1、考研数学二-高等数函数+极限+连续及答案解析(总分：280.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：36.00)1.设 x0 时，e tanx-ex与 xn是同阶无穷小，则 n 为（分数：4.00）A.1B.2C.3D.42. （分数：4.00）A.B.C.D.3. （分数：4.00）_4.下述命题正确的是（分数：4.00）A.设 f(x)与 g(x)均在 x0处不连续，则 f(x)g(x)在 x0处必不连续B.设 g(x)在 x0处连续，f(x 0)=0，则C.设在 x=x0的去心左邻域内 f(x)g(x)，D.5. （分数：4.00）A.B.C.D.6.设当 xx 0时，
2、f(x)与 g(x)均为(x-x 0)的同阶无穷小，则（分数：4.00）A.f(x)-g(x)必是 x-x0的同阶无穷小B.f(x)-g(x)必是 x-x0的高阶无穷小C.f(x)g(x)必是 x-x0的高阶无穷小D.f(x)g(x)必是 x-x0的同阶无穷小7.下列命题设|f(x)|在 x=x0连续，则 f(x)在 x=x0必连续 （分数：4.00）A.B.C.D.8. （分数：4.00）A.B.C.D.9. （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：13，分数：64.00)10. （分数：4.00）填空项 1:_11.在区间0，1上函数 f(x)=nx(1-x)n的最大值记为
3、M(n)则 （分数：4.00）填空项 1:_12. （分数：4.00）填空项 1:_13. （分数：4.00）填空项 1:_14. （分数：4.00）填空项 1:_15. （分数：4.00）填空项 1:_16. （分数：4.00）填空项 1:_17. （分数：4.00）填空项 1:_18. （分数：4.00）填空项 1:_19. （分数：4.00）填空项 1:_20.设 y=y(x)满足 y“+(x-1)y+x2y=ex且 y(0)=0，y(0)=1，则 （分数：4.00）填空项 1:_21. （分数：4.00）填空项 1:_设 （分数：16.00）填空项 1:_填空项 1:_填空项 1:_填
4、空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：180.00)23. （分数：10.00）_24. （分数：10.00）_25. （分数：10.00）_26. （分数：10.00）_27. （分数：10.00）_28. （分数：10.00）_设 （分数：30.00）_(2). （分数：10.00）_(3). （分数：10.00）_29.已知常数 a0，b0，且 （分数：10.00）_30.设 （分数：10.00）_31. （分数：10.00）_32.设当 0x1 时 f(x)=xsinx，对于其它 x，f(x)满足 f(x)+k=2f(x+1)，求常数 k 使 f(x)在 x=0 处连续（分数：1
5、0.00）_33. （分数：10.00）_34. （分数：10.00）_35.设 x10， ，证明 （分数：10.00）_36.设对任意 x 和 y，函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)，并且 （分数：10.00）_37.设常数 a-1， （分数：10.00）_考研数学二-高等数函数+极限+连续答案解析(总分：280.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：36.00)1.设 x0 时，e tanx-ex与 xn是同阶无穷小，则 n 为（分数：4.00）A.1B.2C.3 D.4解析：*所以 n=3，选(C) 2. （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：因
6、*，由 P4 定理 1.1.2(1)知存在 0，当 0x 时 f(x)有界因*，由定理 1.1.2(2)知，存在 X0，当 x(X，+)时*有界，又|1-cosx|2，所以当 x(X，+)时 f(x)有界又 f(x)在，X上连续，从而有界综合之，f(x)在(0，+)上有界选(D) 3. （分数：4.00）_解析：先写出选项中各个函数的具体表达式(A) 因在 x=0 的去心邻域*，故 maxf(x)，g(x)4.下述命题正确的是（分数：4.00）A.设 f(x)与 g(x)均在 x0处不连续，则 f(x)g(x)在 x0处必不连续B.设 g(x)在 x0处连续，f(x 0)=0，则C.设在 x=
7、x0的去心左邻域内 f(x)g(x)，D. 解析：由*，ab，所以*由保号性定理知，存在去心邻域*选(D) 其他均可举出反例5. （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考虑分母为 0 处*所以 x=0 为 f(x)的跳跃间断点选(B) 6.设当 xx 0时，f(x)与 g(x)均为(x-x 0)的同阶无穷小，则（分数：4.00）A.f(x)-g(x)必是 x-x0的同阶无穷小B.f(x)-g(x)必是 x-x0的高阶无穷小C.f(x)g(x)必是 x-x0的高阶无穷小 D.f(x)g(x)必是 x-x0的同阶无穷小解析：由题设*故*选(C) 7.下列命题设|f(x)|在 x=x0连续，则
8、f(x)在 x=x0必连续 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：、都不正确选(A) 的反例：*f(x)在 x=0 处间断，而|f(x)|在 x=0 处连续的反例：*有*，而 f(x)在 x=x0处并不连续的反例：设 f(x)在 x=x0连续且 f(x0)=0，g(x)在 x=x0的邻域有定义且有界但不连续，则显然有*连续的反例：*f(x)+g(x)0，它在 x=0 是连续的8. （分数：4.00）A.B.C. D.解析：若*存在，而由已知*存在，则*存在，与*不存在矛盾，故*必不存在选(C) 9. （分数：4.00）A.B. C.D.解析：先求极限得出 f(x)的表达式：*，可知 x=1
9、 为 f(x)的分段点由表达式可知 x=1 为 f(x)的间断点，x=-1 为 f(x)的连续点选(B) 注：由极限表示的函数，欲讨论此函数的性质，必须分两步，先写出此函数的表达式再讨论二、填空题(总题数：13，分数：64.00)10. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：按复合关系先写出*，再将题给的 f(x)的表达式代入上式右边，得*化简上式右边，第 4 式的定义域为空集，删去之，得*11.在区间0，1上函数 f(x)=nx(1-x)n的最大值记为 M(n)则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：因为在0，1上 f(x)=nx(1-x)n可取最大值，
10、最大值0但在端点处 f(0)=f(1)=0故存在x0(0，1)使 f(x)在 x0取最大值，故 f(x0)=0，即 f(x0)=n(1-x0)n-n2x0(1-x0)n-1=0，解得*12. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*13. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*14. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e）解析：*所以原式=e15. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e -1）解析：*16. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*17. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e 2）解析：
11、因为*18. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：由于*，两边从 i 一 1 到 in 相加，得*，命 n取极限，由夹逼定理得*19. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*，所以原式*20.设 y=y(x)满足 y“+(x-1)y+x2y=ex且 y(0)=0，y(0)=1，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：由题设有 y“=-(x-1)y-x2y+ex因为 y(0)=0，y(0)=1，所以 y“(0)=2由 y“的表达式知，y“在x=0 处连续所以*21. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*当 u 足够
12、大时arctanu1，所以*，*设 （分数：16.00）填空项 1:_ （正确答案：0）填空项 1:_ （正确答案：无穷间断点）填空项 1:_ （正确答案：1）填空项 1:_ （正确答案：跳跃间断点）解析：由*，可知 x=0 是 f(x)的无穷间断点又因为*可知 x=1 是 f(x)的跳跃间断点三、解答题(总题数：16，分数：180.00)23. （分数：10.00）_正确答案：(*也可用佩亚诺余项泰勒公式展开(略)解析：24. （分数：10.00）_正确答案：(用佩亚诺余项泰勒公式展至 o(x2)，*代入，原式*本题也可用洛必达法则做(略)解析：25. （分数：10.00）_正确答案：(*)
13、解析：26. （分数：10.00）_正确答案：(*，*注25，26 两题中请注意*)解析：27. （分数：10.00）_正确答案：(*)解析：28. （分数：10.00）_正确答案：(*)解析：设 （分数：30.00）_解析：(2). （分数：10.00）_正确答案：(命*，所以*)解析：(3). （分数：10.00）_正确答案：(由洛必达法则得：*，于是*)解析：29.已知常数 a0，b0，且 （分数：10.00）_正确答案：(方法一：*当 x0 时，*，则由洛必达法则知，上式右边，从而左边矛盾，故*再由洛必达法则，*及*，解得 a=2，b=-3方法二：用佩亚诺余项泰勒公式展开：*，*，代入
14、原式，*，解得 a，b 同方法一)解析：30.设 （分数：10.00）_正确答案：(方法一：*若 1+b-a0，则上式右边趋于与题设矛盾，故 1+b-a=0再用洛必达法则，*，仿上讨论有 1+2b+2c=0继续用洛必达法则，*，仿上讨论有 1+3b+6c=0综合之，由以上 3 个等式解得*以 a，b，c 之值代入，再由洛必达法则，可得原式极限*方法二：将 ex在 x0=0 处按佩亚诺余项泰勒公式展开到 o(x4)，有*，于是*可见上述极限存在的充要条件是*解之 a，b，c 如方法一以 a，b，c 之值代入，立即可得原式极限为*注：若式中有待定系数且用洛必达法则时，必须步步讨论，方法二比方法一方
15、便、快捷)解析：31. （分数：10.00）_正确答案：(因为当 x0O 时，有*，由极限与无穷小的关系，有*，所以当 x0 时*，于是可得*，所以*)解析：32.设当 0x1 时 f(x)=xsinx，对于其它 x，f(x)满足 f(x)+k=2f(x+1)，求常数 k 使 f(x)在 x=0 处连续（分数：10.00）_正确答案：(若 f(x)在 x=0 处连续，即有*因为 f(x)+k=2f(x+1)，所以 f(0)+k=2f(1)因为 f(1)=1sin1=1，所以 f(0)+k=2，又因为*，所以 1+k=2，所以 k=1)解析：33. （分数：10.00）_正确答案：(因为*，所以
16、根据夹逼定理，*)解析：34. （分数：10.00）_正确答案：(* *，另一方面，*，由夹逼定理知原式*)解析：35.设 x10， ，证明 （分数：10.00）_正确答案：(由 x10，*，可见 xn+13(n=1，2，)若*存在，记为 a，则 a3，对*两边取极限，得*，即 a2-3a-4=0，得 a=4，(a=-1 舍弃)考虑*令 n，由夹逼定理得*，所以*存在且等于 4)解析：36.设对任意 x 和 y，函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)，并且 （分数：10.00）_正确答案：(只要证*，视 y=x，由原题设有 f(x+x)=f(x)+f(x)，并且*，所以*，证毕)解析：37.设常数 a-1， （分数：10.00）_正确答案：(分|x|1，|x|=1，|x|1 讨论，得*，在 x=-1 处 f(x)为跳跃间断点，*，f(x)在 x=1 处连续；当*时，f(x)在 x=1 为可去间断点，其他情形其他点处 f(x)均连续)解析：
