1、考研数学二（函数、极限、连续）-试卷 2及答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)= （分数：2.00）A.a0，b0B.a0，b0C.a0，b0D.a0，b03.设 (xa)，则 （分数：2.00）A.eB.e 2C.1D.4.设函数 f(x)连续，且 f“(0)0，则存在 0 使得( )（分数：2.00）A.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)B.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)C.当 x(0，)时，f(x)为单调增函数D.当 x
2、(0，)时，f(x)是单调减函数5.设 f(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程 y“+py“+qy=sin2x+2e x 的满足初始条件 f(0)=f“(0)=0的特解，则当 x0 时， （分数：2.00）A.不存在B.等于 0C.等于 1D.其他6.下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若f(x)在=a 处连续，则 f(x)在 x=a处连续B.若 f(x)在 x=a处连续，则f(x)在 x=a处连续C.若 f(x)在 x=a处连续，则 f(x)在 x=a的一个邻域内连续D.若二、填空题(总题数：11，分数：22.00)7.设 f(x)连续，且 f(1)=1，则 （分数：2.00）填空项
3、 1:_8.设 f(x)一阶连续可导，且 f(0)=0，f“(0)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_10.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_11.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 f(x)可导且 f(x)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 f(x)在 x=0处连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_14.当 x0 时， （分数：2.00）填空项 1:_15.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_16.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_17.设 f(x)= （分数：2.0
4、0）填空项 1:_填空项 1:_三、解答题(总题数：20，分数：40.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_19.求 f(x)= （分数：2.00）_20.设 f(x)= （分数：2.00）_21.求函数 y= （分数：2.00）_22.求极限 （分数：2.00）_23.求极限 （分数：2.00）_24.证明： （分数：2.00）_25.设 f(x)=a 1 ln(1+x)+a 2 ln(1+2x)+a n ln(1+nx)，其中 a 1 ，a 2 ，a n 为常数，且对一切x有f(x)e x -1证明：a 1 +2a 2 +na n 1（分数：2.00
5、）_26.求极限 （分数：2.00）_27.设函数 f(x)可导且 0f“(x) (k0)，对任意的 x 0 ，作 x n+1 =f(x n )(n=0，1，2，)，证明： （分数：2.00）_28.设 f(x)在a，+)上连续，且 （分数：2.00）_29.设 f(x)在a，b上连续，任取 x i a，b(i=1，2，n)，任取 k i 0(i=1，2，n)，证明：存在 a，b，使得 k 1 f(x 1 )+k 2 f(x 2 )+k n f(x n )=(k 1 +k 2 +k n )f()（分数：2.00）_30.求 （分数：2.00）_31.设 （分数：2.00）_32.已知： （分数
6、：2.00）_33.设 （分数：2.00）_34.确定 a，b，使得 x-(a+bcosx)sinx当 x0 时为阶数尽可能高的无穷小（分数：2.00）_35.设 f(x)连续可导， （分数：2.00）_36.求 （分数：2.00）_37.f(x)= （分数：2.00）_考研数学二（函数、极限、连续）-试卷 2答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)= （分数：2.00）A.a0，b0B.a0，b0C.a0，b0 D.a0，b0解析：解析：
7、因为 f(x)= 在(-，+)内连续，所以 a0，又因为3.设 (xa)，则 （分数：2.00）A.eB.e 2C.1D. 解析：解析：因为 ，所以4.设函数 f(x)连续，且 f“(0)0，则存在 0 使得( )（分数：2.00）A.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0) B.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)C.当 x(0，)时，f(x)为单调增函数D.当 x(0，)时，f(x)是单调减函数解析：解析：因为 f“(0)0，所以 ，根据极限的保号性，存在 0，当 x(0，)时，有5.设 f(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程 y“+py“+qy=sin2x+2e x 的满足初始条件
8、f(0)=f“(0)=0的特解，则当 x0 时， （分数：2.00）A.不存在B.等于 0C.等于 1 D.其他解析：解析： 因为 f(0)=f“(0)=0，所以 f“(0)-2，于是6.下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若f(x)在=a 处连续，则 f(x)在 x=a处连续B.若 f(x)在 x=a处连续，则f(x)在 x=a处连续 C.若 f(x)在 x=a处连续，则 f(x)在 x=a的一个邻域内连续D.若解析：解析：令 f(x)= 显然f(x)1 处处连续，然而 f(x)处处间断，(A)不对； 令 f(x)=显然 f(x)在 x=0处连续，但在任意 x=a0 处函数 f(x)
9、 都是间断的，故(C)不对； 令 f(x)= f(0+h)-f(0-h)=0，但 f(x)在 x=0处不连续，(D)不对； 若 f(x)在 x=a处连续，则 =f(a)，又 0f(x)-f(a)f(x)-f(a)，根据夹逼定理，二、填空题(总题数：11，分数：22.00)7.设 f(x)连续，且 f(1)=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8.设 f(x)一阶连续可导，且 f(0)=0，f“(0)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：9.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正
10、确答案：1）解析：解析：10.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：当 x0 时，有12.设 f(x)可导且 f(x)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：13.设 f(x)在 x=0处连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：14.当 x0 时， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-3）解析：解析：因为 x0 时， ，cos 2 x-1=(cosx+1)(xosx
11、-1)-x 2 ，且 15.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： ，因为函数 f(x)在 x=0处连续，所以 a=16.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-2）解析：解析：f(0+0)=17.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-1）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析：f(0+0)= =a+4b F(0-0)=三、解答题(总题数：20，分数：40.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：19.求 f(x)= （分数：2
12、.00）_正确答案：(正确答案：f(x)的间断点为 x=0，-1，-2，及 x=1 当 x=0时，f(0-0)= f(0+0)=-sin1，则 x=0为函数 f(x)的第一类间断点中的跳跃间断点 当 x=-1时， ，则 x=-1为 f(x)的第一类间断点中的可去间断点 当 x=k(k=-2，-3，)时， =，则 x=k(k=-2，-3，)为函数 f(x)的第二类间断点 当 x=1时，因为 )解析：20.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先 f(x)= 其次 f(x)的间断点为 x=k(k=0，1，)，因为 )解析：21.求函数 y= （分数：2.00）_正确答案：(正
13、确答案：令 f(x)= )解析：22.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x1，2时有 从而有 =ln(n+1) )解析：25.设 f(x)=a 1 ln(1+x)+a 2 ln(1+2x)+a n ln(1+nx)，其中 a 1 ，a 2 ，a n 为常数，且对一切x有f(x)e x -1证明：a 1 +2a 2 +na n 1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，由 )解析：26.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确
14、答案：由 )解析：27.设函数 f(x)可导且 0f“(x) (k0)，对任意的 x 0 ，作 x n+1 =f(x n )(n=0，1，2，)，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x n+1 -x n =f(x n )-f(x n-1 )=f“( n )(x n -x n-1 )， 因为 f“(x)0，所以 x n+1 -x n 与 x n -x n-1 同号，故x n 单调 根据 f(x)的可导性得 f(x)处处连续，等式 x n+1 =f(x n )两边令 n，得 )解析：28.设 f(x)在a，+)上连续，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 )解析：29.设
15、 f(x)在a，b上连续，任取 x i a，b(i=1，2，n)，任取 k i 0(i=1，2，n)，证明：存在 a，b，使得 k 1 f(x 1 )+k 2 f(x 2 )+k n f(x n )=(k 1 +k 2 +k n )f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在a，b上连续，所以 f(x)在a，b上取到最小值 m和最大值 M， 显然有 mf(x i )M(i=1，2，n)， 注意到 k i 0(i=1，2，n)，所以有 k i mkif(x i )k i M(i=1，2，n)， 同向不等式相加，得 (k 1 +k 2 +k n )mk 1 f(x 1 )+k
16、2 f(x 2 )+k n f(x n )(k 1 +k 2 +k n )M， 即 m M， 由介值定理，存在 a，b，使得 f()= )解析：30.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 )解析：32.已知： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 ln(1+ax)= )解析：33.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：ln(1+x)-(ax+bx 2 ) )解析：34.确定 a，b，使得 x-(a+bcosx)sinx当 x0 时为阶数尽可能高的无穷小（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 y=x-
17、(a+bcosx)sinx， y“=1+bsin 2 x-(a+bcosx)cosx， y“=bsin2x+ sin2x+(a+bcosx)sinx=asinx+2bsin2x， y“=acos2acosx+4bcos2x， 显然 y(0)=0，y“(0)=0， 所以令 y“(0)=y“(0)=0得 故当 )解析：35.设 f(x)连续可导， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 )解析：36.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：37.f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x=k(k=0，-1，-2，)及 x=1为 f(x)的间断点 f(0-0)= 因为 f(0-0)f(0+0)，所以 x=0为跳跃间断点； 由 得 x=-2为可去间断点； 当 x=k(k=-1，-3，-4，)时， 由 =得 x=k(k=-1，-3，-4，)为第二类间断点； 由 )解析：
