1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 140 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设对方阵 A 施行初等初换得到方程 B，且|A|0，则( )（分数：2.00）A.必有|B|=|A|B.必有|B|A|C.必有|B|0D.|B|=0 或|B|0 依赖于所作初等变换3.设 A、B、A+B、A 1 +B 1 均为 n 阶可逆阵，则(A 1 +B 1 ) 1 =( )（分数：2.00）A.A 1 +B 1B.A+BC.A(A+B) 1 BD.(A+B) 14.设 1
2、 ， 2 ， m 均为 n 维向量，则( )（分数：2.00）A.若 k 1 1 +k 2 2 +k m m =0，则 1 ， 2 ， m 线性相关B.若对任意一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k m ，都有 k 1 1 +k 2 2 +k m m 0，则 1 ， 2 ， m 线性无关C.若 1 ， 2 ， m 线性相关，则对任意一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k m ，都有 k 1 1 +k 2 1 +k m m 。=0D.若 0 1 +0 2 +0 m =0，则 1 ， 2 ， m 线性无关5.已知 1 ， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解， 1 ， 2 是对应齐
3、次线性方程组Ax=0 的基础解系，k 1 ，k 2 为任意常数，则方程组 Ax=b 的通解(一般解)是( )（分数：2.00）A.k 1 1 +k 2 ( 1 + 2 )+ B.k 1 1 +k 2 ( 1 2 )+ C.k 1 1 +k 2 ( 1 + 2 )+ D.k 1 1 +k 2 ( 1 2 ) 6.则 A 与 B( ) （分数：2.00）A.合同且相似B.合同但不相似C.不合同但相似D.不合同且不相似二、填空题(总题数：5，分数：10.00)7. （分数：2.00）填空项 1:_8.设 3 阶方阵 A、B 满足关系式 A 1 BA=6A+BA，其中 A= （分数：2.00）填空项
4、1:_9.设 A、B 均为 3 阶矩阵，E 是 3 阶矩阵，已知 AB=2A+B，B= （分数：2.00）填空项 1:_10.若向量组()： 1 =(1，0，0) T ， 2 =(1，1，0) T ， 3 =(1，1，1) T 可由向量组()： 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表示，则()的秩为 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设 1 =(1，2，0) T 和 2 =(1，0，1) T 都是方阵 A 的对应于特征值 2 的特征向量又=(1，2，2) T ，则 A= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：14，分数：34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演
5、算步骤。_13.实 为实的 n 维非零列向量，E 为 n 阶单位矩阵，证明：矩阵 A=E （分数：2.00）_设矩阵 A=I T ，其中 I 是 n 阶单位矩阵， 是 n 维非零列向量，证明：（分数：4.00）(1).A 2 =A 的充要条件是 T =1；（分数：2.00）_(2).当 T =1 时，A 是不可逆矩阵（分数：2.00）_设 A 是 n 阶可逆方阵，将 A 的第 i 行与第 j 行对换后所得的矩阵记为 B（分数：4.00）(1).证明 B 可逆；（分数：2.00）_(2).求 AB 1 （分数：2.00）_14.设 3 阶方阵 A 的逆阵为 A 1 = （分数：2.00）_15.
6、已知 3 阶矩阵 A 与 3 维向量 x，使得向量组 x，Ax，A 2 x 线性无关且满足 A 3 x=3Ax2A 2 x (1)记矩阵 P=x，Ax，A 2 x，求 3 阶矩阵 B，使 A=PBP 1 ； (2)计算行列式|A+E|（分数：2.00）_16.若矩阵 A mn 、B np 满足是 AB=O，则有 r(A)+r(B)n（分数：2.00）_17.设 1 ， 2 ， m 为线性方程组 Ax=0 的一个基础解系， 1 =t 1 1 +t 2 2 ， 2 =t 1 2 +t 2 3 ， m =t 1 m +t 2 2 1 ，其中 t 1 ，t 2 为实常数，试问 t 1 ，t 2 满足什
7、么关系时， 1 ， 2 ， m 也为 Ax=0 的一个基础解系（分数：2.00）_18.参数 p、t 取何值时，方程组 （分数：2.00）_已知非齐次线性方程组 （分数：4.00）(1).证明方程组系数矩阵 A 的秩 r(A)=2；（分数：2.00）_(2).求 a，b 的值及方程组的通解（分数：2.00）_19.设有 4 阶方阵 A 满条件| （分数：2.00）_20.设 n 阶矩阵 A，B 可交换、即 AB=BA，且 A 有 n 个互不相同的特征值证明：(1)A 的特征向量都是 B 的特征向量；(2)B 相似于对角矩阵（分数：2.00）_已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=5x
8、 1 2 +5x 2 2 +cx 3 2 2x 1 x 2 +6x 1 x 3 6x 2 x 3 的秩为2（分数：4.00）(1).求参数 c 及 f 所对应矩阵的特征值；（分数：2.00）_(2).指出方程 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=1 表示何种二次曲面（分数：2.00）_21.设 A、B 为同阶正定矩阵，且 AB=BA，证明：AB 为正定矩阵（分数：2.00）_考研数学三（线性代数）模拟试卷 140 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2
9、.设对方阵 A 施行初等初换得到方程 B，且|A|0，则( )（分数：2.00）A.必有|B|=|A|B.必有|B|A|C.必有|B|0 D.|B|=0 或|B|0 依赖于所作初等变换解析：3.设 A、B、A+B、A 1 +B 1 均为 n 阶可逆阵，则(A 1 +B 1 ) 1 =( )（分数：2.00）A.A 1 +B 1B.A+BC.A(A+B) 1 B D.(A+B) 1解析：解析：由(A 1 +B 1 )A(A+B) 1 B=(E+B 1 A)(A+B) 1 B=B 1 (B+A)(A+B) 1 B=B 1 B=E，或 A(A+B) 1 B=B 1 (A+B)A 1 1 =(B 1
10、AA 1 +B 1 BA 1 ) 1 =(B 1 +A 1 ) 1 =(A 1 +B 1 ) 1 即知只有 C 正确4.设 1 ， 2 ， m 均为 n 维向量，则( )（分数：2.00）A.若 k 1 1 +k 2 2 +k m m =0，则 1 ， 2 ， m 线性相关B.若对任意一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k m ，都有 k 1 1 +k 2 2 +k m m 0，则 1 ， 2 ， m 线性无关 C.若 1 ， 2 ， m 线性相关，则对任意一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k m ，都有 k 1 1 +k 2 1 +k m m 。=0D.若 0 1 +0 2 +0 m
11、=0，则 1 ， 2 ， m 线性无关解析：5.已知 1 ， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解， 1 ， 2 是对应齐次线性方程组Ax=0 的基础解系，k 1 ，k 2 为任意常数，则方程组 Ax=b 的通解(一般解)是( )（分数：2.00）A.k 1 1 +k 2 ( 1 + 2 )+ B.k 1 1 +k 2 ( 1 2 )+ C.k 1 1 +k 2 ( 1 + 2 )+ D.k 1 1 +k 2 ( 1 2 ) 解析：解析：注意 1 ， 1 2 亦为 Ax=0 的基础解系，而 12( 1 + 2 )为 Ax=b 的一个特解由通解的结构即知 B 正确6.则 A 与 B(
12、 ) （分数：2.00）A.合同且相似 B.合同但不相似C.不合同但相似D.不合同且不相似解析：解析：A 的特征值为 4，0，0，0，A 为实对称矩阵，故存在正交矩阵 P，使 P 1 AP=P T AP=B，即A 与 B 既合同又相似二、填空题(总题数：5，分数：10.00)7. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：n!(2n)）解析：解析：从第 j 列提出公因子 j，再将第 j 列的(1)倍加到第 1 列(j=2，3，n)，则化成了上三角行列式8.设 3 阶方阵 A、B 满足关系式 A 1 BA=6A+BA，其中 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答
13、案：*）解析：解析：B=(A 1 E) 1 6AA 1 =6(A 1 E) 1 9.设 A、B 均为 3 阶矩阵，E 是 3 阶矩阵，已知 AB=2A+B，B= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：(AE)B2A=O，(AE)B2(AE)=2E，(AE)(B2E)=2E，(AE)12(B2E)1=E， (AE) 1 =12(B2E) 10.若向量组()： 1 =(1，0，0) T ， 2 =(1，1，0) T ， 3 =(1，1，1) T 可由向量组()： 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表示，则()的秩为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正
14、确答案：3）解析：解析：由条件，有 3=r()r()3，11.设 1 =(1，2，0) T 和 2 =(1，0，1) T 都是方阵 A 的对应于特征值 2 的特征向量又=(1，2，2) T ，则 A= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(2，4，4) T ）解析：解析：= 1 2 2 仍是 A 的属于特征值 =2 的特征向量，故 A=2=(2，4，4) T 三、解答题(总题数：14，分数：34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：13.实 为实的 n 维非零列向量，E 为 n 阶单位矩阵，证明：矩阵 A=E （分数：2.00）_正确答案：(
15、正确答案：记正常数 b=2 T 则 A=Eb T ， )解析：设矩阵 A=I T ，其中 I 是 n 阶单位矩阵， 是 n 维非零列向量，证明：（分数：4.00）(1).A 2 =A 的充要条件是 T =1；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 2 =A (I T )(I T )=I T I2 T +( T ) T =I T T +( T ) T =O ( T 1) T =O(注意 T O) )解析：(2).当 T =1 时，A 是不可逆矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 T =1 时，A 2 =A，若 A 可逆，则有 A 1 A 2 =A 1 A，即 A=I， )解析：
16、设 A 是 n 阶可逆方阵，将 A 的第 i 行与第 j 行对换后所得的矩阵记为 B（分数：4.00）(1).证明 B 可逆；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因|A|0，而|B|=|A|0，故 B 可逆；)解析：(2).求 AB 1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 E ij 是 n 阶单位矩阵的第 i 行和第 j 行对换后所得的初等方阵，则 B=E ij A，因而 AB 1 =A(E ij A) 1 =AA 1 E ij 1 =E ij )解析：14.设 3 阶方阵 A 的逆阵为 A 1 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(A * ) 1 =1|A|A=|A
17、 1 |(A 1 ) 1 )解析：15.已知 3 阶矩阵 A 与 3 维向量 x，使得向量组 x，Ax，A 2 x 线性无关且满足 A 3 x=3Ax2A 2 x (1)记矩阵 P=x，Ax，A 2 x，求 3 阶矩阵 B，使 A=PBP 1 ； (2)计算行列式|A+E|（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)AP=Ax Ax A 2 x=Ax A 2 x A 3 x=Ax A 2 x 3Ax2A 2 x =x Ax A 2 x =PB 其中 使 AP=PB，或 A=PBP 1 (2)由(1)有 A=PBP 1 A+E=P(B+E)P 1 )解析：16.若矩阵 A mn 、B np
18、满足是 AB=O，则有 r(A)+r(B)n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：AB=O 说明 B 的每一列都是齐次线性方程组 Ax=0 的解向量，在 B 的列向量中有 r(B)个线性无关的向量，故方程组 Ax=0 至少有 r(B)个线性无关的解向量，因而其基础解系至少含 r(B)个向量，从而有 nr(A)r(B)，或 r(A)+r(B)n)解析：17.设 1 ， 2 ， m 为线性方程组 Ax=0 的一个基础解系， 1 =t 1 1 +t 2 2 ， 2 =t 1 2 +t 2 3 ， m =t 1 m +t 2 2 1 ，其中 t 1 ，t 2 为实常数，试问 t 1 ，t 2 满足
19、什么关系时， 1 ， 2 ， m 也为 Ax=0 的一个基础解系（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 Ax=0 的解的线性组合都是 Ax=0 的解，知 1 ， m 均为 Ax=0 的解已知 Ax=0 的基础解系含 m 个向量，故 1 ， 2 ， m 也为 Ax=0 的基础解系 1 ， 2 ， m 线性无关 m 阶行列式 )解析：18.参数 p、t 取何值时，方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由增广矩阵的初等行变换： =B (1)当 t2 时，r(A)r( )，方程组无解； (2)当 t=2 且 p=8 时，由 得通解为 x=(1，1，0，0) T +c 1 (4，2，1
20、，0) T +c 2 (1，2，0，1) T (3)当 t=2 且 p8 时，由 )解析：已知非齐次线性方程组 （分数：4.00）(1).证明方程组系数矩阵 A 的秩 r(A)=2；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 1 ， 2 ， 3 是 Ax=b 的 3 个线性无关解，则 1 2 ， 1 3 是 Ax=0 的两个线性无关解，故 Ax=0 的基础解系所含向量个数 4r(A)2， r(A)2，又显然有r(A)2， )解析：(2).求 a，b 的值及方程组的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：a=2，b=3，通解 x=(2，3，0，0) T +k 1 (2，1，1，0) T
21、+k 2 (4，5，0，1) T )解析：19.设有 4 阶方阵 A 满条件| （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AA T =2I 取行列式得|A|=2 4 =16，因|A|0，得|A|=4，A 有一个特征值为= A * 有一个特征值为|A|=2 )解析：20.设 n 阶矩阵 A，B 可交换、即 AB=BA，且 A 有 n 个互不相同的特征值证明：(1)A 的特征向量都是 B 的特征向量；(2)B 相似于对角矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 A 有 n 个互不相同特征值，故 A 有 n 个线性无关的特征向量，因此，如果(1)成立，则(2)成立，故只需证明(1)。下
22、证(1)：设 为 A 的特征向量，则有数 使 A=，两端左乘B，并利用 AB=BA，得 A(B)=(B)，若 B0，则 B 亦为 A 的属于特征值 的特征向量，因方程组(EA)x=0 的解空间为 1 维的，故有数 ，使 B=，故 亦为 B 的特征向量；若 B=0，则B=0，即 为 B 的属于特征值 0 的特征向量，总之， 必为 B 的特征向量，由于 的任意性，知 A的特征向量都是 B 的特征向量)解析：已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=5x 1 2 +5x 2 2 +cx 3 2 2x 1 x 2 +6x 1 x 3 6x 2 x 3 的秩为2（分数：4.00）(1).求参数 c
23、 及 f 所对应矩阵的特征值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 的秩为 2， c=3 由|EA| )解析：(2).指出方程 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=1 表示何种二次曲面（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：标准方程为 4y 2 2 +9y 3 2 =1，故曲面为椭圆柱面)解析：21.设 A、B 为同阶正定矩阵，且 AB=BA，证明：AB 为正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(AB) T =B T A T =BA=AB，故 AB 也是实对称矩阵因 A 正定，有正定阵 S，使 A=S 2 于是 S 1 (AB)S=S 1 SSBS=SBS=S T BS 由 B 正定，知 S T BS 正定，故 S T BS 的特征值全大于 0，故与之相似的矩阵 AB 的特征值全大于 0，因此 AB 正定)解析：
