1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 126及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A是 n阶矩阵，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.A，B 都不可逆的充分必要条件是 AB不可逆B.r(A)n，r(B)n 的充分必要条件是 r(AB)nC.AX=0与 BX=0同解的充分必要条件是 r(A)=r(B)D.AB 的充分必要条件是 E 一 AEB；3.设 A为 n阶可逆矩阵， 为 A的特征值，则 A * 的一个特征值为( )（分数：2.00）A.B.C.
2、|A|D.|A| n-14.设三阶矩阵 A的特征值为 1 =一 1， 2 =0， 3 =1，则下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A不可逆B.矩阵 A的迹为零C.特征值一 1，1 对应的特征向量正交D.方程组 AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量5.设 A为三阶矩阵，方程组 AX=0的基础解系为 1 ， 2 ，又 =一 2为 A的一个特征值，其对应的特征向量为 3 ，下列向量中是 A的特征向量的是( )（分数：2.00）A. 1 + 3B.3 3 一 1C. 1 +2 2 +3 3D.2 1 一 3 2二、填空题(总题数：4，分数：8.00)6.设 A是三阶矩阵，其三个特
3、征值为 （分数：2.00）填空项 1:_7.设 A为 n阶可逆矩阵，若 A有特征值 0 ，则(A * ) 2 +3A * +2E有特征值 1（分数：2.00）填空项 1:_8.已知 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 A为三阶实对称矩阵，且 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：40.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_11.求矩阵 （分数：2.00）_设 （分数：4.00）(1).求 a，b 及 A的所有特征值与特征向量（分数：2.00）_(2).A可否对角化?若可对角化，求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP为对角矩阵（分数：2.00）_
4、12.设 （分数：2.00）_13.设 （分数：2.00）_14.设 A T A=E，证明：A 的实特征值的绝对值为（分数：2.00）_设 为 A的特征值（分数：6.00）(1).证明：A T 与 A特征值相等；（分数：2.00）_(2).求 A 2 ，A 2 +2A+3E的特征值；（分数：2.00）_(3).若|A|0，求 A -1 ，A * ，EA -1 的特征值（分数：2.00）_15.设 X 1 ，X 2 分别为 A的属于不同特征值 1 ， 2 的特征向量证明：X 1 +X 2 不是 A的特征向量（分数：2.00）_16.求 A的全部特征值，并证明 A可以对角化 （分数：2.00）_设
5、向量 =(a 1 ，a 2 ，a n ) T ，其中 a 1 0，A= T （分数：4.00）(1).求方程组 AX=O的通解；（分数：2.00）_(2).求 A的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量（分数：2.00）_17.设 （分数：2.00）_18.设 A为三阶矩阵，A 的特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =3，其对应的线性无关的特征向量分别 向量 （分数：2.00）_19.设 A是 n阶矩阵， 是 A的特征值，其对应的特征向量为 X，证明： 2 是 A 2 的特征值，X 为特征向量若 2 有特征值 ，其对应的特征向量为 X，X 是否一定为 A的特征向量?说明理由（分数：2.00）
6、_设 A，B 为 n阶矩阵（分数：4.00）(1).是否有 ABBA；（分数：2.00）_(2).若 A有特征值 1，2，n，证明：ABBA（分数：2.00）_设 为 n维非零列向量， （分数：4.00）(1).证明：A 可逆并求 A -1 ；（分数：2.00）_(2).证明： 为矩阵 A的特征向量（分数：2.00）_考研数学三（线性代数）模拟试卷 126答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A是 n阶矩阵，下列结论正确的是( )（分数：2.00
7、）A.A，B 都不可逆的充分必要条件是 AB不可逆B.r(A)n，r(B)n 的充分必要条件是 r(AB)nC.AX=0与 BX=0同解的充分必要条件是 r(A)=r(B)D.AB 的充分必要条件是 E 一 AEB； 解析：解析：若 AB，则存在可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=B， 于是 P -1 (EA)P=EP -1 AP=E一 B，即 E 一 AE=B； 反之，若 EAEB，即存在可逆矩阵 P，使得 P -1 (EA)P=EB， 整理得 EP -1 AP=EB，即 P -1 AP=B，即 AB，选(D)3.设 A为 n阶可逆矩阵， 为 A的特征值，则 A * 的一个特征值为( )（分
8、数：2.00）A.B. C.|A|D.|A| n-1解析：解析：因为 A可逆，所以 0，令 AX=X，则 A * AX=A * X，从而有 A * X= 4.设三阶矩阵 A的特征值为 1 =一 1， 2 =0， 3 =1，则下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A不可逆B.矩阵 A的迹为零C.特征值一 1，1 对应的特征向量正交 D.方程组 AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量解析：解析：由 1 =一 1， 2 =0， 3 =1得|A|=0，则 r(A)1 + 2 + 3 =tr(A)=0，所以(B)正确；因为 A的三个特征值都为单值，所以 A的非零特征值的个数与矩阵 A的
9、秩相等，即 r(A)=2，从而 AX=0的基础解系仅含有一个线性无关的解向量，(D)是正确的；(C)不对，因为只有实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，一般矩阵不一定有此性质，选(C)5.设 A为三阶矩阵，方程组 AX=0的基础解系为 1 ， 2 ，又 =一 2为 A的一个特征值，其对应的特征向量为 3 ，下列向量中是 A的特征向量的是( )（分数：2.00）A. 1 + 3B.3 3 一 1C. 1 +2 2 +3 3D.2 1 一 3 2 解析：解析：因为 AX=0有非零解，所以 r(A) 1， 2为特征值 0所对应的线性无关的特征向量，显然特征值 0为二重特征值，若 1+ 3为属于特
10、征值 0的特征向量，则有 A( 1+ 3)= 0( 1+ 3)，注意到A( 1+ 3)=0 1一 2 3=一 2 3，故一 2 3= 0( 1+ 3)或 0 1+( 0+2) 3=0， 因为 1， 3线性无关，所以有 0=0， 0+2=0，矛盾，故 1+ 3不是特征向量，同理可证 3 3一 1及 1+2 2+3 3也不是特征向量，显然 2 1一 3 2为特征值 0对应的特征向量，选(D)二、填空题(总题数：4，分数：8.00)6.设 A是三阶矩阵，其三个特征值为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： A * 的特征值为 ）解析：7.设 A为 n阶可逆矩阵，若 A有特征值 0
11、 ，则(A * ) 2 +3A * +2E有特征值 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：因为 A可逆，所以 0 0，A * 对应的特征值为 于是(A * ) 2 +3A * +2E对应的特征值为 ）解析：8.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由 得 1 =1， 2 = 3 =2， 因为 A可对角化，所以 r(2E一 A)=1， 由 ）解析：9.设 A为三阶实对称矩阵，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以有 6+3a+36a=0，a=3）解析：三、解答题(总题数：15，分数：
12、40.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：11.求矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由|EA=( 一 1) 2 ( 一 4)一 0得 1 = 2 =1， 3 =4 当 =1 时，由(EA)X=0 得属于特征值 =1 的线性无关的特征向量为 全部特征向量为 k 1 1 +k 2 1 (k 1 ，k 2 不同时为 0)； 当 =4 时，由(4EA)X=0 得属于特征值 =4 的线性无关的特征向量为 )解析：设 （分数：4.00）(1).求 a，b 及 A的所有特征值与特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A= 得 即 解得 a=1，b=1
13、，=3 由 )解析：(2).A可否对角化?若可对角化，求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP为对角矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A的特征值都是单值，所以 A可相似对角化 将 1 =0代入(EA)X=0得 1 =0对应的线性无关特征向量为 将 2 =2代入(EA)X=0 得 2 =2对应的线性无关特征向量为 将 3 =3代入(EA)X=0 得 3 =3对应的线性无关特征向量为 )解析：12.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 )解析：13.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 1 = 2 =2及 1 + 2 + 3 =tr(A)=10得 3 =6 因
14、为矩阵 A有三个线性无关的特征向量，所以 r(2EA)=1， 由 得 a=2，b=一 2 将 1 = 2 =2代入(EA)X=0， 由 得 1 = 2 =2对应的线性无关的特征向量为 将 3 =6代入(E 一 A)X=O， 由 得 3 =6对应的线性无关的特征向量为 令 则 P可逆且 )解析：14.设 A T A=E，证明：A 的实特征值的绝对值为（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 AX=X，则 X T A T =X T ，从而有 X T A T AX=X T AX= 2 X T X，因为A T A=E， 所以( 2 一 1)X T X=0，而 X T X=X| 2 0，所以 2 =
15、1，于是|=1)解析：设 为 A的特征值（分数：6.00）(1).证明：A T 与 A特征值相等；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为|EA T |=|(EA) T |=|EA|，所以 A T 与 A的特征值相等)解析：(2).求 A 2 ，A 2 +2A+3E的特征值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A= 0 (0)， 所以 A 2 = 0 A= 0 2 ，(A 2 +2A+3E)=( 0 2 +2 0 +3)， 于是 A 2 ，A 2 +2A+3E的特征值分别为 0 2 ， 0 2 +2 0 +3)解析：(3).若|A|0，求 A -1 ，A * ，EA -1 的
16、特征值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为|A|= 1 2 n 0，所以 0 0，由 A= 0 得 由 A * A=|A| 得 于是 A -1 ，A * ，E 一 A -1 的特征值分别为 )解析：15.设 X 1 ，X 2 分别为 A的属于不同特征值 1 ， 2 的特征向量证明：X 1 +X 2 不是 A的特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：反证法 不妨设 X 1 +X 2 是 A的属于特征值 的特征向量，则有 A(X 1 +X 2 )一(X 1 +X 2 )， 因为 AX 1 = 1 X 1 ，AX 2 = 2 X 2 ，所以( 1 一 )X 1 +( 2 )X 2
17、 =0， 而 X 1 ，X 2 线性无关，于是 1 = 2 =，矛盾，故 X 1 +X 2 不是 A的特征向量)解析：16.求 A的全部特征值，并证明 A可以对角化 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 T =k，则 A 2 =kA， 设 AX=X，则 A 2 X= 2 X=kX，即 (k)X=0， 因为 X0，所以矩阵 A的特征值为 =0 或 =k 由 1 + n =tr(A)且 tr(A)=k得 1 = n-1 =0， n =k 因为 r(A)=1，所以方程组(0EA)X=0 的基础解系含有 n1个线性无关的解向量，即 =0 有 n=1个线性无关的特征向量，故 A可以对角化)解析：
18、设向量 =(a 1 ，a 2 ，a n ) T ，其中 a 1 0，A= T （分数：4.00）(1).求方程组 AX=O的通解；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r(A)=1，所以 AX=0的基础解系含有 n一 1个线性无关的特征向量，其基础解系为 )解析：(2).求 A的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 2 =kA，其中 )解析：17.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一 由 得|6EA n |=6 2 (62 n ) 方法二 A= T ，由|EA|= 2 ( 一 2)=0得 1 = 2 =0， 3 =2
19、， 因为 6EA n 的特征值为 6，6，62 n ，所以|6EA n |=6 2 (6一 2 n ) 方法三 因为 A是实对称矩阵且 1 = 2 =0， 3 =2，所以存在可逆阵 P，使得 )解析：18.设 A为三阶矩阵，A 的特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =3，其对应的线性无关的特征向量分别 向量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一 方法二 令 =x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 ，解得 x 1 =2，x= 2 一 2，x 3 =1，则 )解析：19.设 A是 n阶矩阵， 是 A的特征值，其对应的特征向量为 X，证明： 2 是 A 2 的特征值，X 为特征向量若
20、 2 有特征值 ，其对应的特征向量为 X，X 是否一定为 A的特征向量?说明理由（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AX=X 得 A 2 X=A(AX)=A(X)=AX= 2 X可知 2 是 A 2 的特征值，X 为特征向量若 A 2 X=X，其中 A 2 =O，A 2 的特征值为 =0，取 显然 A 2 X=OX，但 )解析：设 A，B 为 n阶矩阵（分数：4.00）(1).是否有 ABBA；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：一般情况下，AB 与 BA不相似，如 )解析：(2).若 A有特征值 1，2，n，证明：ABBA（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为|A|=n!0，所以 A为可逆矩阵，取 P=A，则有 P -1 ABP=BA，故 ABBA)解析：设 为 n维非零列向量， （分数：4.00）(1).证明：A 可逆并求 A -1 ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 )解析：(2).证明： 为矩阵 A的特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 )解析：
