1、考研数学三（线性代数）-试卷 44 及答案解析(总分：38.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 n 阶方阵 A、B、C 满足关系式 ABC=E，则必有【 】（分数：2.00）A.ACB=EB.CBA=EC.BAC=ED.BCA=E3.设 （分数：2.00）A.AP1P2=BB.AP2P1=BC.P2P1A=BD.P1P2A=B4.设 A、B、A+B、A -1 +B -1 均为 n 阶可逆阵。则(A -1 +B -1 ) -1 =【 】（分数：2.00）A.A-1+B-1B.
2、A+BC.A(A+B)-1BD.(A+B)-1二、填空题(总题数：9，分数：18.00)5.设 a=(1，0，一 1) T ，矩阵 A=aa T ，n 为正整数，a 为常数，则aE 一 A n = 1（分数：2.00）填空项 1:_6.设 a 为 3 维列向量，a T 是 a 的转置，若 （分数：2.00）填空项 1:_7.设 3 阶方阵 A、B 满足 A 2 BAB=E其中 E 为 3 阶单位矩阵，若 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 A、B 均为 3 阶矩阵，E 是 3 阶矩阵，已知 AB=2A+B， （分数：2.00）填空项 1:_9.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_10.
3、设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 A=(a ij ) 33 是实正交矩阵，且 a 11 =1，b=(1，0，0) T ，则线性方程组 Ax=b 的解是 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设 a 1 ，a 2 ，a 3 均为 3 维列向量，记矩阵 A=(a 1 ,a 2 ,a 3 )，B=(a 1 +a 2 +a 3 ，a 1 +2a 2 +4a 3 ，a 1 +3a 2 +9a 3 )如果A=1，则B= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：6，分数：12.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
4、（分数：2.00）_15.设行列式 （分数：2.00）_16.设行列式 （分数：2.00）_17.求下列行列式的值： （分数：2.00）_18.计算下列 n 阶行列式： （分数：2.00）_19.证明(其中 ab)三对角行列式 （分数：2.00）_考研数学三（线性代数）-试卷 44 答案解析(总分：38.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 n 阶方阵 A、B、C 满足关系式 ABC=E，则必有【 】（分数：2.00）A.ACB=EB.CBA=EC.BAC=ED.BCA
5、=E 解析：3.设 （分数：2.00）A.AP1P2=BB.AP2P1=BC.P2P1A=B D.P1P2A=B解析：4.设 A、B、A+B、A -1 +B -1 均为 n 阶可逆阵。则(A -1 +B -1 ) -1 =【 】（分数：2.00）A.A-1+B-1B.A+BC.A(A+B)-1B D.(A+B)-1解析：二、填空题(总题数：9，分数：18.00)5.设 a=(1，0，一 1) T ，矩阵 A=aa T ，n 为正整数，a 为常数，则aE 一 A n = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：A n =(aa T )(aa T )(aa T )=a(a T a
6、)(a T a)a T =a2 n-1 a T = ）解析：6.设 a 为 3 维列向量，a T 是 a 的转置，若 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：设 ）解析：7.设 3 阶方阵 A、B 满足 A 2 BAB=E其中 E 为 3 阶单位矩阵，若 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(A 2 E)B=A+E，=(A+E)(AE)B=A+E，因 A+E可逆，两端左乘(A+E) -1 ，得(AE)B=E，两端取行列式，得AEB=1，因AE=2，得 ）解析：8.设 A、B 均为 3 阶矩阵，E 是 3 阶矩阵，已知 AB=2A+B， （分数：2.00）填空
7、项 1:_ （正确答案：正确答案：(AE)B 一 2A=0，(AE)B 一 2(AE)=2E，(AE)(B 一 2E)=2E，(AE) ）解析：9.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由条件知存在可逆矩阵 P，使 p -1 AP=B，=p -1 (A 一 2E)P=P -1 AP 一 2E=B 一 2E，即 A 一 2E 与 B 一 2E 相似，故有 r(A 一 2E)=r(B 一 2E)= ，同理得 r(AE)=r(BE)= ）解析：10.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由于 A * A=AE 一 3E，用 A 右乘题设方程两端，得
8、 3AB=6B+A，=3(A 一 2E)B=A，两端取行列式，得 27A 一 2EB=A，因A 一2E=1，A=3，得 ）解析：11.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由于 ，A 4 =(A 2 ) 2 =E，A 2004 =(A 4 ) 501 =E 501 =E，故 B 2004 一 2A 2 =P -1 A 2004 P 一 2A 2 =E 一 2A 2 = ）解析：12.设 A=(a ij ) 33 是实正交矩阵，且 a 11 =1，b=(1，0，0) T ，则线性方程组 Ax=b 的解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由于正交矩阵
9、的行(列)向量组均为正交单位向量组，故 ，又 A -1 =A T ，故方程组 Ax=b 的解为 x=A -1 b=A T b= ）解析：13.设 a 1 ，a 2 ，a 3 均为 3 维列向量，记矩阵 A=(a 1 ,a 2 ,a 3 )，B=(a 1 +a 2 +a 3 ，a 1 +2a 2 +4a 3 ，a 1 +3a 2 +9a 3 )如果A=1，则B= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：利用矩阵乘法，可将 B 写为 两端取行列式，得B=A ）解析：三、解答题(总题数：6，分数：12.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解
10、析：15.设行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 D 的第 l 列的 1000 倍、第 2 列的 100 倍、第 3 列的 10 倍都加到第 4 列，则所得行列式第 4 列每个元素都有公因子 13)解析：16.设行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：按定义 D= )解析：17.求下列行列式的值： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)160注意行列式元素之和均相等(2)一 10)解析：18.计算下列 n 阶行列式： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)(一 1) n-1 (n 一 1)x n-2 先将第 2 行的(一 1)倍加到第 i 行(i=
11、3，n)，再按第 1 列展开，并把(2，1)元素的余子式的第 2，3，n 一 1 列都加到第 1 列，则得上三角行列式 (2)(x 一 1)(x 一 2)(x 一 n+1)将第 1 行的(一 1)倍加到第 i 行(i=2，3，n)，得上三角行列式 (3)n!(1+x+ + )先把第 1 行的(一 1)倍加到第 i 行(i=2，3，n)，再把第 j 列的 )解析：19.证明(其中 ab)三对角行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先按第 1 行展开，并将(1，2)元素的余子式按第 1 列展开，得递推关系式 D n =(a+b)D n-1 一 abD n-2 ，=D n 一 aD n-1 =b(D n-1 aD n-2 )，=D n 一 aD n-2 =b n-2 (D 2 一 aD 1 )=b n ，对称地有 D n 一 bD n-1 =a n ，再由方程组 ，解得 )解析：
