1、考研数学二-145 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.极限 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 A 为 3 阶矩阵， 1=(1，2，-2) T， 2=(2，1，-1) T， 3=(1，1，t) T是非齐次线性方程组 AX=b 的解向量，其中 b=(1，3，-2) T则 ( )（分数：4.00）A.t=-1，必有 r()=1B.t=-1，必有 r()=2C.t-1，必有 r()=1D.t-1，必有 r()=23. 等于 ( )（分数：4.00）A.B.C.D.4.3 阶矩阵 A 按列分块表示为 A=( 1， 2， 3)，已知
2、|A|=5，则|2 1+ 2- 3，- 1+2 2， 2+ 3|= ( )（分数：4.00）A.25B.30C.35D.405.当 x0 +时，与 等价的无穷小量是 ( )（分数：4.00）A.B.C.D.6.设下列四个命题：(i)在-1，1上 f(x)存在原函数(ii)在-1，1上 f(x)存在定积分 （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10.与微分方程 （分数：4.00）填空项 1:_11.将极坐标下二次积分： （分数：4.00）
3、_12.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_13.方程 yy“+(y)2=0 满足 y(0)=1， （分数：4.00）填空项 1:_14.A，B，A+B，A -1+B-1都是 n 阶可逆矩阵，则(A -1+B-1)-1=_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在点 x0的邻域内有二阶导数，且 f(x0)0，求极限 （分数：9.00）_16.设 x+z=yf(x2-z2)，其中函数 f(u)可微，求 （分数：10.00）_17.已知 f(x)在0，a连续，试证： （分数：10.00）_18.设 f(x)为连续函数且 ，又当 x0 时， （分
4、数：11.00）_19.设平面图形 A 由 x2+y22x 与 yx 所围成，求图形 A 绕直线 x=2 旋转一周所得旋转体的体积（分数：10.00）_20.设 0ab，f(x)在a，b连续，(a，b)可导，且 f(x)0(x(a，b)，试证：存在，(a，b)，使（分数：11.00）_21.设 f(x)可导，且满足 （分数：11.00）_22.设 4 维向量组 1=(1+t，1，1，1) T， 2=(2，2+t，2，2) T， 3=(3，3，3+t，3)T， 4=(4，4，4，4+t) T(1)t 为何值时 1， 2， 3， 4线性相关?(2)当 1， 2， 3， 4线性相关时，求它的一个极大
5、线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示，（分数：11.00）_23.二次型 ，经过正交变换化为标准形： （分数：11.00）_考研数学二-145 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.极限 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 用夹逼定理求数列极限答案解析 *由于*，故*，依夹逼定理。知*选(C)2.设 A 为 3 阶矩阵， 1=(1，2，-2) T， 2=(2，1，-1) T， 3=(1，1，t) T是非齐次线性方程组 AX=b 的解向量，其中 b=(1，3，-2) T则 ( )（分数：4.00）A.t=-1，
6、必有 r()=1B.t=-1，必有 r()=2C.t-1，必有 r()=1 D.t-1，必有 r()=2解析：考点 矩阵的秩，非齐次线性方程组的解答案解析 B=( 1， 2， 3)=*当 t-1 时 r(B)=3，由 AB=(A 1，A 2，A 3)=(b，b，b)知 r(A)=r(AB)=r(b，b，b)=1应选(C)3. 等于 ( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 定积分计算答案解析 令 t=cosx，即 x=arccost，则*，则有*这是因为*在-1，1上连续，为奇函数；-1，1是对称区间应选(A)4.3 阶矩阵 A 按列分块表示为 A=( 1， 2， 3)，已知|A|
7、=5，则|2 1+ 2- 3，- 1+2 2， 2+ 3|= ( )（分数：4.00）A.25B.30 C.35D.40解析：考点 矩阵行列式的计算答案解析 记 B=(2 1+ 2- 3，- 1+2 2， 2+ 3)=*其中*，则*，从而|B|=|A|C|=56=30应选(B)5.当 x0 +时，与 等价的无穷小量是 ( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 无穷小的等价答案解析 *选(B)6.设下列四个命题：(i)在-1，1上 f(x)存在原函数(ii)在-1，1上 f(x)存在定积分 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 导数存在，原函数存在，定积分存在的概念答案解析
8、 f(x)在-1，1上有界，且仅有一个第一类间断点 x=0(f(0-)=01=f(0 +)故定积分*存在；*在-1，1上连续，故在-1，1上存在原函数，即(ii)(iV)正确又 f(x)在 x=0 不连续，从而不可导，因此 f(x)在-1，1上不存在原函数，即(i)不正确又*不存在，表明 g(0)不存在，即(iii)不正确应选(C)7.设 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 二元函数在一点偏导数存在与连续概念答案解析 *不存在，即|f x(0，0)不存在同理 fy(0，0)不存在，但*即*，故 f(x，y)在(0，0)连续选(C)8.设 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考
9、点 定积分定义的函数函数大小比较答案解析 在*中作换元，令 u=t+则 dt=du，此时 f(x)=*|sinu|du=f(x+)选(A)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 求级数极限答案解析 由正弦函数的泰勒公式，有*于是，*故*注：此题也可以变形：sin3x+xf(x)=sin3x-3x+3x+xf(x)，然后去求极限，但如果对分子 sin3x+xf(x)是在加法运算时用等价无穷小代换为 3x+xf(x)则是错误的10.与微分方程 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e -y=x+1）解析：考点 解一阶微分
10、方程答案解析 所求曲线满足的微分方程是*，分离变量得*，y=-ln(x+1)+lnc，则*，即 x+1=ce-y，代入初始条件 y(0)=0，得 c=1，所求曲线方程为e-y=x+111.将极坐标下二次积分： （分数：4.00）_解析：考点 极坐标下二次积分交换次序答案解析 D=(r，)|0r2acos，*12.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 求曲线的弧长答案解析 *13.方程 yy“+(y)2=0 满足 y(0)=1， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 可降阶微分方程的特解答案解析 令 y=p，则*，于是方程化为*则*(p=0
11、不满足*，舍之)*，因此有*代入 y(0)=1，*，得*，于是*，从而 y2=x+c2，代入 y(0)=1，得 c2=l，所求特解为y2=x+1，即*14.A，B，A+B，A -1+B-1都是 n 阶可逆矩阵，则(A -1+B-1)-1=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：B(A+B) -1A）解析：考点 求抽象可逆矩阵的逆矩阵答案解析 (A -1+B-1)-1=(A-1E+EB-1)-1=(A-1BB-1+A-1AB-1)-1=A-1(A+B)B-1-1，从而 (A -1+B-1)-1=(B-1)-1(A+B)-1(A-1)-1=B(A+B)-1A三、解答题(总题数：9，分数：9
12、4.00)15.设 f(x)在点 x0的邻域内有二阶导数，且 f(x0)0，求极限 （分数：9.00）_正确答案：(由带拉格朗日余项的泰勒公式，有*( 介于 x,x0之间)当 xx 0时，x 0，于是*注：本题也可通分后用洛必达法则求之)解析：考点 求-型极限16.设 x+z=yf(x2-z2)，其中函数 f(u)可微，求 （分数：10.00）_正确答案：(在 x+z=yf(x2-z2)两边取微分，得 dx+dz=fdy+yf(2xdx-2zdz)，则*从而*于是*)解析：考点 隐函数，复合函数求偏导运算17.已知 f(x)在0，a连续，试证： （分数：10.00）_正确答案：(*注意到定积分
13、的值与积分变量字母选择无关，从而右端改写为*于是*)解析：考点 交换二次积分次序及定积分性质18.设 f(x)为连续函数且 ，又当 x0 时， （分数：11.00）_正确答案：()*依题意有*由于已知*，故*，得 f(0)=1而且*由(*)式得 k=3 时，*()*即 f(x)在 x=0 可导，且*)解析：考点 极限，等价无穷小，变上限定积分，导数综合题19.设平面图形 A 由 x2+y22x 与 yx 所围成，求图形 A 绕直线 x=2 旋转一周所得旋转体的体积（分数：10.00）_正确答案：(以 y 为积分变量，则 A 的边界曲线为*x2=y (0y1)取 y0，1，y+dy0，1，由微元
14、法知，所求旋转体体积为*)解析：考点 定积分应用；求旋转体体积20.设 0ab，f(x)在a，b连续，(a，b)可导，且 f(x)0(x(a，b)，试证：存在，(a，b)，使（分数：11.00）_正确答案：(f(x)在a，b上满足拉格朗日中值定理条件，故存在 (a，b)，使*又因为 f(x)，g(x)=x 2在a，b连续，(a，b)可导，且 g(x)=2x0(x(a，b)，a0)，根据柯西中值定理存在 (a，b)使*再对 f(x)，h(x)=x 3在a，b上用柯西中值定理，存在 (a，b)，使*比较(1)，(2)，(3)式知存在 ，(a，b)，使*)解析：考点 用微分中值定理做证明题21.设
15、f(x)可导，且满足 （分数：11.00）_正确答案：(在*两边对 x 求导，得*记 y=f(x)，视 y 为自变量，x 是 y 的反函数，则*，于是微分方程可化为*，即*(这是贝努利方程)于是*，令 z=x-2，得*，亦即*从而*进一步有*，代入 y(1)=1，得*故 y=f(x)是由*所确定的隐函数)解析：考点 列一阶微分方程并求解22.设 4 维向量组 1=(1+t，1，1，1) T， 2=(2，2+t，2，2) T， 3=(3，3，3+t，3)T， 4=(4，4，4，4+t) T(1)t 为何值时 1， 2， 3， 4线性相关?(2)当 1， 2， 3， 4线性相关时，求它的一个极大线
16、性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示，（分数：11.00）_正确答案：(记 A=( 1， 2， 3， 4)对 A 作初等行变换，有*(i)当 t=0 时，r(A)=1，从而 1， 2， 3， 4线性相关，此时 1是向量组 1， 2， 3， 4的一个极大线性无关组，且 2=2 1， 3=3 1， 4=4 1(ii)当 t0 时，对矩阵 B 再进行初等行变换，有*如果*，则 r(C)=r(A)=4， 1， 2， 3， 4线性无关如果 t=-10，则 r(C)=r(A)=3， 1， 2， 3， 4线性相关，此时由于 2， 3， 4是 1， 2， 3， 4的一个极大线性无关组且 1=- 2
17、- 3- 4，所以 2， 3， 4是 1， 2， 3， 4的一个极大线性无关组且 1=- 2- 3- 4注：此题也可先算|A|=(t+10)t 3，然后分情况讨论考点 含有参数的向量组线性相关性，极大线性无关组)解析：23.二次型 ，经过正交变换化为标准形： （分数：11.00）_正确答案：(二次型矩阵为*；其标准形矩阵为*，由于二次型经正交变换化为标准形，故 A 与 A 不仅合同而且相似，由相似矩阵有相同的迹知 1+1+1=3+3+t，故 t=-3由*，故 a=-2(二重)对 =3，由(3E-A)X=0 得 A 的两个线性无关特征向量：X1=(1，-1，0) T；X 2=(1，0，-1) T对 =-3，由(-3E-A)X=0 得 A 的特征向量：X3=(1，1，1) T因为 =3 是二重根，对 X1，X 2正交化，得 1=X1=(1，-1，0) T，*单位化得*令*经 x=PY 变换后，二次型 f=XTAX 化为*)解析：考点 含参数的二次型经正交变换化为标准形，求参数及正交变换
