1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 103 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 （分数：2.00）A.mB.8mC.2mD.2m3.设 n 阶方阵 A、B、C 满足关系式 ABC=E，其中 E 是 n 阶单位阵，则必有（ ）（分数：2.00）A.ACB=EB.CBA=EC.BAC=ED.BCA=E4.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则（ ）（分数：2.00）A.当 mn，必有行列式|AB|0B.当 mn，必有行列式|AB|=0C.当 nm
2、，必有行列式|AB|0D.当 nm，必有行列式|AB|=05.设 1 =（1，2，3，1） T ， 2 =（3，4，7，一 1） T ， 3 =（2，6，0，6） T ， 4 =（0，1，3，a） T ，那么 a=8 是 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关的（ ）（分数：2.00）A.充分必要条件B.充分而非必要条件C.必要而非充分条件D.既不充分也非必要条件6.设向量组： 1 ， 2 ， r 可由向量组： 1 ， 2 ， s 线性表示，则（ ）（分数：2.00）A.当 rs 时，向量组必线性相关B.当 rs 时，向量组必线性相关C.当 rs 时，向量组必线性相关D.当 rs 时，向量组必线
3、性相关7.设 A 是 n 阶矩阵， 是 n 维列向量，若 （分数：2.00）A.Ax= 必有无穷多解B.Ax= 必有唯一解C.仅有零解D.必有非零解8.已知四阶方阵 A=（ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ）， 1 ， 2 ， 3 ， 4 均为四维列向量，其中 1 ， 2 线性无关，若 1 +2 2 一 3 =， 1 + 2 + 3 + 4 =，2 1 +3 2 + 3 +2 4 =，k 1 ，k 2 为任意常数，那么 Ax= 的通解为（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.9.设 =2 是非奇异矩阵 A 的一个特征值，则矩阵（ A 2 ） 1 有特征值（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.
4、10.下列选项中矩阵 A 和 B 相似的是（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.11.下列二次型中是正定二次型的是（ ）（分数：2.00）A.f 1 =（x 1 一 x 2 ） 2 +（x 2 一 x 3 ） 2 +（x 3 一 x 1 ） 2B.f 2 =（x 1 +x 2 ） 2 +（x 2 一 x 3 ） 2 +（x 3 +x 1 ） 2C.f 3 =（x 1 +x 2 ） 2 +（x 2 +x 3 ） 2 +（x 3 一 x 4 ） 2 +（x 4 一 x 1 ） 2D.f 4 =（x 1 +x 2 ） 2 +（x 2 +x 3 ） 2 +（x 3 +x 4 ） 2 +（x 4 一
5、 x 1 ） 2二、填空题(总题数：10，分数：20.00)12.设 A=（ 1 ， 2 ， 3 ）是三阶矩阵，且|A|=4。若 B=（ 1 3 2 +2 3 ， 2 2 3 ，2 2 + 3 ），则|B|= 1。（分数：2.00）填空项 1:_13.设方阵 A 满足 A 2 一 A 一 2E=O，并且 A 及 A+2 层都是可逆矩阵，则（A+2E） 1 = 1。（分数：2.00）填空项 1:_14.设三阶方阵 A，B 满足关系式 A 1 BA=6A+BA，且 A= （分数：2.00）填空项 1:_15.设 A 是一个 n 阶矩阵，且 A 2 一 2A 一 8E=O，则 r（4EA）+r（2E
6、+A）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_16.已知 r（ 1 ， 2 ， s ）=r（ 1 ， 2 ， s ，）=m，r（ 1 ， 2 ， s ，）=m+1，则 r（ 1 ， 2 ， s ，）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_17.齐次方程组 （分数：2.00）填空项 1:_18.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_19.设 A 为二阶矩阵， 1 ， 2 为线性无关的二维列向量，A 1 =0，A 2 =2 1 + 2 ，则 A 的非零特征值为 1。（分数：2.00）填空项 1:_20.设 =（1，一 1，a） T 是 （分数：2.00）填空项 1:_21.二次型 f（x 1
7、 ，x 2 ，x 3 ）=（x 1 +2x 2 +a 3 x 3 ）（x 1 +5x 2 +b 3 x 3 ）的合同规范形为 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_23.计算行列式 D n = （分数：2.00）_24.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵为 A * ，证明： （）若|A|=0，则|A * |=0； （）|A * |=|A| n1 。（分数：2.00）_25.设向量组 1 =（a，0，10） T ， 2 =（一 2，1，5） T ， 3 =（一 1，1，4） T ，=（1
8、，b，c） T ，试问：当 a，b，c 满足什么条件时， （） 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出，且表示唯一； （） 不可由 1 ， 2 ， 3 线性表出； （） 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出，但表示不唯一，求出一般表达式。（分数：2.00）_26.已知 A，B 为三阶非零矩阵，且 （分数：2.00）_27.设线性方程组（1）Ax=0 的一个基础解系为 1 =（1，1，1，0，2） T ， 2 =（1，1，0，1，1） T ， 3 =（1，0，1，1，2） T 。线性方程组（2）Bx=0 的一个基础解系为 1 =（1，1，一 1，一1，1） T ， 2 = （1，一 1，1，一 1，2
9、） T ， 3 =（1，一 1，一 1，1，1） T 。求 （）线性方程组 （分数：2.00）_28.设 A 为正交矩阵，且|A|=一 1，证明：=一 1 是 A 的特征值。（分数：2.00）_29.设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1 =一 1， 2 = 3 =1，对应于 1 的特征向量为 1 =（0，1，1） T ，求 A。（分数：2.00）_30.设三阶矩阵 A 的特征值 1 =1， 2 =2， 3 =3 对应的特征向量依次为 1 =（1，1，1） T ， 2 =（1，2，4） T ， 3 =（1，3，9） T 。 （）将向量 =（1，1，3） T 用 1 ， 2 ， 3 线性表示； （
10、）求 A n 。（分数：2.00）_31.设矩阵 （分数：2.00）_考研数学三（线性代数）模拟试卷 103 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 （分数：2.00）A.mB.8mC.2mD.2m 解析：解析：3.设 n 阶方阵 A、B、C 满足关系式 ABC=E，其中 E 是 n 阶单位阵，则必有（ ）（分数：2.00）A.ACB=EB.CBA=EC.BAC=ED.BCA=E 解析：解析：由题设 ABC=E，可知 A（BC）=E 或（AB）C
11、=E， 即 A 与 BC 以及 AB 与 C 均互为逆矩阵，从而有 （BC）A=BCA=E 或 C（AB）=CAB=E， 比较四个选项，应选 D。4.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则（ ）（分数：2.00）A.当 mn，必有行列式|AB|0B.当 mn，必有行列式|AB|=0 C.当 nm，必有行列式|AB|0D.当 nm，必有行列式|AB|=0解析：解析：因为 AB 是 m 阶方阵，且 r（AB）minr（A），r（B）minm，n，所以当 mn 时，必有 r（AB）m，从而|AB|=0，所以应选 B。5.设 1 =（1，2，3，1） T ， 2 =（3，4，7，一 1） T
12、， 3 =（2，6，0，6） T ， 4 =（0，1，3，a） T ，那么 a=8 是 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关的（ ）（分数：2.00）A.充分必要条件B.充分而非必要条件 C.必要而非充分条件D.既不充分也非必要条件解析：解析：n 个 n 维向量的线性相关性一般用行列式| 1 ， 2 ， n |是否为零判断。 因为| 1 ， 2 ， 3 ， 4 |= 6.设向量组： 1 ， 2 ， r 可由向量组： 1 ， 2 ， s 线性表示，则（ ）（分数：2.00）A.当 rs 时，向量组必线性相关B.当 rs 时，向量组必线性相关C.当 rs 时，向量组必线性相关D.当 rs 时，向量
13、组必线性相关 解析：解析：因为向量组可由向量组线性表示，故 r（）r（）s。又因为当 rs 时，必有r（）r，即向量组的秩小于其所含向量的个数，此时向量组必线性相关，所以应选 D。7.设 A 是 n 阶矩阵， 是 n 维列向量，若 （分数：2.00）A.Ax= 必有无穷多解B.Ax= 必有唯一解C.仅有零解D.必有非零解 解析：解析：齐次线性方程必有解（零解），则选项 C、D 为互相对立的命题，且其正确与否不受其他条件制约，故其中有且只有一个正确，因而排除 A、B。又齐次线性方程组 有 n+1 个变量，而由题设条件知，8.已知四阶方阵 A=（ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ）， 1 ， 2 ，
14、3 ， 4 均为四维列向量，其中 1 ， 2 线性无关，若 1 +2 2 一 3 =， 1 + 2 + 3 + 4 =，2 1 +3 2 + 3 +2 4 =，k 1 ，k 2 为任意常数，那么 Ax= 的通解为（ ） （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由 1 +2 2 一 3 = 知 =（ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ） 9.设 =2 是非奇异矩阵 A 的一个特征值，则矩阵（ A 2 ） 1 有特征值（ ） （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因为 为 A 的非零特征值，所以 2 为 A 2 的特征值， 为（A 2 ） 1 的特征值。因此（ A 2 ） 1 的特征值
15、为 10.下列选项中矩阵 A 和 B 相似的是（ ） （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：选项 A 中，r（A）=1，r（B）=2，故 A 和 B 不相似。选项 B 中，tr（A）=9，tr（B）=6，故A 和 B 不相似。选项 D 中，矩阵 A 的特征值为 2，2，一 3，而矩阵 B 的特征值为 1，3，一 3，故 A 和 B 不相似。由排除法可知应选 C。事实上，在选项 C 中，矩阵 A 和 B 的特征值均为 2，0，0。由于 A 和 B 均可相似对角化，也即 A 和 B 均相似于对角矩阵11.下列二次型中是正定二次型的是（ ）（分数：2.00）A.f 1 =（x 1 一 x
16、2 ） 2 +（x 2 一 x 3 ） 2 +（x 3 一 x 1 ） 2B.f 2 =（x 1 +x 2 ） 2 +（x 2 一 x 3 ） 2 +（x 3 +x 1 ） 2C.f 3 =（x 1 +x 2 ） 2 +（x 2 +x 3 ） 2 +（x 3 一 x 4 ） 2 +（x 4 一 x 1 ） 2D.f 4 =（x 1 +x 2 ） 2 +（x 2 +x 3 ） 2 +（x 3 +x 4 ） 2 +（x 4 一 x 1 ） 2 解析：解析：f=x T Ax 正定 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)12.设 A=（ 1 ， 2 ， 3 ）是三阶矩阵，且|A|=4。若 B=（
17、 1 3 2 +2 3 ， 2 2 3 ，2 2 + 3 ），则|B|= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：20）解析：解析：利用行列式的性质 |B|=| 1 一 3 2 +2 3 ， 2 一 2 3 ，5 3 |=5| 1 一 3 2 +2 3 ， 2 一 2 3 ， 3 | =5| 1 一 3 2 ， 2 ， 3 |=5 | 1 ， 2 ， 3 |=5|A|=20。13.设方阵 A 满足 A 2 一 A 一 2E=O，并且 A 及 A+2 层都是可逆矩阵，则（A+2E） 1 = 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 A 2
18、 一 A 一 2E=O，可得（A+2E）（A 一 3E）=一 4E，于是有 （A+2E） 1 （A+2E）（A一 3E）=一 4（A+2E） 1 ， 因此 （A+2E） 1 = 14.设三阶方阵 A，B 满足关系式 A 1 BA=6A+BA，且 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：在等式 A 1 BA=6A+BA 两端右乘 A 1 ，可得 A 1 B=6E+B，在该等式两端左乘 A，可得B=6A+AB，则有（EA）B=6A，即 B=6（EA） 1 A，且 15.设 A 是一个 n 阶矩阵，且 A 2 一 2A 一 8E=O，则 r（4EA）+r（2E+
19、A）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：n）解析：解析：已知 A 2 一 2A 一 8E=O，可得（4EA）（2E+A）=O，根据矩阵秩的性质可知 r（4EA）+r（2E+A）n， 同时 r（4EA）+r（2E+A）r（4EA）+（2E+A）=r（6E）=n， 因此 r（4EA）+r（2E+A）=n。16.已知 r（ 1 ， 2 ， s ）=r（ 1 ， 2 ， s ，）=m，r（ 1 ， 2 ， s ，）=m+1，则 r（ 1 ， 2 ， s ，）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：m+1）解析：解析：已知 r（ 1 ， 2 ， s ）
20、=r（ 1 ， 2 ， s ，）=m，表明向量 可以由向量组 1 ， 2 ， s 线性表示，但是 r（ 1 ， 2 ， s ，）=m+1，则表明向量 不能由向量组 1 ， 2 ， s 线性表示，因此通过对向量组 1 ， 2 ， s ， 作初等列变换，可得（ 1 ， 2 ， s ，）=（ 1 ， 2 ， s ，0，），因此可得 r（ 1 ， 2 ， s ，）=m+1。17.齐次方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 3 或一 1）解析：解析：系数矩阵的行列式|A|=18.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k（一 5，3，1） T ，k
21、 为任意常数）解析：解析：将方程组（1）和方程（2）联立，得到方程组 （3）的解就是两者的公共解。对（3）的系数矩阵作初等行变换可得 19.设 A 为二阶矩阵， 1 ， 2 为线性无关的二维列向量，A 1 =0，A 2 =2 1 + 2 ，则 A 的非零特征值为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：根据题设条件，得 A（ 1 ， 2 ）=（A 1 ，A 2 ）=（ 1 ， 2 ）记 P=（ 1 ， 2 ），因 1 ， 2 线性无关，故 P=（ 1 ， 2 ）是可逆矩阵。由 AP= 可得 P 1 AP= ，则 A 与 B 相似，从而有相同的特征值。 因为
22、20.设 =（1，一 1，a） T 是 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1）解析：解析： 是 A * 的特征向量，设对应于 的特征值为 0 ，则有 A * = 0 ，该等式两端同时左乘 A， 即得 AA * =|A|= 0 A，即 展开成方程组的形式为 21.二次型 f（x 1 ，x 2 ，x 3 ）=（x 1 +2x 2 +a 3 x 3 ）（x 1 +5x 2 +b 3 x 3 ）的合同规范形为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：z 1 2 z 2 2）解析：解析：令 所以该线性变换是非退化的，则原二次型与变换之后的二次型 f=y 1
23、y 2 是合同的，故有相同的合同规范形。 二次型 f=y 1 y 2 的矩阵为 其特征值为 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：23.计算行列式 D n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用行列式的性质，得 =nD n1 +（n 一 1）!a n 2 ， 同理可得 D n1 =（n 一 1）D n2 +（n 一 2）!a n1 2 ，所以 D n =n（n1）D n2 +（n 一 2）!a n1 2 +（n 一 1）! a n 2 =n（n 一 1）D n2 + 依次递推可得 )解析：24.设
24、n 阶矩阵 A 的伴随矩阵为 A * ，证明： （）若|A|=0，则|A * |=0； （）|A * |=|A| n1 。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）（反证法）假设|A * |0，则有 A * （A * ） 1 =E。又因为 AA * =|A|E，且|A|=0，故 A=AE=AA * （A * ） 1 =|A|E（A * ） 1 =0， 所以 A * =O。这与|A * |0 矛盾，故当|A|=0 时，有|A * |=0。 （）由于 AA * =|A|E，两端同时取行列式得 |A|A * |=|A| n 。 当|A|0 时，|A * |=|A| n1 ；当|A|=0 时，|A
25、 * |=0。 综上，有|A * |=|A| n1 成立。)解析：25.设向量组 1 =（a，0，10） T ， 2 =（一 2，1，5） T ， 3 =（一 1，1，4） T ，=（1，b，c） T ，试问：当 a，b，c 满足什么条件时， （） 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出，且表示唯一； （） 不可由 1 ， 2 ， 3 线性表出； （） 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出，但表示不唯一，求出一般表达式。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：考虑线性方程组 k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 =， （1）记其系数矩阵A=（ 1 ， 2 ， 3 ）。对该线性方程组的增广矩阵作初
26、等行变换，即 （）当 a一 10 时，r（A）=r（A，）=3，此时方程组（1）有唯一解， 可由 1 ， 2 ， 3 唯一地线性表出。 （）当 a=一 10，且 c3b 一 1 时， 可知 r（A）r（A，），此时方程组（1）无解， 不可由 1 ， 2 ， 3 线性表出。 （）当 a=一 10，且 c=3b 一 1 时， 可知 r（A）=r（A，）=2，此时方程组（1）有无穷多解，其全部解为 k 1 = k 2 =l，k 3 =b 一 l，其中 l 为任意常数。 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出，但表示不唯一，其一般表达式为 )解析：26.已知 A，B 为三阶非零矩阵，且 （分数：2.00）
27、_正确答案：(正确答案：（）由 BO，且 1 ， 2 ， 3 是齐次线性方程组 Bx=O 的三个解向量可知，向量组 1 ， 2 ， 3 必线性相关，于是 | 1 ， 2 ， 3 |= 解得 a=3b。 由 Ax= 3 有解可知，线性方程组 Ax= 3 的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，对增广矩阵作初等行变换得 )解析：27.设线性方程组（1）Ax=0 的一个基础解系为 1 =（1，1，1，0，2） T ， 2 =（1，1，0，1，1） T ， 3 =（1，0，1，1，2） T 。线性方程组（2）Bx=0 的一个基础解系为 1 =（1，1，一 1，一1，1） T ， 2 = （1，一 1，1，一
28、1，2） T ， 3 =（1，一 1，一 1，1，1） T 。求 （）线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）线性方程组（1）Ax=0 的通解为 x=k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 ；线性方程组（2）Bx=0 的通解为 x=l 1 1 +l 2 2 +l 3 3 ；线性方程组（3） 的解是方程组（1）和（2）的公共解，故考虑线性方程组（4）k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 =l 1 1 +l 2 2 +l 3 3 ，将其系数矩阵作初等行变换，即 则方程组（4）的一个基础解系是（一 2，0，2，一 1，0，1） T 。将其代入（4）得到方程组（3）的一个基础解系
29、=一 2 1 +2 2 =一 1 + 3 =（0，一2，0，2，0） T 。所以方程组（3）的通解为 x=k（0，一 1，0，1，0） T ，其中 k 为任意常数。 （）线性方程组（3） )解析：28.设 A 为正交矩阵，且|A|=一 1，证明：=一 1 是 A 的特征值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：要证 =一 1 是 A 的特征值，需证|A+E|=0。 因为|A+E|=|A+A T A|=|（E+A T ）A|=|E+A T |A|=一|A+E|，所以|A+E=0，故 =一 1 是 A 的特征值。)解析：29.设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1 =一 1， 2 = 3 =1，
30、对应于 1 的特征向量为 1 =（0，1，1） T ，求 A。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设对应于 2 = 3 =1 的特征向量为 =（x 1 ，x 2 ，x 3 ） T 。由实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量必正交得 T 1 =0，即 x 2 +x 3 =0，解得 2 =（1，0，0） T ， 3 =（0，1，一 1） T 。 又由 A（ 1 ， 2 ， 3 ）=（ 1 1 ， 2 2 ， 3 3 ），故有 A=（ 1 1 ， 2 2 ， 3 3 ）（ 1 ， 2 ， 3 ） 1 )解析：30.设三阶矩阵 A 的特征值 1 =1， 2 =2， 3 =3 对应的特征向量依次为
31、1 =（1，1，1） T ， 2 =（1，2，4） T ， 3 =（1，3，9） T 。 （）将向量 =（1，1，3） T 用 1 ， 2 ， 3 线性表示； （）求 A n 。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）设 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 =，即 解得 x 1 =2，x 2 =一2，x 3 =1，故 =2 1 一 2 2 + 3 。 （）A=2A 1 一 2A 2 +A 3 ，则由题设条件及特征值和特征向量的定义可得 A n =2A n 1 一 2A n 2 +A n 3 =2 1 一 22 n 2 +3 n 3 = )解析：31.设矩阵 （分数：2.00）_正确答
32、案：(正确答案：因为 3 是 A 的特征值，故|3EA|=8（3 一 y 一 1）=0，解得 y=2。于是 由于 A T =A，要（AP） T （AP）=P T A 2 P=A，而 A 2 = 是对称矩阵，即要 A 2 ， 故可构造二次型 x T A 2 x，再化其为标准形。由配方法，有 x T A 2 x=x 1 2 +5x 3 2 +5x 4 2 +8x 3 x 4 =y 1 2 +y 2 2 +5y 3 2 + y 4 2 ， 其中 y 1 =x 1 ，y 2 =x 2 ，y 3 =x 3 + x 4 ，y 4 =x 4 ，即 于是 （AP） T （AP）=P T A 2 P= )解析：
