1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 105 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设矩阵 （分数：2.00）A.一 6B.6C.D.3.设 A，B 是 n 阶矩阵，则下列结论正确的是（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 A，B 均为二阶矩阵，A * ，B * 分别为 A，B 的伴随矩阵，若|A|=2，|B|=3，则分块矩阵 的伴随矩阵为（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.5.设 A 是 mn 矩阵，C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为
2、 r，矩阵 B=AC 的秩为 r 1 ，则（ ）（分数：2.00）A.rr 1B.rr 1C.r=r 1D.r 与 r 1 的关系依 C 而定6.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）（分数：2.00）A. 1 一 2 ， 2 一 3 ， 3 一 1B. 1 一 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1C. 1 + 2 ，3 1 一 5 2 ，5 1 +9 2D. 1 + 2 ，2 1 +3 2 +4 3 ， 1 2 2 37.设 A，B 为 n 阶方阵，P，Q 为 n 阶可逆矩阵，下列命题不正确的是（ ）（分数：2.00）A.若 B=AQ，则 A 的列向量组与 B
3、 的列向量组等价B.若 B=PA，则 A 的行向量组与 B 的行向量组等价C.若 B=PAQ，则 A 的行（列）向量组与 B 的行（列）向量组等价D.若 A 的行（列）向量组与矩阵 B 的行（列）向量组等价，则矩阵 A 与 B 等价8.某五元齐次线性方程组的系数矩阵经初等变换化为 （分数：2.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个9.设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0，其中 A，B 均为 mn 矩阵，现有四个命题：若 Ax=0 的解均是Bx=0 的解，则 r（A）r（B）；若 r（A）r（B），则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解；若 Ax=0 与 Bx=0同解，则 r（A）
4、=r（B）；若 r（A）=r（B），则 Ax=0（分数：2.00）A.B.C.D.10.已知 =（1，一 2，3） T 是矩阵 （分数：2.00）A.a=一 2，b=6B.a=2，b=一 6C.a =2，b=6D.a=一 2，b=一 611.已知 A 是四阶矩阵，A * 是 A 的伴随矩阵，若 A * 的特征值是 1，一 1，2，4，那么不可逆矩阵是（ ）（分数：2.00）A.AEB.2AEC.A+2ED.A 一 4E12.下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.13.n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是（ ）（分数：2.00）A.二次型 x T Ax
5、 的负惯性指数为零B.存在可逆矩阵 P 使 P 1 AP=EC.存在 n 阶矩阵 C 使 A=C 1 CD.A 的伴随矩阵 A * 与 E 合同二、填空题(总题数：7，分数：14.00)14.设 A 为奇数阶矩阵，且 AA T =A T A=E。若|A|0，则|AE|= 1。（分数：2.00）填空项 1:_15.设 A、B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵，已知 AB=2A+3B，A= （分数：2.00）填空项 1:_16.设 （分数：2.00）填空项 1:_17.设 1 =（6，一 1，1） T 与 2 =（一 7，4，2） T 是线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_18.已知矩阵
6、（分数：2.00）填空项 1:_19.已知 （分数：2.00）填空项 1:_20.设 f=x 1 2 +x 2 2 +5x 3 2 +2ax 1 x 2 2x 1 x 3 +4x 2 x 3 为正定二次型，则未知系数 a 的范围是 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：22.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_22.已知 （分数：2.00）_23.设 A 是 n 阶可逆方阵，将 A 的第 i 行和第 j 行对换后得到的矩阵记为 B。 （）证明 B 可逆； （）求 AB 1 。（分数：2.00）_24.设 A 是 n 阶矩阵
7、，若存在正整数后，使线性方程组 A k x=0 有解向量 ，且 A k1 0。证明：向量组 ，A，A k1 是线性无关的。（分数：2.00）_25.设向量组 1 ， 2 线性无关，向量组 1 +b， 2 +b 线性相关，证明：向量 b 能由向量组 1 ， 2 线性表示。（分数：2.00）_26.设 （分数：2.00）_27.设矩阵 A=（ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ），其中 2 ， 3 ， 4 线性无关， 1 =2 2 一 3 ，向量 b= 1 + 2 + 3 + 4 ，求方程组 Ax=b 的通解。（分数：2.00）_28.设矩阵 A 与 B 相似，且 （分数：2.00）_29.设三阶实对称
8、矩阵 A 的秩为 2， 1 = 2 =6 是 A 的二重特征值，若 1 =（1，1，0） T ， 2 =（2，1，1） T ， 3 =（一 1，2，一 3） T 都是 A 属于 =6 的特征向量，求矩阵 A。（分数：2.00）_30.某试验性生产线每年 1 月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将 熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 成为熟练工。设第 n 年 1 月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为 x n 和 y n ，记成向量 （）求 的关系式并写成矩阵形式： （）验证 1 = 是 A 的两个线性无关的特征向量，并求出相应
9、的特征值； （分数：2.00）_31.已知 （分数：2.00）_考研数学三（线性代数）模拟试卷 105 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设矩阵 （分数：2.00）A.一 6B.6C. D.解析：解析：化简矩阵方程，构造 B+E，用因式分解法，则有 A（B+E）+（B+E）=一 E，即（A+E）（B+E）=一 E， 两边取行列式，由行列式乘法公式得 |A+E|.|B+E|=1，3.设 A，B 是 n 阶矩阵，则下列结论正确的是（ ） （分数：2
10、.00）A.B.C. D.解析：解析：|AB|=|A|B|=0，故有|A|=0 或|B|=0，反之亦成立，故应选 C。 取 则 AB=O，但AD，BO，选项 A 不成立。 取 选项 B 不成立。 取4.设 A，B 均为二阶矩阵，A * ，B * 分别为 A，B 的伴随矩阵，若|A|=2，|B|=3，则分块矩阵 的伴随矩阵为（ ） （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：若矩阵 A 的行列式|A|0，则 A 可逆，且 A 1 = A * 。因为分块矩阵 的行列式 =（一 1） 22 |A|B|=23=6，即分块矩阵可逆，所以 5.设 A 是 mn 矩阵，C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A
11、的秩为 r，矩阵 B=AC 的秩为 r 1 ，则（ ）（分数：2.00）A.rr 1B.rr 1C.r=r 1 D.r 与 r 1 的关系依 C 而定解析：解析：因为 B=AC=EAC，其中 E 为 m 阶单位矩阵，而 E 与 C 均可逆，由矩阵等价的定义可知，矩阵B 与 A 等价，从而 r（B）=r（A）。所以应选 C。6.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）（分数：2.00）A. 1 一 2 ， 2 一 3 ， 3 一 1B. 1 一 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1C. 1 + 2 ，3 1 一 5 2 ，5 1 +9 2D. 1 + 2 ，2 1
12、+3 2 +4 3 ， 1 2 2 3 解析：解析：通过已知选项可知 （ 1 一 2 ）+（ 2 一 3 ）+（ 3 一 1 ）=0， （ 1 一 2 ）+（ 2 + 3 ）一（ 3 + 1 ）=0， 因此选项 A、B 中的向量组均线性相关。 对于选项C，可设 1 = 1 + 2 ， 2 =3 1 一 5 2 ， 3 =5 1 +9 2 ，即 1 ， 2 ， 3 三个向量可由 1 ， 2 两个向量线性表示，所以 1 ， 2 ， 3 必线性相关，即 1 + 2 ，3 1 一 5 2 ，5 1 +9 2 必线性相关。 因而用排除法可知应选 D。 利用矩阵运算。 选项 A 中，（ 1 一 2 ， 2
13、 一 3 ， 3 一 1 ）=（ 1 ， 2 ， 3 ） 因为 7.设 A，B 为 n 阶方阵，P，Q 为 n 阶可逆矩阵，下列命题不正确的是（ ）（分数：2.00）A.若 B=AQ，则 A 的列向量组与 B 的列向量组等价B.若 B=PA，则 A 的行向量组与 B 的行向量组等价C.若 B=PAQ，则 A 的行（列）向量组与 B 的行（列）向量组等价 D.若 A 的行（列）向量组与矩阵 B 的行（列）向量组等价，则矩阵 A 与 B 等价解析：解析：将等式 B=AQ 中的 A、B 按列分块，设 A=（ 1 ， 2 ， n ），B=（ 1 ， 2 ， n ），则有 （ 1 ， 2 ， n ）=（
14、 1 ， 2 ， n ） 表明向量组 1 ， 2 ， n 可由向量组 1 ， 2 ， n 线性表示。由于 Q 可逆，从而有 A=BQ 1 ，即 （ 1 ， 2 ， n ）=（ 1 ， 2 ， n ）Q 1 ，表明向量组 1 ， 2 ， n 可由向量组 1 ， 2 ， n 线性表示，因此这两个向量组等价，故选项 A 的命题正确。 类似地，对于 PA=B，将 A 与 B 按行分块可得出 A 与 B 的行向量组等价，从而选项 B 的命题正确。 下例可表明选项C 的命题不正确。 8.某五元齐次线性方程组的系数矩阵经初等变换化为 （分数：2.00）A.1 个B.2 个 C.3 个D.4 个解析：解析：因
15、为系数矩阵的秩 r（A）=3，则 nr（A）=53=2，故应当有两个自由变量。 由于去掉 x 4 ，x 5 两列之后，所剩三阶矩阵为 因为其秩与 r（A）不相等，故 x 4 ，x 5 不是自由变量。同理，x 4 ，x 5 不能是自由变量。 而 x 1 ，x 5 与 x 2 ，x 3 均可以是自由变量，因为行列式 9.设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0，其中 A，B 均为 mn 矩阵，现有四个命题：若 Ax=0 的解均是Bx=0 的解，则 r（A）r（B）；若 r（A）r（B），则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解；若 Ax=0 与 Bx=0同解，则 r（A）=r（B）；若 r（A）=
16、r（B），则 Ax=0（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由于线性方程组 Ax=0 和 Bx=0 之间可以无任何关系，此时其系数矩阵的秩之间的任何关系都不会影响它们各自解的情况，所以，显然不正确，利用排除法，可得正确选项为 B。 下面证明，正确： 对于，由 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解可知，方程组 Bx=0 含于 Ax=0 之中。从而 Ax=0 的有效方程的个数（即 r（A）必不少于 Bx=0 的有效方程的个数（即 r（B），故 r（A）r（B）。 对于，由于 A，B 为同型矩阵，若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则其解空间的维数（即基础解系包含解向量的个数）相同，即 n 一
17、 r（A）=n 一 r（B），从而 r（A）=r（b）。10.已知 =（1，一 2，3） T 是矩阵 （分数：2.00）A.a=一 2，b=6 B.a=2，b=一 6C.a =2，b=6D.a=一 2，b=一 6解析：解析：设 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量，按定义有 即有11.已知 A 是四阶矩阵，A * 是 A 的伴随矩阵，若 A * 的特征值是 1，一 1，2，4，那么不可逆矩阵是（ ）（分数：2.00）A.AEB.2AEC.A+2E D.A 一 4E解析：解析：因为 A * 的特征值是 1，一 1，2，4，所以|A * |=一 8，又|A * |=|A| 41 ，因此|A| 3 =
18、一 8，于是|A|=一 2。那么，矩阵 A 的特征值是：一 2，2，一 1， 。因此，AE 的特征值是一3，1，一 2， 12.下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是（ ） （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：选项 A 是实对称矩阵，实对称矩阵必可以相似对角化。选项 B 是下三角矩阵，主对角线元素就是矩阵的特征值，因而矩阵有三个不同的特征值，所以矩阵必可以相似对角化。 选项 C 是秩为 1 的矩阵，由|EA|= 3 一 4 2 ，可知矩阵的特征值是 4，0，0。对于二重根 =0，由秩 r（0E 一 A）=r（A）=1 可知齐次方程组（0EA）x=0 的基础解系有 31=2 个线性无关的
19、解向量，即 =0 时有两个线性无关的特征向量，从而矩阵必可以相似对角化。 选项 D 是上三角矩阵，主对角线上的元素 1，1，一 1就是矩阵的特征值，对于二重特征值 =1， 由秩 13.n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是（ ）（分数：2.00）A.二次型 x T Ax 的负惯性指数为零B.存在可逆矩阵 P 使 P 1 AP=EC.存在 n 阶矩阵 C 使 A=C 1 CD.A 的伴随矩阵 A * 与 E 合同 解析：解析：选项 A 是必要不充分条件。这是因为 r（A）=p+qn，当 g=0 时，有 r（A）=pn。此时有可能 pn，故二次型 x T Ax 不一定是正定二次型。因此矩阵 A
20、 不一定是正定矩阵。例如 f（x 1 ，x 2 ，x 3 ）=x 1 2 +5x 3 2 。 选项 B 是充分不必要条件。这是因为 P 1 AP=E 表示 A 与 E 相似，即 A 的特征值全是 1，此时 A 是正定的。但只要 A 的特征值全大于零就可保证 A 正定，因此特征值全是 1 是不必要的。 选项 C 中的矩阵 C 没有可逆的条件，因此对于 A=C T C 不能说 A 与 E 合同，也就没有 A 是正定矩阵的结论。例如 显然矩阵不正定。 关于选项 D，由于 A 正定 A 1 正定 A * 正定 二、填空题(总题数：7，分数：14.00)14.设 A 为奇数阶矩阵，且 AA T =A T
21、 A=E。若|A|0，则|AE|= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：|AE|=|AAA T |=|A（EA T ）|=|A|EA T |=| A|EA|。 由 AA T =A T A=E，可知|A| 2 =1，因为|A|0，所以|A|=1，即|AE|=|EA|。 又 A 为奇数阶矩阵，所以|EA|=|一（A一 E）|=一|AE I=一|EA|，故|AE|=0。15.设 A、B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵，已知 AB=2A+3B，A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：利用已知条件 AB=2A+3B，通过移、
22、添加项构造出 B 一 2E，于是有 AB 一 2A 一 3B+6E=6E，则有（A 一 3E）（B 一 2E）=6E。从而（B 一 2E） 1 = 16.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：对 A 作初等行变换，则有17.设 1 =（6，一 1，1） T 与 2 =（一 7，4，2） T 是线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：（6，一 1，1） T +k（13，一 5，一 1） T ，k为任意常数）解析：解析：一方面因为 1 ， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解，所以一定有 r（A）= 3。另一方面由于在系
23、数矩阵 A 中存在二阶子式 所以一定有 r（A）2，因此必有 r（A）= 18.已知矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2）解析：解析：因为 所以矩阵 A 的特征值分别为 2，3，3。因为矩阵 A 和对角矩阵相似，所以对应于特征值 3 有两个线性无关的特征向量，即（3E 一 A）x=0 有两个线性无关的解，因此矩阵 3E 一 A 的秩为1。19.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由 A 的特征方程 =（ 一 1）（ 2 一 1）=0， 可得 A 的特征值是 =1（二重），=一 1。 因为 A 有三个线性无关的特征向量，所
24、以 =1 必有两个线性无关的特征向量，因此 r（EA）=32=1，根据 20.设 f=x 1 2 +x 2 2 +5x 3 2 +2ax 1 x 2 2x 1 x 3 +4x 2 x 3 为正定二次型，则未知系数 a 的范围是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：二次型的矩阵为 其各阶主子式为 因为 f 为正定二次型，所以必有 1 一 a 2 0 且一 a（5a+4）0，因此 a0。 故当 三、解答题(总题数：11，分数：22.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：22.已知 （分数：2.00）_正确答案：(
25、正确答案：将矩阵 A 分块，即 将 B 改写成 B=3E+P，于是 B n =（3E+P） n =3 n E+C n 1 3 n1 P+C n 2 3 n2 P 2 ， 其中 P i =O（i=3，4，n）。 将 C 改写成 （31），则C 2 =6C，C n =6 n1 C，所以 )解析：23.设 A 是 n 阶可逆方阵，将 A 的第 i 行和第 j 行对换后得到的矩阵记为 B。 （）证明 B 可逆； （）求 AB 1 。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）设 E（i，j）是由 n 阶单位矩阵的第 i 行和第 j 行对换后得到的初等矩阵，则有 B=E（i，j）A，因此有|B|=|E
26、（i，j）|A|=一|A|0，所以矩阵 B 可逆。 （）AB 1 =AE（i，j）A 1 =AA 1 E 1 （i，j）=E 1 （i，j）=E（i，j）。)解析：24.设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数后，使线性方程组 A k x=0 有解向量 ，且 A k1 0。证明：向量组 ，A，A k1 是线性无关的。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设有常数 0 ， 1 ， k1 ，使得 0 + 1 A+ k1 A k1 =0， 则有 A k1 （ 0 + 1 A+ k1 A k1 ）=0， 从而得到 0 A k1 =0。由题设A k1 0，所以 0 =0。 类似地可以证明 1 = 2 =
27、 k1 =0，因此向量组 ，A，A k1 是线性无关的。)解析：25.设向量组 1 ， 2 线性无关，向量组 1 +b， 2 +b 线性相关，证明：向量 b 能由向量组 1 ， 2 线性表示。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 1 ， 2 线性无关， 1 +b， 2 +b 线性相关，所以 b0，且存在不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，使 k 1 （ 1 +b）+k 2 （ 2 +b）=0，则有（k 1 +k 2 ）b=一 k 1 1 一k 2 2 。 又因为 1 ， 2 线性无关，若 k 1 1 +k 2 2 =0，则 k 1 =k 2 =0，这与 k 1 ，k 2 不全为零矛盾
28、，于是有 k 1 1 +k 2 2 0，（k 1 +k 2 ）b0。 综上 k 1 +k 2 0，因此由（k 1 +k 2 ）b=一 k 1 一 k 2 2 得 )解析：26.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）对增广矩阵（A| 1 ）作初等行变换，则 得 Ax=0 的基础解系（1，一 1，2） T 和 Ax= 1 的特解（0，0，1） T 。故 2 =（0，0，1） T +k（1，一 1，2） T 其中 k 为任意常数。 对增广矩阵（A 2 | 1 ）作初等行变换，有 得 A 2 x=0 的基础解系（一1，1，0） T ，（0，0，1） T 和 A 2 x= 1 的特解（ ，0
29、，0） T 故 3 =（ ，0，0） T +t 1 （一 1，1，0） T +t 2 （0，0，1） T ，其中 t 1 ，t 2 为任意常数。 （）因为 | 1 ， 2 ， 3 |= )解析：27.设矩阵 A=（ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ），其中 2 ， 3 ， 4 线性无关， 1 =2 2 一 3 ，向量 b= 1 + 2 + 3 + 4 ，求方程组 Ax=b 的通解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：已知 2 ， 3 ， 4 线性无关，则 r（A）3。又由 1 ， 2 ， 3 线性相关可知 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，故 r（A）3。 终上所述，r（A）=3，从而原
30、方程组的基础解系所含向量个数为 43=1。又因为 1 =2 2 一 3 1 一 2 2 + 3 =0 （ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ） )解析：28.设矩阵 A 与 B 相似，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 一 B 有 于是得 a=5，b=6。 且由 AB，知 A 与 B 有相同的特征值，于是 A 的特征值是 1 = 2 =2， 3 =6。 当 =2 时，解齐次线性方程组（2E 一 A）x=0 得到基础解系为 1 =（1，一 1，0） T ， 2 =（1，0，1） T ，即属于 =2 的两个线性无关的特征向量。 当 =6时，解齐次线性方程组（6EA）x=0，得到基础解系
31、是（1，一 2，3） T ，即属于 =6 的特征向量。 令 P=（ 1 ， 2 ， 3 ）= )解析：29.设三阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 1 = 2 =6 是 A 的二重特征值，若 1 =（1，1，0） T ， 2 =（2，1，1） T ， 3 =（一 1，2，一 3） T 都是 A 属于 =6 的特征向量，求矩阵 A。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 r（A）=2 知，|A|=0，所以 =0 是 A 的另一特征值。 因为 1 = 2 =6 是实对称矩阵的二重特征值，故 A 属于 =6 的线性无关的特征向量有两个，因此 1 ， 2 ， 3 必线性相关，显然 1 ， 2 线性无
32、关。 设矩阵 A 属于 =0 的特征向量 =（x 1 ，x 2 ，x 3 ） T ，由于实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故有 解得此方程组的基础解系 =（一 1，1，1） T 。 根据 A（ 1 ， 2 ，）=（6 1 ，6 2 ，0）得 A=（6 1 ，6 2 ，0）（ 1 ， 2 ， 3 ） 1 )解析：30.某试验性生产线每年 1 月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将 熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 成为熟练工。设第 n 年 1 月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为 x n 和 y n ，记成向量 （）求
33、 的关系式并写成矩阵形式： （）验证 1 = 是 A 的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值； （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）由题意得 化成矩阵形式为 可见 （）因为行列式| 1 ， 2 = =50，所以 1 ， 2 线性无关。 又 A 1 = = 1 ，故 1 为 A 的特征向量，且相应的特征值 1 =1。 A 2 = 2 ，故 2 为 A 的特征向量，且相应的特征值 2 = 。 )解析：31.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）A T A= 由 r（A T A）=2 可得 |A T A|= =（a+1） 2 （a 2 +3）=0， 所以 a=一 1。 （）由（）中结果，令矩阵 解得矩阵 B 的特征值为 1 =0， 2 =2， 3 6。 由（ i EB）x=0，得对应特征值 1 =0， 2 =2， 3 =6 的特征向量分别为 1 =（一 1，一 1，1） T ， 2 =（一 1，1，0） T ， 3 =（1，1，2） T 。 将 1 ， 2 ， 3 单位化可得： 令 Q=（ 1 ， 2 ， 3 ）= )解析：
