵计算行列式A3E的值（分数：2.00）_29.设矩阵 （分数：2.00）_30.设 A
8、为 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是 A 的三个不同特征值，对应的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令 = 1 + 2 + 3 (1)证明：，A，A 2 线性无关； (2)若 A 3 =A，求秩 r(AE)及行列式A+2E（分数：2.00）_31.设 A= （分数：2.00）_32.证明：AB，其中 （分数：2.00）_考研数学三（线性代数）-试卷 3 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 1 ， 2 是 n 阶矩阵 A 的特征值， 1 ，
9、 2 分别是 A 的对应于 1 ， 2 的特征向量，则 ( )（分数：2.00）A.当 1 = 2 时， 1 ， 2 对应分量必成比例B.当 1 = 2 时， 1 ， 2 对应分量不成比例C.当 1 2 时， 1 ， 2 对应分量必成比例D.当 1 2 时， 1 ， 2 对应分量必不成比例 解析：解析：当 1 = 2 时， 1 与 2 可以线性相关也可以线性无关，所以 1 ， 2 可以对应分量成比例，也可以对应分量不成比例，故排除(A)，(B)当 1 2 时， 1 ， 2 一定线性无关，对应分量一定不成比例，故选(D)3.已知 1 =1，1，a，4 T ， 2 =2，1，5，a T ， 3 =
10、a，2，10，1 T 是 4 阶方阵 A 的3 个不同特征值对应的特征向量，则 a 的取值为 ( )（分数：2.00）A.a5 B.a4C.a3D.a3 且 a4解析：解析： 1 ， 2 ， 3 是三个不同特征值的特征向量，必线性无关，由 4.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则 ( )（分数：2.00）A.EA=EBB.A 与 B 有相同的特征值和特征向量C.A 与 B 都相似于一个对角矩阵D.对任意常数 t，tEA 与 tEB 相似 解析：解析：A 与 B 相似，存在可逆矩阵 P，使得 P 1 AP=B，则 tEB=tEP 1 AP=P 1 (tE)
11、PP 1 AP=P 1 (tEA)P， 即 tEA 与 tEB 相似，选(D)对于(A)：由 EA=EB，有 A=B；对于(B)：A 与 B 相似，则 A 与 B 有相同的特征值，但特征向量不一定相同；对于(C)：A 与 B 不一定能够相似对角化5.设 A 为 n 阶矩阵，下列命题正确的是 ( )（分数：2.00）A.若 为 A T 的特征向量，那么 为 A 的特征向量B.若 为 A * 的特征向量，那么 为 A 的特征向量C.若 为 A 2 的特征向量，那么 为 A 的特征向量D.若 为 2A 的特征向量，那么 为 A 的特征向量 解析：解析：矩阵 A T 与 A 的特征值相同，但特征向量不
12、一定相同，故(A)错误 假设 为 A 的特征向量， 为其特征值，当 0 时 也为 A * 的特征向量这是由于 A=A * A=A * =A * = 1 A 但反之， 为 A * 的特征向量，那么 不一定为 A 的特征向量例如：当 r(A)n1 时，A * =O，此时，任意 n 维非零列向量都是 A * 的特征向量，故 A * 的特征向量不一定是 A 的特征向量可知(B)错误 假设 为 A 的特征向量， 为其特征值，则 为 A 2 的特征向量这是由于 A 2 =A(A)=A= 2 但反之，若 为 A 2 的特征向量， 不一定为 A 的特征向量例如：假设 A 1 = 1 ，A 2 = 2 ，其中
13、1 ， 2 0此时有 A 2 ( 1 + 2 )=A 2 1 +A 2 2 = 1 + 2 ，可知 1 + 2 为 A 2 的特征向量但 1 ， 2 是矩阵 A 两个不同特征值的特征向量，它们的和 1 + 2 不是 A 的特征向量故(C)错误 若 为 2A 的特征向量，则存在实数 使得 2A=，此时有 A= 6.已知 3 阶矩阵 A 有特征值 1 =1， 2 =2， 3 =3，则 2A * 的特征值是 ( )（分数：2.00）A.1，2，3B.4，6，12 C.2，4，6D.8，16，24解析：解析：BA * 的特征值是 2 7.已知 A 是 3 阶矩阵，r(A)=1，则 =0 ( )（分数：
14、2.00）A.必是 A 的二重特征值B.至少是 A 的二重特征值 C.至多是 A 的二重特征值D.一重、二重、三重特征值都可能解析：解析：A 是三阶矩阵，r(A)=1，r(OEA)=1 (OEA)X=0 有两个线性无关特征向量，故 =0 至少是二重特征值，也可能是三重，例如：A=8.已知 1 ， 2 是方程(EA)X=0 的两个不同的解向量，则下列向量中必是 A 的对应于特征值 的特征向量的是 ( )（分数：2.00）A. 1B. 2C. 1 2 D. 1 + 2解析：解析：因 1 2 ，故 1 2 0，且仍有关系 A( 1 2 )= 1 2 =( 1 2 )， 故 1 2 是 A 的特征向量
15、 而(A) 1 ，(B) 2 ，(D) 1 + 2 均有可能是零向量而不能成为 A 的特征向量9.设 （分数：2.00）A. 1 =1，2，1 TB. 2 =1，2，1 T C. 3 =2，1，2 TD. 4 =2，1，2 T解析：解析：因 A 2 = 10.下列矩阵中能相似于对角阵的矩阵是 ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：四个选项的矩阵，特征值均为 1，1，2，能相似于对角阵的矩阵，要求对应二重特征值 1 = 2 =1，有两个线性无关特征向量对(C)而言，因 r(EC)=r 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)11.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （
16、正确答案：正确答案：k1，1，0 T ，k 为任意常数）解析：解析：由于 A 为 43 矩阵，AB=O，且 BO，我们得知 r(A)3，对 A 作变换 12.已知2 是 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：由EA=2AE=0，可求得 x=413.设 n 阶矩阵 A 的元素全是 1，则 A 的 n 个特征值是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0(n1 重根)，n(单根)）解析：解析：14.设 A 是 3 阶矩阵，已知A+E=0，A+2E=0，A+3E=0，则A+4E= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：6
17、）解析：解析：由A+E=A+2E=A+3E=0，知 A 有特征值 =1，2，3，A+4E 有特征值=3，2，1，故A+4E=615.设 A 是 3 阶矩阵，A=3且满足A 2 +2A=0，2A 2 +A=0，则 A * 的特征值是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 1 = ）解析：解析：AA+2E=0，因A=3，则A+2E=0，故 A 有特征值 1 =2 又 因A=3= 1 2 3 ，故 3 =3 A=，A * A=A * ，A * = ， 故A * 有特征值 1 = 16.设 A 是 n 阶实对称阵， 1 ， 2 ， n 是 A 的 n 个互不相同的特征值， 1 是
18、 A 的对应于 1 的一个单位特征向量，则矩阵 B=A 1 1 1 T 的特征值是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0， 2 ， 3 ， n）解析：解析：因 A 是实对称阵， 1 ， 2 ， n 互不相同，对应的特征向量 1 ， 2 ， n 相互正交，故 B i =(A 1 1 1 T ) i = 三、解答题(总题数：16，分数：32.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.A 是三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是三个不同的特征值， 1 ， 2 ， 3 是相应的特征向量证明：向量组 A( 1 + 2 )，A( 2 +
19、3 )，A( 3 + 1 )线性无关的充要条件是 A 是可逆矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A( 1 + 2 )，A( 2 + 3 )，A( 3 + 1 )线性无关 1 1 + 2 2 ， 2 2 + 3 3 ， 3 3 + 1 1 线性无关 1 1 + 2 2 ， 2 2 + 3 3 ， 3 3 + 1 1 = 1 ， 2 ， 3 秩为 3 因为 1 ， 2 ， 3 线性无关， )解析：19.设 A 是三阶实矩阵， 1 ， 2 ， 3 是 A 的三个不同的特征值， 1 ， 2 ， 3 是三个对应的特征向量证明：当 2 3 0 时，向量组 1 ，A( 1 + 2 )，A 2 (
20、1 + 2 + 3 )线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 1 ，A( 1 + 2 )，A 2 ( 1 + 2 + 3 )= 1 ， 1 1 + 2 2 + 1 2 1 + 2 2 2 + 3 2 3 = 1 ， 2 ， 3 因 1 2 3 ，故 1 ， 2 ， 3 线性无关，由上式知 1 ，A( 1 + 2 )，A 2 ( 1 + 2 + 3 )线性无关 )解析：20.设 A 是 n 阶实矩阵，有 A=，A T =，其中 ， 是实数，且 ， 是 n 维非零向量证明：， 正交（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A=，两边转置得 T A T = T ， 两边右乘 ，得 T
21、A T = T ， T = T ， () T =0， 故 T =0， 相互正交)解析：21.设矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =1 是二重特征值，为使 A 相似于对角阵，要求 r(EA)=r(EA)=1， r(EA)=1=k=0， 故 k=0 时，存在可逆阵 P，使得 P 1 AP=A k=0 时， 故 k=0 时，存在可逆阵 使得 )解析：22.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =(a)(1a)(1+a)=0， 得 1 =1a， 2 =a， 3 =1+a a 且 a0 时， 1 2 3 ，AA； a=0 时， 1 = 3 =1，r(EA)=r )
22、解析：23.已知 =1，k，1 T 是 A 1 的特征向量，其中 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设 A 1 =，A 是 A 1 的对应于 的特征值，两边左乘 A，得=A，A 1 可逆，0，A= ，即 对应分量相等，得 3+k=， 2+2k=k， 3+k=， 得 2+2k=k(3+k)，k 2 +k2=0，得 k=1 或 k=2 当 k=1 时，=1，1，1 T ，=4，= ； 当 k=2 时，=1，2，1 T ，=1，= )解析：24.设矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 有三个线性无关的特征向量，=2 是二重特征值，故特征矩阵 2EA 的秩应为1
23、r(2EA)=r =1 解得 x=2，y=2，故 A= 因 trA=10= =4+ 3 ，故 3 =6 =2 时， (2EA)X= =0 解得 =6 时， (6EA)X= =0， 解得 令 P= 1 ， 2 ， 3 = ，则 P 1 AP= )解析：25.已知 =1，1，1 T 是矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 A 的特征向量考所对应的特征值为 ，则有 A=，即 解得=1，a=3，b=0 (2)当 a=3，b=0 时，由 EA= =(+1) 3 =0 知 =1 是 A 的三重特征值，但 r(EA)= )解析：26.设矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正
24、确答案：A * = 0 ，左乘 A，得 AA * =A= 0 A即 由此得 0 (a+1+c)=1， 0 (5b+3)=1， 0 (c1a)=1， 由式，解得 0 =1，代入式，得 b=3，a=c 由A=1，a=c，有 )解析：27.设 A 是三阶实对称阵， 1 =1， 2 = 3 =1 是 A 的特征值，对应于 1 的特征向量为 1 =0，1，1 T ，求 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 2 = 3 =1 有两个线性无关特征向量 2 ， 3 ，它们都与 1 正交，故可取 2 =1，0，0 T ， 3 =0，1，1 T ，且取正交矩阵 T= 则 A=TAT 1 =TAT T =
25、)解析：28.设 A 是 n 阶方阵，2，4，2n 是 A 的 n 个特征值，E 是 n 阶单位阵计算行列式A3E的值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 为 A 的特征值，则 3 为 A3E 的特征值所以 A3E 的特征值为1，1，3，2n3，故A3E=(1)13(2n3)=(2n3)！)解析：29.设矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)AE=(1)(+1) 2 (2+y)+(2y1)=0 y=2 (2)A为对称矩阵，要使(AP) T (AP)=P T A 2 P 为对角矩阵，即将实对称矩阵 A 2 对角化 由(1)得 A 的特征值 1 =1， 2，3 =1， 4
26、=3，故 A 2 的特征值 1，2，3 =1， 4 =9且 A 2 = A 2 的属于特征值 1，2，3 =1 的正交单位化的特征向量为 A 2 的属于特征值 4 =9 的正交单位化的特征向量为 P 4 = 令 P=p 1 ，p 2 ，p 3 ，p 4 = ， 则(AP) T (AP)= )解析：30.设 A 为 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是 A 的三个不同特征值，对应的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令 = 1 + 2 + 3 (1)证明：，A，A 2 线性无关； (2)若 A 3 =A，求秩 r(AE)及行列式A+2E（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 k 1 +
27、k 2 A+k 3 A 2 =0， 由题设 A i = i i (i=1，2，3)，于是 A=A 1 +A 2 +A 3 = 1 1 + 2 2 + 3 3 ， A 2 = 1 2 1 + 2 2 2 + 3 2 3 ， 代入式整理得 (k 1 +k 2 1 +k 3 1 2 ) 1 +(k 1 +k 2 2 +k 3 2 2 ) 2 +(k 1 +k 2 3 +k 3 3 2 ) 3 =0 因为 1 ， 2 ， 3 是三个不同特征值对应的特征向量，必线性无关，于是有 其系数行列式 0，必有 k 1 =k 2 =k 3 =0，故 ，A，A 2 线性无关 (2)由 A 3 =A 有 A，A，A
28、2 =A，A 2 ，A 3 =A，A 2 ，A=，A，A 2 令 P=，A，A 2 ，则 P 可逆，且 P 1 AP= =B， 从而有 r(AE)=r(BE)= =2 A+2E=B+2E= )解析：31.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：EA= =(9) 2 =0= 1 =0， 2 = 3 =9 1 =0=(0EA)X=0= 1 =1，2，2 T ； 2 = 3 =9=(9EA)X=0= 2 =2，2，1 T ， 3 =2，1，2 T 单位化 Q= 为正交矩阵 因此 )解析：32.证明：AB，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 知，A 的全部特征值是 1，2，n，互不相同，故 A 相似于由其特征值组成的对角阵 B 由于 1 =1 时，( 1 EA)X=0，有特征向量 1 =1，0，0 T ； 2 =2 时，( 2 EA)X=0，有特征向量 2 =0，1，0 T ； n =n 时，( n EA)X=0，有特征向量 n =0，0，1 T 故有 A n =n n ，A n1 =(n1) n1 ，A 1 = 1 ， 即 A n ， n1 ， 1 =n n ，(n1) n1 ， 1 = n ， n1 ， 1 故得可逆阵 P= n ， n1 ， 1 = )解析：
