1、考研数学三（线性代数）-试卷 41 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 和 B 都是 n 阶矩阵，则必有（ ）（分数：2.00）A.|A+B|=|A|+|B|B.AB=BAC.|AB|=|BA|D.（A+B） 1 =A 1 +B 13.设 A 是三阶矩阵，其中 a 11 0，A ij =a ij （i=1，2，3，j=1，2，3），则|2A T |=（ ）（分数：2.00）A.0B.2C.4D.84.设 A 为 mn 矩阵，B 为 nm 矩阵
2、，若 AB=E，则（ ）（分数：2.00）A.r（A）=m，r（B）=mB.r（A）=m，r（B）=nC.r（A）=n，r（B）=mD.r（A）=n，r（B）=n5.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）（分数：2.00）A. 1 2 ， 2 3 ， 3 1B. 1 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1C. 1 + 2 ，3 1 5 2 ，5 1 +9 2D. 1 + 2 ，2 1 +3 2 +4 3 ， 1 2 2 36.设 A，B 为 n 阶方阵，P，Q 为 n 阶可逆矩阵，下列命题不正确的是（ ）（分数：2.00）A.若 B=AQ，则 A 的列向量组与 B
3、 的列向量组等价B.若 B=PA，则 A 的行向量组与 B 的行向量组等价C.若 B=PAQ，则 A 的行（列）向量组与 B 的行（列）向量组等价D.若 A 的行（列）向量组与矩阵 B 的行（列）向量组等价，则矩阵 A 与 B 等价7.已知 1 ， 2 ， 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个不同的解，那么向量 1 一 2 ， 1 + 2 一 2 3 ， （分数：2.00）A.4B.3C.2D.18.已知 1 ， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解， 1 ， 2 是对应的齐次线性方程组Ax=0 的基础解系，k 1 ，k 2 为任意常数，则方程组 Ax=b 的通解是（ ） （分
4、数：2.00）A.B.C.D.9.设 =2 是非奇异矩阵 A 的一个特征值，则矩阵 有特征值（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.10.下列选项中矩阵 A 和 B 相似的是（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.11.设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，若 A 与 B 合同，则（ ）（分数：2.00）A.A 与 B 有相同的秩B.A 与 B 有相同的特征值C.A 与 B 有相同的特征向量D.A 与 B 有相同的行列式二、填空题(总题数：8，分数：16.00)12.已知三阶行列式 （分数：2.00）填空项 1:_13.已知 A 为三阶方阵，A 2 A2E=D，且 0|A|5，则|A+2E|
5、= 1。（分数：2.00）填空项 1:_14.设 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 A 是 43 矩阵，且 A 的秩 r（A）=2，而 （分数：2.00）填空项 1:_16.设 A 是一个五阶矩阵，A * 是 A 的伴随矩阵，若 1 ， 2 是齐次线性方程组 Ax=0 的两个线性无关的解，则 r（A * ）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_17.设 A 为二阶矩阵， 1 ， 2 为线性无关的二维列向量，A 1 =0，A 2 =2 1 + 2 ，则 A 的非零特征值为 1。（分数：2.00）填空项 1:_18.设 =（1，1，a） T 是 A= （分数：2.00）填空项 1:_19
6、.二次型 f（x 1 ，x 2 ，x 3 ）=x T Ax=2x 2 2 + 2x 3 2 + 4x 1 x 2 +8x 2 x 3 4x 1 x 3 的规范形是 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：26.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_21.已知 （分数：2.00）_22.设 A=（ 1 ， 2 ， 3 ）为三阶矩阵，且|A|=1。已知 B=（ 2 ， 1 ，2 3 ），求 B * A。（分数：2.00）_23.设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数 k，使线性方程组 A k x=0 有解向量 ，且 A k1 0。证
7、明：向量组 ，A，A k1 是线性无关的。（分数：2.00）_24.设向量组 a 1 ，a 2 线性无关，向量组 a 1 +b，a 2 +b 线性相关，证明：向量 b 能由向量组 a 1 ，a 2 线性表示。（分数：2.00）_25.已知方程组 有解，证明：方程组 （分数：2.00）_26.已知三阶矩阵 A 的第一行是（a，b，c），a，b，c 不全为零，矩阵 B= （分数：2.00）_27.已知齐次线性方程组 （分数：2.00）_28.设 A 为正交矩阵，且|A|=1，证明：=1 是 A 的特征值。（分数：2.00）_29.设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1 =1， 2 = 3 =1，对应
8、于 1 的特征向量为 1 =（0，1，1） T ，求 A。（分数：2.00）_30.设三阶矩阵 A 的特征值 1 =1， 2 =2， 3 =3 对应的特征向量依次为 1 =（1，1，1） T ， 2 =（1，2，4） T ， 3 =（1，3，9） T 。 （）将向量 =（1，1，3） T 用 1 ， 2 ， 3 线性表示； （）求 A T 。（分数：2.00）_31.已知三元二次型 f=x T Ax 的秩为 2，且 （分数：2.00）_32.设 D= 为正定矩阵，其中 A，B 分别为 m 阶，n 阶对称矩阵，C 为 mn 矩阵。 （）计算 P T DP，其中 P= （分数：2.00）_考研数学
9、三（线性代数）-试卷 41 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 和 B 都是 n 阶矩阵，则必有（ ）（分数：2.00）A.|A+B|=|A|+|B|B.AB=BAC.|AB|=|BA| D.（A+B） 1 =A 1 +B 1解析：解析：因为|AB|=|A|B|=|B|A|=|BA|，所以 C 正确。 取 B=A，则|A+B|=0，而|A|+|B|不一定为零，故 A 错误。 由矩阵乘法不满足交换律知，B 不正确。 因（A+B）（A 1 +
10、B 1 ）E，故 D 也不正确。 所以应选 C。3.设 A 是三阶矩阵，其中 a 11 0，A ij =a ij （i=1，2，3，j=1，2，3），则|2A T |=（ ）（分数：2.00）A.0B.2C.4D.8 解析：解析：|2A T |=2 3 |A T |=8|A|，且由已知 4.设 A 为 mn 矩阵，B 为 nm 矩阵，若 AB=E，则（ ）（分数：2.00）A.r（A）=m，r（B）=m B.r（A）=m，r（B）=nC.r（A）=n，r（B）=mD.r（A）=n，r（B）=n解析：解析：因为 AB=E，所以 r（AB）=m。又 r（AB）=mmin r（A），r（B），即 r
11、（A）m，r（B）m，而 r（A）m，r（B）m，所以 r（A）=m，r（B）=m。故选 A。5.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）（分数：2.00）A. 1 2 ， 2 3 ， 3 1B. 1 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1C. 1 + 2 ，3 1 5 2 ，5 1 +9 2D. 1 + 2 ，2 1 +3 2 +4 3 ， 1 2 2 3 解析：解析：通过已知选项可知 （ 1 2 ）+（ 2 3 ）+（ 3 1 ）=0， （ 1 2 ）+（ 2 + 3 ）（ 3 + 1 ）=0， 因此选项 A、B 中的向量组均线性相关。 对于选项 C，可设 1
12、= 1 + 2 ， 2 =3 1 5 2 ， 3 =5 1 +9 2 ，即 1 ， 2 ， 3 三个向量可由 1 ， 2 两个向量线性表示，所以 1 ， 2 ， 3 必线性相关，即 1 + 2 ，3 1 5 2 ，5 1 +9 2 必线性相关。 因而用排除法可知应选 D。6.设 A，B 为 n 阶方阵，P，Q 为 n 阶可逆矩阵，下列命题不正确的是（ ）（分数：2.00）A.若 B=AQ，则 A 的列向量组与 B 的列向量组等价B.若 B=PA，则 A 的行向量组与 B 的行向量组等价C.若 B=PAQ，则 A 的行（列）向量组与 B 的行（列）向量组等价 D.若 A 的行（列）向量组与矩阵
13、B 的行（列）向量组等价，则矩阵 A 与 B 等价解析：解析：将等式 B=AQ 中的 A、B 按列分块，设 A=（ 1 ， 2 ， n ），B=（ 1 ， 2 ， n ），则有 （ 1 ， 2 ， n ）=（ 1 ， 2 ， n ） 表明向量组 1 ， 2 ， n 可由向量组 1 ， 2 ， n 线性表示。由于 Q 可逆，从而有 A=BQ 1 ，即 （ 1 ， 2 ， n ）=（ 1 ， 2 ， n ）Q 1 ，表明向量组 1 ， 2 ， n 可由向量组 1 ， 2 ， n 线性表示，因此这两个向量组等价，故选项 A 的命题正确。 类似地，对于 PA=B，将 A 与 B 按行分块可得出 A 与
14、 B 的行向量组等价，从而选项 B 的命题正确。下例可表明选项C 的命题不正确。 7.已知 1 ， 2 ， 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个不同的解，那么向量 1 一 2 ， 1 + 2 一 2 3 ， （分数：2.00）A.4 B.3C.2D.1解析：解析：由 A i =b（i=1，2，3）有 A（ 1 2 ）=A 1 A 2 =bb=0， A（ 1 + 2 2 3 ）=A 1 +A 2 2A 3 =b+b2b=0， A（ 1 3 2 +2 3 ）=A 1 3A 2 +2A 3 =b3b +2b=0，即 1 一 2 ， 1 + 2 2 3 ， 8.已知 1 ， 2 是非齐次线性方程组
15、 Ax=b 的两个不同的解， 1 ， 2 是对应的齐次线性方程组Ax=0 的基础解系，k 1 ，k 2 为任意常数，则方程组 Ax=b 的通解是（ ） （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：对于 A、C 选项，因为 所以选项 A、C 中不含有非齐次线性方程组 Ax=b 的特解，故均不正确。 对于选项 D，虽然 1 2 是齐次线性方程组 Ax=0 的解，但它与 1 不一定线性无关，故 D 也不正确，所以应选 B。 事实上，对于选项 B，由于 1 ， 1 2 与 1 ， 2 等价（显然它们能够互相线性表示），故 1 ， 1 一 2 也是齐次线性方程组的一组基础解系，而由 可知 9.设 =
16、2 是非奇异矩阵 A 的一个特征值，则矩阵 有特征值（ ） （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因为 为 A 的非零特征值，所以 2 为 A 2 的特征值， 为（A 2 ） 1 的特征值。因此 的特征值为 3 10.下列选项中矩阵 A 和 B 相似的是（ ） （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：选项 A 中，r（A）=1，r（B）=2，故 A 和 B 不相似。选项 B 中，tr（A）=9，tr（B）=6，故A 和 B 不相似。选项 D 中，矩阵 A 的特征值为 2，2，3，而矩阵 B 的特征值为 1，3，3，故 A 和 B 不相似。由排除法可知应选 C。事实上，在选项
17、C 中，矩阵 A 和 B 的特征值均为 2，0，0。由于 A 和 B 均可相似对角化，也即 A 和 B 均相似于对角矩阵11.设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，若 A 与 B 合同，则（ ）（分数：2.00）A.A 与 B 有相同的秩 B.A 与 B 有相同的特征值C.A 与 B 有相同的特征向量D.A 与 B 有相同的行列式解析：解析：合同的矩阵也等价，故必有相同的秩，所以选 A。二、填空题(总题数：8，分数：16.00)12.已知三阶行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：结合行列式的性质：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的
18、外面，即13.已知 A 为三阶方阵，A 2 A2E=D，且 0|A|5，则|A+2E|= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：设 A 的特征值 i 对应的特征向量是 x i （x i 0，i=1，2，3），则 Ax i =x i 。 由 A 2 A2E=0 可知，特征向量 x i 满足（A 2 A2E）x i =0，从而有 i 2 一 i 2=0，解 得 i =1 或 i =20 再根据|A|= 1 2 3 及 0|A|5 可得， 1 = 2 =1， 3 =2。 由 Ax i =Ax i 可得（A+2E）x i =（ i +2）x i ，即 A+2E 的
19、特征值 i （i=1，2，3）满足 i = i +2，所以 1 = 2 =1， 3 =4，故|A+2E|=114=4。14.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由（EB 1 A） T B T X=E，得B（EB 1 A） T X=E，即（BA） T X=E，因此 X 1 =（BA） T = 15.设 A 是 43 矩阵，且 A 的秩 r（A）=2，而 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为16.设 A 是一个五阶矩阵，A * 是 A 的伴随矩阵，若 1 ， 2 是齐次线性方程组 Ax=0 的两个线性无关的解，则 r（
20、A * ）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析： 1 ， 2 是齐次线性方程组 Ax=0 的两个线性无关的解。由方程组的基础解系所含解向量的个数与系数矩阵秩的关系，可得 nr（A）2，即 r（A）3。又因为 A 是五阶矩阵，所以|A|的四阶子式一定全部为零，则代数余子式 A ij 恒为零，即 A * =0，所以 r（A * ）=0。17.设 A 为二阶矩阵， 1 ， 2 为线性无关的二维列向量，A 1 =0，A 2 =2 1 + 2 ，则 A 的非零特征值为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：根据题设条件，得
21、A（ 1 ， 2 ）=（A 1 ，A 2 ）=（ 1 ， 2 ） 记P=（ 1 ， 2 ），因 1 ， 2 线性无关，故 P=（ 1 ， 2 ）是可逆矩阵。由 AP= 可得 P 1 AP= 则 A 与 B 相似，从而有相同的特征值。 因为 |EB|= 18.设 =（1，1，a） T 是 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析： 是 A * 的特征向量，设对应于 的特征值为 0 ，则有 A * =A * ，该等式两端同时左乘 A， 即得 AA * =|A|= 0 A，即 展开成方程组的形式为 19.二次型 f（x 1 ，x 2 ，x 3 ）=x T Ax=2
22、x 2 2 + 2x 3 2 + 4x 1 x 2 +8x 2 x 3 4x 1 x 3 的规范形是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：z 1 2 +z 2 2 一 z 3 2）解析：解析：二次型的矩阵 三、解答题(总题数：13，分数：26.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：21.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AX+X+B+BA=D 可得（A+E）X=一 B（E+A），而 A+E 可逆的，所以 X=一（A+E） 1 B（E+A）， 故 X 2006 =（A+E） 1 B 2006 （E+A）=（A
23、+E） 1 （E+A）=B。)解析：22.设 A=（ 1 ， 2 ， 3 ）为三阶矩阵，且|A|=1。已知 B=（ 2 ， 1 ，2 3 ），求 B * A。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意可知 B=（ 1 ， 2 ， 3 ） 其中 所以|B|=|A|P|=2。于是 B * A=|B|B 1 A=2P 1 （A 1 A）=2P 1 = )解析：23.设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数 k，使线性方程组 A k x=0 有解向量 ，且 A k1 0。证明：向量组 ，A，A k1 是线性无关的。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设有常数 0 ， 1 ， k1 ，使得 0
24、 + 1 A+ k1 A k1 =0， 则有 A k1 （ 0 + 1 A+ k1 A k1 ）=0， 从而得到 0 A k1 =0由题设A k1 a0，所以 0 =0。 类似地可以证明 1 = 2 = k1 =0，因此向量组 ，A，A k1 是线性无关的。)解析：24.设向量组 a 1 ，a 2 线性无关，向量组 a 1 +b，a 2 +b 线性相关，证明：向量 b 能由向量组 a 1 ，a 2 线性表示。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 1 ， 2 线性无关， 1 +b， 2 +b 线性相关，所以 b0，且存在不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，使 k 1 （a 1 +b）+
25、k 2 （a 2 +b）=0，则有（k 1 +k 2 ）b=k 1 a 1 k 2 a 2 。 又因为 a 1 ，a 2 线性无关，若 k 1 a 1 +k 2 a 2 =0，则 k 1 =k 2 =0，这与 k 1 ，k 2 不全为零矛盾，于是有 k 1 a 1 +k 2 a 2 0，（k 1 +k 2 ）b0。 综上 k 1 +k 2 0，因此由（k 1 +k 2 ）b=ka 1 k 2 a 2 得 )解析：25.已知方程组 有解，证明：方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用 A 1 ， 分别表示方程组（1）与（2）的系数矩阵和增广矩阵，则 =A 2 T 。已知方程组（1）有
26、解，故 r（A 1 ）= 。 又由于（b 1 ，b 2 ，b m ，1）不能由（a 11 ，a 21 ，a m1 ，0），（a 12 ，a 22 ，a m2 ，0），（a 1n ，a 2n ，a mn ，0）线性表示，所以 )解析：26.已知三阶矩阵 A 的第一行是（a，b，c），a，b，c 不全为零，矩阵 B= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AB=0 知，B 的每一列均是 Ax=0 的解，且 r（A）+r（B）3。 （1）若 k9，则 r（B）=2，于是 r（A）1，显然 r（A）1，故 r（A）=1。可见此时 Ax=0 的基础解系所含解向量的个数为 3r（A）=2，矩阵 B
27、 的第一列、第三列线性无关，可作为其基础解系，故 Ax=0 的通解为：x=k 1 （1，2，3） T +k 2 （3，6，3） T ，k 1 ，k 2 为任意常数。 （2）若 k=9，则 r（B）=1，从而1r（A）2。 若 r（A）=2，则 Ax=0 的通解为：x=k（1，2，3） T ，k 1 为任意常数。 若r（A）=1，则 Ax=0 的同解方程组为：ax 1 +bx 2 +cx 3 =0，不妨设 a0，则其通解为 )解析：27.已知齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为方程组（2）中“方程个数未知数个数”，所以方程组（2）必有非零解。于是方程组 （1）必有非零解
28、，则（1）的系数行列式为 0，即 对方程组（1）的系数矩阵作初等行变换，有 则方程组（1）的通解是 k（1，1，1） T 。 因为（1，1，1） T 是方程组（2）的解，所以 =1，c=2 或 b=0，c=1。 当 b=1，c=2 时，方程组（2）为 其通解是 k（1，1，1） T ，所以方程组（1）与（2）同解。 当 b=0，c=1 时，方程组（2）为 )解析：28.设 A 为正交矩阵，且|A|=1，证明：=1 是 A 的特征值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：要证 =1 是 A 的特征值，需证|A +E|=0。因为|A +E|=|A +A T A|=|（E +A T ）A|=|E
29、 +A T |A|=一|A +E|，所以|A+E|=0，故 =1 是 A 的特征值。)解析：29.设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1 =1， 2 = 3 =1，对应于 1 的特征向量为 1 =（0，1，1） T ，求 A。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设对应于 2 = 3 =1 的特征向量为 =（x 1 ，x 2 ，x 3 ） T 。由实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量必正交得 T 2 =0，即 x 2 +x 3 =0，解得 2 =（1，0，0） T ， 3 =（0，1，1） T 。 又由 A（ 1 ， 2 ， 3 ）=（ 1 1 ， 2 2 ， 3 3 ），故有 A=（ 1
30、1 ， 2 2 ， 3 3 ）（ 1 ， 2 ， 3 ） 1 )解析：30.设三阶矩阵 A 的特征值 1 =1， 2 =2， 3 =3 对应的特征向量依次为 1 =（1，1，1） T ， 2 =（1，2，4） T ， 3 =（1，3，9） T 。 （）将向量 =（1，1，3） T 用 1 ， 2 ， 3 线性表示； （）求 A T 。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）设 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 =，即 解得 x 1 =2，x 2 =2，x 3 =1，故 =2 1 2 2 + 3 。 （）A=2A 1 2A 2 +A 3 ，则由题设条件可得 A n =2A * 1 2
31、A n 2 +A n 3 =2 1 22 n 2 +3 n 3 = )解析：31.已知三元二次型 f=x T Ax 的秩为 2，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型 x T Ax 的秩为 2，即 r（A）=2，所以 =0 是 A 的特征值。 所以 3是 A 的特征值，（1，2，1） T 是与 3 对应的特征向量；1 也是 A 的特征值，（1，1，1） T 是与1 对应的特征向量。 因为实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，设 =0 的特征向量是（x 1 ，x 2 ，x 3 ） T ，则有（x 1 ，x 2 ，x 3 ） =0，（x 1 ，x 2 ，x 3 ） 由方程组 解出=
32、0 的特征向量是（1，0，1） T 。 因此 x T Ax= （x 1 2 + 10x 2 2 + x 3 2 + 16x 1 x 2 + 2x 1 x 3 + 16x 2 x 3 ） 令 )解析：32.设 D= 为正定矩阵，其中 A，B 分别为 m 阶，n 阶对称矩阵，C 为 mn 矩阵。 （）计算 P T DP，其中 P= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： （）由（）中结果知矩阵 D 与矩阵 M= 合同，又因 D 是正定矩阵，所以 矩阵 M 为正定矩阵，从而可知 M 是对称矩阵，那么 BC T A 1 C 是对称矩阵。 对 m 维零向量x=（0，0，0） T 和任意 n 维非零向量 y=（y 1 ，y 2 ，y n ） T ，都有 （x T ，y T ） )解析：
