1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 94 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 是 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行上得曰，将 B 的第 1 列的一 1 倍加到第 2 列上得C （分数：2.00）A.P 一 1 APB.PAP 一 1C.P T APD.PAP T3.设 A 为 3 阶矩阵，P=( 1 , 2 , 3 )为 3 阶可逆矩阵，Q=( 1 + 2 ， 2 ， 3 )已知 （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 A 是 3
2、阶可逆矩阵，交换 A 的 1，2 行得 B，则（分数：2.00）A.交换 A * 的 1，2 行得到 B * B.交换 A * 的 1，2 列得到 B * C.交换 A * 的 1，2 行得到一 B * D.交换 A * 的 1，2 列得到一 B * 5.设 A，B，C 都是 n 阶矩阵，满足 B=E+AB，C=A+CA，则 BC 为（分数：2.00）A.EB.一 EC.AD.一 A二、解答题(总题数：26，分数：52.00)6.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_7.设 A= T ，其中 和 都是 n 维列向量，证明对正整数 k，A k =( T ) k-1 A=(tr(A) k
3、-1 A (tr(A)是 A 的对角线上元素之和，称为 A 的迹数)（分数：2.00）_8. （分数：2.00）_9.设 （分数：2.00）_10.求 （分数：2.00）_11.设 （分数：2.00）_12.求 （分数：2.00）_13.3 阶矩阵 A，B 满足 ABA * =2BA * +E，其中 （分数：2.00）_14.设 A 为 3 阶矩阵， 1 , 2 , 3 是线性无关的 3 维列向量组，满足 A 1 = 1 + 2 + 3 ，A 2 =2 2 + 3 ，A 3 =2 2 +3 3 求作矩阵 B，使得 A( 1 , 2 , 3 )=( 1 , 2 , 3 )B（分数：2.00）_A
4、 是 3 阶矩阵， 是 3 维列向量，使得 P=(，A，A 2 )可逆，并且 A 3 =3A 一 2A 2 （分数：4.00）(1).求 B，使得 A=PBP 一 1 （分数：2.00）_(2).求A+E（分数：2.00）_15.设 3 阶矩阵 A=( 1 , 2 , 3 )，A=1，B=( 1 + 2 + 3 ， 1 +2 2 +3 3 ， 1 +4 2 +9 3 )，求B（分数：2.00）_16.已知 （分数：2.00）_17.设 A，B 和 C 都是 n 阶矩阵，其中 A，B 可逆，求下列 2n 阶矩阵的逆矩阵(1) (2) (3)(4) （分数：2.00）_18.设 3 阶矩阵 （分数
5、：2.00）_19.矩阵 （分数：2.00）_20.4 阶矩阵 A，B 满足 ABA 一 1 =BA 一 1 +3E，已知 （分数：2.00）_21.已知 （分数：2.00）_22.设 3 阶矩阵 A 的各行元素之和都为 2，向量 1 =(一 1，1，1) T ， 2 =(2，一 1，1) T 都是齐次线性方程组 AX=0 的解求 A（分数：2.00）_23.设 A 是 3 阶矩阵，交换 A 的 1，2 列得 B，再把 B 的第 2 列加到第 3 列上，得 C求 Q，使得C=AQ（分数：2.00）_24.设 A，B 和 C 都是 n 阶矩阵，其中 A，B 可逆，求下列 2n 阶矩阵的伴随矩阵(
6、1) (2) (3)(4) （分数：2.00）_25.设 A 是 n 阶非零实矩阵，满足 A * =A T 证明A0（分数：2.00）_26.设 A=( 1 , 2 , 3 )，B=( 1 ， 2 ， 2 )都是 3 阶矩阵 规定 3 阶矩阵 （分数：2.00）_27.设 A 是 n 阶实反对称矩阵，证明 E+A 可逆（分数：2.00）_28.设 A，B 都是凡阶矩阵，EAB 可逆证明 EBA 也可逆，并且(EBA) -1 =E+B(EAB) -1 A（分数：2.00）_29.设 A，B 是 3 阶矩阵，A 可逆，它们满足 2A 一 1 B=B 一 4E证明 A 一 2E 可逆（分数：2.00
7、）_30.设 n 阶矩阵 A，B 满足 AB=aA+bB其中 ab0，证明(1)AbE 和 BaE 都可逆(2)AB=BA（分数：2.00）_考研数学三（线性代数）模拟试卷 94 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 是 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行上得曰，将 B 的第 1 列的一 1 倍加到第 2 列上得C （分数：2.00）A.P 一 1 APB.PAP 一 1 C.P T APD.PAP T解析：解析：根据初等矩阵的有
8、关性质， 3.设 A 为 3 阶矩阵，P=( 1 , 2 , 3 )为 3 阶可逆矩阵，Q=( 1 + 2 ， 2 ， 3 )已知 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：显然关键是 Q 和 P 的关系 由矩阵分解，有 于是4.设 A 是 3 阶可逆矩阵，交换 A 的 1，2 行得 B，则（分数：2.00）A.交换 A * 的 1，2 行得到 B * B.交换 A * 的 1，2 列得到 B * C.交换 A * 的 1，2 行得到一 B * D.交换 A * 的 1，2 列得到一 B * 解析：解析：分析 因为 A 是可逆矩阵，所以 B 也可逆，则 于是 5.设 A，B，C 都是 n
9、 阶矩阵，满足 B=E+AB，C=A+CA，则 BC 为（分数：2.00）A.E B.一 EC.AD.一 A解析：解析：由 B=E+AB 得(EA)B=E， 由 C=A+CA 得 C(E 一 A)=A， 则 C(EA)B=AB， 得 C=AB B 一C=E+ABAB=E二、解答题(总题数：26，分数：52.00)6.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：7.设 A= T ，其中 和 都是 n 维列向量，证明对正整数 k，A k =( T ) k-1 A=(tr(A) k-1 A (tr(A)是 A 的对角线上元素之和，称为 A 的迹数)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
10、A k =( T ) k = T T T T =()( T )( T ) T =( T ) k-1 A T =a 1 b 1 +a 2 b 2 +a n b n ，而 a 1 b 1 ，a 2 b 2 ，a n b n 正好是 A= T 的对角线上各元素，于是 T =tr(A)，A k =(tr(A) k-1 A)解析：8. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：( T ) 2 =( T ) T ，计算 )解析：9.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 的秩为 2，不能用例 25 的方法直接求 A 的方幂我们先求 A 2 )解析：10.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答
11、案：记此矩阵为 A )解析：11.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)A n =A n-2 +A 2 一 E 即 A n 一 A n-2 =A 2 一 E A n-2 (A 2 一 E)=A 2 一 E 只要证明 A(A 2 一 E)=A 2 一 E此式可以直接检验： )解析：12.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记此矩阵为 A，记 则 A=B+E 因为 B 和 E 乘积可交换，对 A 10 =(B+E) 10 可用二项展开式： 注意矩阵 B 满足： 而当 n2 时 B n 是零矩阵 于是 A 10 =C 10 8 B 2 +C 10 9 B+E=45B 2 +1
12、0B+E= )解析：13.3 阶矩阵 A，B 满足 ABA * =2BA * +E，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用 A 从右侧乘 ABA * =2BA * +E 的两边，得 AAB=2AB+A， A(A 一 2E)B=A， 两边取行列式 A 3 A 一 2EB=A， )解析：14.设 A 为 3 阶矩阵， 1 , 2 , 3 是线性无关的 3 维列向量组，满足 A 1 = 1 + 2 + 3 ，A 2 =2 2 + 3 ，A 3 =2 2 +3 3 求作矩阵 B，使得 A( 1 , 2 , 3 )=( 1 , 2 , 3 )B（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于
13、1 , 2 , 3 ，线性无关，矩阵 P=( 1 , 2 , 3 )可逆，并且 E=P 一 1 ( 1 , 2 , 3 )=(P 一 1 1 ，P 一 1 2 ，P 一 1 3 )，则 P 一 1 1 =(1，0，0)T，P 一 1 2 =(0，1，0) T ，P 一 1 3 =(0，0，1) T ，于是 B=P 一 1 AP=P 一 1 A( 1 , 2 , 3 ) =P 一 1 ( 1 + 2 + 3 ，2 2 + 3 ，2 2 +3 3 )解析：A 是 3 阶矩阵， 是 3 维列向量，使得 P=(，A，A 2 )可逆，并且 A 3 =3A 一 2A 2 （分数：4.00）(1).求 B，
14、使得 A=PBP 一 1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A=PBP 一 1 即 AP=PB 或 A(，A，A 2 )=(，A，A 2 )B A(，A，A 2 )=(A，A 2 ，A 3 )=(A，A 2 ，3A 一 2A 2 ) )解析：(2).求A+E（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A+E=P(B+E)P 一 1 则 )解析：15.设 3 阶矩阵 A=( 1 , 2 , 3 )，A=1，B=( 1 + 2 + 3 ， 1 +2 2 +3 3 ， 1 +4 2 +9 3 )，求B（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：B=( 1 + 2 + 3 ， 1 +2 2 +3
15、3 ， 1 +4 2 +9 3 ) )解析：16.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 =(a 1 ，a 2 ，a 3 ) T ，=(b 1 ，b 2 ，b 3 ) T ，=(c 1 ，c 2 ，c 3 ) T ，所求行列式相应的矩阵为：(+，+，+) 将它对(，)做矩阵分解，得 两边求行列式，得所求行列式的值： )解析：17.设 A，B 和 C 都是 n 阶矩阵，其中 A，B 可逆，求下列 2n 阶矩阵的逆矩阵(1) (2) (3)(4) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A，B 都可逆，所以这几个矩阵都可逆 (1) 的逆矩阵可用初等变换法计算： (2) 的逆矩阵
16、也可用初等变换法计算： (3) 的逆矩阵用“待定系数法”计算：即设它的逆矩阵为 求 D i1 . 由 则 BD 21 =0，得 D 21 =0(因为 B 可逆) BD 22 =E，得 D 22 =B 一 1 AD 11 +CD 21 =E，即 AD 11 =E，得 D 11 =A 一 1 AD 12 +CD 22 =0，得 D 12 =一 A 一 1 CB 一 1 (4)用的方法，得 )解析：18.设 3 阶矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 一 1 XA=XA+2AA 一 1 X=X+2EX=AX+2A(EA)X=2A，用初等变换法解此基本矩阵方程： )解析：19.矩阵 （分
17、数：2.00）_正确答案：(正确答案：化 2A=XA 一 4X 得 X(A 一 4E)=2A用初等变换法解此矩阵方程： )解析：20.4 阶矩阵 A，B 满足 ABA 一 1 =BA 一 1 +3E，已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用 A 右乘 ABA 一 1 =BA 一 1 +3E 的两边，得 AB=B+3A；再用 A * 左乘两边，得 AB=A * B+3AE， 由A * =8，得A=2，代入上式： (2EA * )B=6E， 用初等变换法求得 )解析：21.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 M+2B=AB+2X 化得：X(A 一 2E)=(A 一 2E)
18、B，即 X=(A 一 2E)B(A 一 2E) 一 1 ，则X 2017 =(A 一 2E)B 2017 (A 一 2E) 一 1 =(A 一 2E)B(A 一 2E) 一 1 =X 再从关于 X 的矩阵方程 X(A 一 2E)=(A 一 2E)B 用初等变换法求解 X： (A 一 2E) T B(A 一 2E) T )=(A T 一 2EB(A T 一 2E) )解析：22.设 3 阶矩阵 A 的各行元素之和都为 2，向量 1 =(一 1，1，1) T ， 2 =(2，一 1，1) T 都是齐次线性方程组 AX=0 的解求 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 3 =(1，1，1)
19、 T ，则 A 3 =(2，2，2) T ，建立矩阵方程： A( 1 , 2 , 3 )=(0，0，2 3 )，用初等变换法解得 )解析：23.设 A 是 3 阶矩阵，交换 A 的 1，2 列得 B，再把 B 的第 2 列加到第 3 列上，得 C求 Q，使得C=AQ（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 A=( 1 , 2 , 3 )，则 B=( 2 , 1 , 3 )，C=( 2 ， 1 ， 1 + 3 )于是 )解析：24.设 A，B 和 C 都是 n 阶矩阵，其中 A，B 可逆，求下列 2n 阶矩阵的伴随矩阵(1) (2) (3)(4) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因
20、为 A，B 都可逆，所以这几个矩阵都可逆于是可利用公式 A * =AA 一 1 来求伴随随矩阵 (1) (2) (3) (4) )解析：25.设 A 是 n 阶非零实矩阵，满足 A * =A T 证明A0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把条件 A * =A T 写出， )解析：26.设 A=( 1 , 2 , 3 )，B=( 1 ， 2 ， 2 )都是 3 阶矩阵 规定 3 阶矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由矩阵乘法的定义可看出(或用乘法的分块法则) )解析：27.设 A 是 n 阶实反对称矩阵，证明 E+A 可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 是一个
21、抽象矩阵，因此用行列式证明是困难的下面的证明思路是通过(E+A)X=0 只有零解米说明结论 设 是一个 n 维实向量，满足(E+A)=0，要证明 =0用 T 左乘上式，得 T (E+A)=0，即 T =一 T A 由下 A 是反对称矩阵， T A 是一个数， T A=( T A) T =一 T A 因此 T A=0 于是 T =0 是实向量，(，)= T =0，从而 =0)解析：28.设 A，B 都是凡阶矩阵，EAB 可逆证明 EBA 也可逆，并且(EBA) -1 =E+B(EAB) -1 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题看似要证明两个结论，实际上只要证明等式(EBA)E+B(
22、EAB) 一 1 A=E 成立，两个结论就都得到了! (EBA)E+B(EAB) 一 1 A=(EBA)+(EBA)B(EAB) 一 1 A =(EBA)+(BBAB)(EAB) 一 1 A =(EBA)+B(EAB)(EAB) 一 1 A =EBA+BA=E)解析：29.设 A，B 是 3 阶矩阵，A 可逆，它们满足 2A 一 1 B=B 一 4E证明 A 一 2E 可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用 A 左乘 2A 一 1 B=B 一 4E 两侧得 2B=AB 一 4A 即 (A 一 2E)B=4A 由 A 可逆，得 A 一 2E 可逆)解析：30.设 n 阶矩阵 A，B 满足 AB=aA+bB其中 ab0，证明(1)AbE 和 BaE 都可逆(2)AB=BA（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)A 一 bE 和 B 一 aE 都可逆 (AbE)(B 一 aE)可逆直接计算(AbE)(B 一aE) (AbE)(BaE)=ABaAbB+abE=abE 因为 ab0，得(AbE)，(BaE)可逆 (2)利用等式(A一 bE)(BaE)=abE，两边除以 ab，得 )解析：
