1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 100 及答案解析(总分：82.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX，已知 r(A)=2，并且 A 满足 A 2 一 2A=0则下列各标 准二次型 (1)2y 1 2 +2y 2 2 (2)2y 1 2 (3)2y 1 2 +2y 3 2 (4)2y 2 2 +2y 3 2 中可用正交变换化为 f的是( )（分数：2.00）A.(1)B.(3)，(4)C.(1)，(3)，(4)D.(2)3
2、.设 （分数：2.00）A.A 与 B 既合同又相似B.A 与 B 合同但不相似C.A 与 B 不合同但相似D.A 与 B 既不合同又不相似4.则( )中矩阵在实数域上与 A 合同 （分数：2.00）A.B.C.D.二、解答题(总题数：28，分数：74.00)5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_6.设 是一个 n 维非零实列向量构造 n 阶实对称矩阵 A，使得它的秩=1，并且 是 A 的特征向量，特征值为非零实数 （分数：2.00）_7.设 B 是 3 阶实对称矩阵，特征值为 1，1，一 2，并且 =(1，一 1，1) T 是 B 的特征向量，特征值为一2求 B（分数：2.00
3、）_8.已知实对称矩阵 A 满足 A 3 +A 2 +A 一 3E=0，证明 A=E（分数：2.00）_9.设 A 为实矩阵，证明 A T A 的特征值都是非负实数（分数：2.00）_设 A 为反对称矩阵，则（分数：6.00）(1).若 k 是 A 的特征值，一 k 一定也是 A 的特征值（分数：2.00）_(2).如果它的一个特征向量 的特征值不为 0，则 T =0（分数：2.00）_(3).如果 A 为实反对称矩阵，则它的特征值或为 0，或为纯虚数（分数：2.00）_用配方法化下列二次型为标准型（分数：4.00）(1).f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 2x 2 2 +2x
4、1 x 2 2x 1 x 3 +2x 2 x 3 （分数：2.00）_(2).f(x 1 ，x 2 ，x 3 ) =x 1 x 2 +x 1 x 3 +x 2 x 3 （分数：2.00）_10.已知二次型 2x 1 2 +3x 2 2 +3x 3 2 +2ax 2 x 3 (a0)可用正交变换化为 y 1 2 +2y 2 2 +5y 3 2 ，求a 和所作正交变换（分数：2.00）_设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax=ax 1 2 +2x 1 2 一 2x 3 2 +2bx 1 x 3 ，(b0) 其中 A 的特征值之和为 1，特征值之积为一 12（分数：4.00）(1
5、).求 a，b（分数：2.00）_(2).用正交变换化 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )为标准型（分数：2.00）_已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(1 一 a)x 1 2 +(1 一 a)x 2 2 +2x 3 2 +2(1+a)x 1 x 2 的秩为 2（分数：6.00）(1).求 a（分数：2.00）_(2).求作正交变换 X=QY，把 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )化为标准形（分数：2.00）_(3).求方程 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=0 的解（分数：2.00）_11.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=XTAX 在正交变换 X=QY 下化为 1
6、0y 1 2 一 4y 2 2 一 4y 3 2 ，Q 的第 1 列为 （分数：2.00）_12. （分数：2.00）_13.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +2x 1 x 2 +2x 1 x 3 +2x 2 x 3 的正惯性指数为2，a 应满足什么条件?（分数：2.00）_设 A 是一个可逆实对称矩阵，记 A ij 是它的代数余子式二次型 （分数：4.00）(1).用矩阵乘积的形式写出此二次型（分数：2.00）_(2).f(x 1 ，x 2 ，x n )的规范形和 X T AX 的规范形是否相同?为什么?（分数：2.00）_14.判断 A
7、与 B 是否合同，其中 （分数：2.00）_15.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=ax 1 2 +ax 2 2 +(a1)x 3 2 +2x 1 x 3 2x 2 x 3 求 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )的矩阵的特征值 如果 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )的规范形为 y 1 2 +y 2 2 ，求 a（分数：2.00）_16.a 为什么数时二次型 x 1 2 +3x 2 2 +2x 3 2 +2ax 2 x 3 用可逆线性变量替换化为 2y 1 2 一 3y 2 2 +5y 3 2 ?（分数：2.00）_17.已知 A 是正定矩阵，证明A+E1（分数：2.00）_18.已
8、知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +4x 2 2 +4x 3 2 +2x 1 x 2 2x 1 x 3 +4x 2 x 3 当 满足什么条件时 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )正定?（分数：2.00）_19.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )=(x 1 +a 1 x 2 ) 2 +(x 2 +a 2 x 3 ) 2 +(x n +a n x 1 ) 2 a 1 ，a 2 ，a n 满足什么条件时 f(x 1 ，x 2 ，x n )正定?（分数：2.00）_20.设 （分数：2.00）_21.设 A 和 B 都是 mn 实矩阵，满足 r(A+B)=n，证明
9、A T A+B T B 正定（分数：2.00）_22.设 A 是 m 阶正定矩阵，B 是 mn 实矩阵，证明：B T AB 正定 （分数：2.00）_设 A 是 3 阶实对称矩阵，满足 A 2 +2A=0，并且 r(A)=2（分数：4.00）(1).求 A 的特征值（分数：2.00）_(2).当实数 k 满足什么条件时 A+kE 正定?（分数：2.00）_设 A，B 是两个 n 阶实对称矩阵，并且 A 正定证明：（分数：4.00）(1).存在可逆矩阵 P，使得 P T AP，P T BP 都是对角矩阵；（分数：2.00）_(2).当充分小时，A+B 仍是正定矩阵（分数：2.00）_23.设 其
10、中 A，B 分别是 m，n 阶矩阵证明 c 正定 （分数：2.00）_设 是正定矩阵，其中 A，B 分别是 m，n 阶矩阵记 （分数：4.00）(1).求 P T DP（分数：2.00）_(2).证明 BC T A -1 C 正定（分数：2.00）_24.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX 在正交变换 X=QY 下化为 y 1 2 +y 2 2 ，Q 的第 3 列为 （分数：2.00）_考研数学三（线性代数）模拟试卷 100 答案解析(总分：82.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要
11、求。（分数：2.00）_解析：2.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX，已知 r(A)=2，并且 A 满足 A 2 一 2A=0则下列各标 准二次型 (1)2y 1 2 +2y 2 2 (2)2y 1 2 (3)2y 1 2 +2y 3 2 (4)2y 2 2 +2y 3 2 中可用正交变换化为 f的是( )（分数：2.00）A.(1)B.(3)，(4)C.(1)，(3)，(4) D.(2)解析：解析：两个二次型可以用正交变换互相转化的充要条件是它们的矩阵相似，也就是特征值一样从条件可知，A 的特征值为 0，2，2(1)，(3)，(4)这 3 个标准二次型的矩阵的特征值都
12、是 0，2，2(2)中标准二次型的矩阵的特征值是 0，0，23.设 （分数：2.00）A.A 与 B 既合同又相似 B.A 与 B 合同但不相似C.A 与 B 不合同但相似D.A 与 B 既不合同又不相似解析：解析：A 与 B 都是实对称矩阵，判断是否合同和相似只要看它们的特征值：特征值完全一样时相似，特征值正负性一样时合同此题中 A 的特征值和 B 的特征值都是 4，0，0，0，从而 A 与 B 既合同又相似4.则( )中矩阵在实数域上与 A 合同 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：二、解答题(总题数：28，分数：74.00)5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：
13、6.设 是一个 n 维非零实列向量构造 n 阶实对称矩阵 A，使得它的秩=1，并且 是 A 的特征向量，特征值为非零实数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： T 是 n 阶实对称矩阵，秩为 1，并且 是 T 的特征向量，特征值为 T =(，)和题目要求只差在 的特征值上于是记 c=(，)，设 A=c T ，则 A 是 n阶实对称矩阵，秩=1，并且 A=c T =c(，)=)解析：7.设 B 是 3 阶实对称矩阵，特征值为 1，1，一 2，并且 =(1，一 1，1) T 是 B 的特征向量，特征值为一2求 B（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 A=B 一 E，则 A 是 3 阶
14、实对称矩阵，特征值为 0，0，一 3，因此秩为 1用上题的结论，可知 A=c T ，其中 c=一 3(，)=一 1，即 A=一 T 于是 )解析：8.已知实对称矩阵 A 满足 A 3 +A 2 +A 一 3E=0，证明 A=E（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 是实对称矩阵，所以 A 可相似对角化要证本题的结论只用证 A 的特征值只有 1 一个设 是 A 的特征值，则 是实数，并且应满足 3 + 2 + 一 3=0，即(1)( 2 +2+3)=0此方程的实数解只有 1，因此 =1)解析：9.设 A 为实矩阵，证明 A T A 的特征值都是非负实数（分数：2.00）_正确答案：(
15、正确答案：A T A 是实对称矩阵，特征值都是实数设 是 A T A 的一个特征值， 是属于 的一个实特征向量，则 A T A=于是 T A T A= T ，即 )解析：设 A 为反对称矩阵，则（分数：6.00）(1).若 k 是 A 的特征值，一 k 一定也是 A 的特征值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 k 是 A 的特征值，则 k 也是 A T 的特征值而 A T =一 A，于是一 k 是 A 的特征值)解析：(2).如果它的一个特征向量 的特征值不为 0，则 T =0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 的特征值为 ，则 A= T = T A=(A T ) T =(
16、一 A) T =一 T 不为 0，则 T =0)解析：(3).如果 A 为实反对称矩阵，则它的特征值或为 0，或为纯虚数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 为实反对称矩阵，则由上例知道，一 A 2 =A T A 的特征值都是非负实数，从而A 2 的特征值都是非正实数设 是 A 的特征值，则 2 是 A 2 的特征值，因此 2 0，于是 为0，或为纯虚数)解析：用配方法化下列二次型为标准型（分数：4.00）(1).f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 2x 2 2 +2x 1 x 2 2x 1 x 3 +2x 2 x 3 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x 1
17、，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +2x 2 2 +2x 1 x 2 2x 1 x 3 +2x 2 x 3 =x 2 +2x 1 x 2 2x 1 x 3 +(x 2 一 x 3 ) 2 一(x 2 一 x 3 ) 2 +2x 3 2 +2x 2 x 3 =(x 1 +x 2 一 x 3 ) 2 +x 2 2 +4x 2 x 3 一 x 3 2 =(x 1 +x 2 一 x 3 ) 2 +x 2 2 +4x 2 x 3 +4x 3 2 一 5x 2 2 =(x 1 +x 2 一 x 3 ) 2 +(x 2 +2x 3 ) 2 一 5x 3 2 令 原二次型化为 f(x 1 ,x 2 ,x 3
18、 )=y 1 2 +y 2 2 一 5y 3 2 从上面的公式反解得变换公式： 变换矩阵 )解析：(2).f(x 1 ，x 2 ，x 3 ) =x 1 x 2 +x 1 x 3 +x 2 x 3 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这个二次型没有平方项，先作一次变换 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=y 1 2 一 y 2 2 +2y 1 y 3 虽然所得新二次型还不是标准的，但是有平方项了，可以进行配方了： y 1 2 一 y 2 2 +2y 1 y 3 =(y 1 +y 3 ) 2 一 y 2 2 一 y 3 2 则 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 一 x 2 2
19、一 x 3 2 变换公式为 变换矩阵 )解析：10.已知二次型 2x 1 2 +3x 2 2 +3x 3 2 +2ax 2 x 3 (a0)可用正交变换化为 y 1 2 +2y 2 2 +5y 3 2 ，求a 和所作正交变换（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原二次型的矩阵 A 和化出二次型的矩阵 B 相似 于是A=B=10而A=2(9 一 a 2 )，得 a 2 =4，a=2 A 和 B 的特征值相同，为 1，2，5对这 3个特征值求单位特征向量 对于特征值 1： 得(AE)X=0 的同解方程组 得属于 1 的一个特征向量 1 =(0，1，一 1) T ，单位化得 对于特征值 2： 得
20、(A 一 2E)X=0 的同解方程组 得属于 2 的一个单位特征向量 2 =(1，0，0) T 对于特征值 5： 得(A 一 5E)X=0 的同解方程组 得属于 5 的一个特征向量 3 =(0，1，1) T ，单位化得 )解析：设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax=ax 1 2 +2x 1 2 一 2x 3 2 +2bx 1 x 3 ，(b0) 其中 A 的特征值之和为 1，特征值之积为一 12（分数：4.00）(1).求 a，b（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由条件知，A 的特征值之和为 1，即 a+2+(一 2)=1，得 a=1 特征值之积=一 12，即A
21、=一 12，而 得 b=2(b0)则 )解析：(2).用正交变换化 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )为标准型（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 得 A 的特征值为 2(二重)和一 3(一重) 对特征值 2 求两个单位正交的特征向量，即(A 一 2E)X=0 的非零解 得(A 一 2E)X=0 的同解方程组 x 1 一 2x 3 =0，求出基础解系 1 =(0，1，0) T ， 2 =(2，0，1) T 它们正交， 单位化： 1 = 1 ， 2 = 方程 x 1 一 2x 3 =0 的系数向量(1，0，一 2) T 和 1 ， 2 都正交，是属于一 3 的一个特征向量，单位化得 作正交
22、矩阵 Q=( 1 , 2 , 3 )，则 )解析：已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(1 一 a)x 1 2 +(1 一 a)x 2 2 +2x 3 2 +2(1+a)x 1 x 2 的秩为 2（分数：6.00）(1).求 a（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：此二次型的矩阵为 则 r(a)=2，A=0求得A=一 8a，得 a=0 )解析：(2).求作正交变换 X=QY，把 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )化为标准形（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 得 A 的特征值为 2，2，0 对特征值 2 求两个正交的单位特征向量： 得(A 一 2E)X=0 的同解方程组
23、x 1 x 2 =0，求出基础解系 1 =(0，0，1) T ， 2 =(1，1，0) T 它们正交，单位化： 方程 x 1 一 x 2 =0 的系数向量(1，一 1，0) T 和 1 ， 2 都正交，是属于特征值 0 的一个特征向量，单位化得 作正交矩阵 Q=( 1 , 2 , 3 )，则 )解析：(3).求方程 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=0 的解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)=x 1 2 +x 2 2 +2x 3 2 +2x 1 x 2 =(x 1 +x 2 ) 2 +2x 3 2 于是 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= 求得通解为： )解析：11.二次型
24、 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=XTAX 在正交变换 X=QY 下化为 10y 1 2 一 4y 2 2 一 4y 3 2 ，Q 的第 1 列为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：标准二次型 10y 1 2 一 4y 2 2 一 4y 3 2 的矩阵为 则 Q -1 AQ=Q T AQ=B，A和 B 相似于是 A 的特征值是 10，一 4，一 4 (1)Q 的第 1 列 是 A 的属于 10 的特征向量，其 倍 1 =(1，2，3) T 也是属于 10 的特征向量于是 A 的属于一 4 的特征向量和(1，2，3) T 正交，因此就是方程 x 1 +2x 2 +3x 3 =0 的非
25、零解求出此方程的一个正交基础解系 2 =(2，一 1，0) T ， 建立矩阵方程 A( 1 ， 2 ， 3 )=(10 1 ，一 4 2 ，一 4 3 )，用初等变换法解得 (2)将 2 ， 3 单位化得 )解析：12. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX=x 1 2 +4x 2 2 一 2x 3 2 一 4x 1 x 2 +4x 2 x 3 =(x 1 一 2x 2 ) 2 一 2x 3 2 +4x 2 x 3 =(x 1 一 2x 2 ) 2 一 2(x 2 一 x 3 ) 2 +2x 2 2 令 原二次型化为 f(x 1 ，x 2
26、，x 3 )=y 1 2 一 2y 2 2 +2y 3 2 从上面的公式反解得变换公式： 变换矩阵 )解析：13.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +2x 1 x 2 +2x 1 x 3 +2x 2 x 3 的正惯性指数为2，a 应满足什么条件?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用其矩阵的特征值做f(x 1 ，x 2 ，x 3 )的矩阵为 A 的特征值为 0 和 2 一(a+2)+2a 一 2的两个根于是正惯性指数为 2 2 一(a+2)+2a-2的两个根都大于 0 )解析：设 A 是一个可逆实对称矩阵，记 A ij 是它的代数余子式二
27、次型 （分数：4.00）(1).用矩阵乘积的形式写出此二次型（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 A 是实对称矩阵，它的代数余子式 A ij =A ji ， )解析：(2).f(x 1 ，x 2 ，x n )的规范形和 X T AX 的规范形是否相同?为什么?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 一 1 的特征值和 A 的特征值互为倒数关系，因此 A 一 1 和 A 的正的特征值的个数相等，负的特征值的个数也相等，于是它们的正，负惯性指数都相等，从而 A 一 1 和 A 合同，f(x 1 ，x 2 ，x n )和 X T AX 有相同的规范形)解析：14.判断 A 与 B 是
28、否合同，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用惯性指数，看它们的正负惯性指数是否都一样B 的正惯性指数为 2，负惯性指数为 1A 的惯性指数可通过对二次型 X T AX 进行配方法化标准形来计算 X T AX=x 1 2 +4x 2 2 一 2x 3 2 一 4x 1 x 2 4x 2 x 3 =(x 1 一 2x 2 ) 2 一 2x 3 2 一 4x 2 x 3 =(x 1 一 2x 2 ) 2 一 2(x 3 +x 2 ) 2 +2x 2 2 ， 令 )解析：15.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=ax 1 2 +ax 2 2 +(a1)x 3 2 +2x 1 x
29、3 2x 2 x 3 求 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )的矩阵的特征值 如果 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )的规范形为 y 1 2 +y 2 2 ，求 a（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x 1 ，x 2 ，x 3 )的矩阵为 记 )解析：16.a 为什么数时二次型 x 1 2 +3x 2 2 +2x 3 2 +2ax 2 x 3 用可逆线性变量替换化为 2y 1 2 一 3y 2 2 +5y 3 2 ?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：就是看 a 为什么数时它们的矩阵合同写出这两个二次型的矩阵 B 的特征值是 2 正 1 负又看出 1 是 A 的特征值，于是 A 的另两个特征值应该 1 正 1 负，即A0求得A=6a 2 ，于是 a 满足的条件应该为： )解析：17.已知 A 是正定矩阵，证明A+E1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：此题用特征值较简单设 A 的特征值为 1
