1、考研数学二（函数、极限、连续）-试卷 5 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：16，分数：32.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 x0 时，ax 2 +bx+ccosx 是 x 2 高阶的无穷小，其中 a，b，c 为常数，则( )（分数：2.00）A.B.C.D.3.设 x0 时，(1+sinx) x 一 1 是比 xtanx n 低阶的无穷小，而 xtanx n 是比(e sin2x 一 1)ln(1+x 2 )低阶的无穷小，则正整数 n 等于( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.44.
2、设当 x0 时，(1 一 cosx)ln(1+x 2 )是比 xsinx n 高阶的无穷小，而 xsinx n 是比(e x2 一 1)高阶的无穷小，则正整数 n 等于( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.45.当 x0 时，e x 一(ax 2 +bx+1)是比 x 2 高阶的无穷小，则( )（分数：2.00）A.B.a=1，b=1。C.D.a=一 1，b=1。6.当 x0 时 f(x)=x 一 sinax 与 g(x)=x 2 ln(1 一 bx)是等价无穷小，则( )（分数：2.00）A.B.C.D.7.已知当 x0 时，函数 f(x)=3sinxsin3x 与 cx k 是等价
3、无穷小，则( )（分数：2.00）A.k=1，c=4。B.k=1，c=一 4。C.k=3，c=4。D.k=3，c=一 4。8.设 xa 时 f(x)与 g(x)分别是 x 一 a 的 n 阶与 m 阶无穷小，则下列命题中，正确的个数是( )f(x)g(x)是x 一 a 的 n+m 阶无穷小；若 nm，则 （分数：2.00）A.1B.2C.3D.09.设 （分数：2.00）A.b=4dB.b=一 4dC.a=4cD.a=一 4c10.设数列极限函数 （分数：2.00）A.I=(一，+)，J=(一，+)。B.I=(一 1，+)，J=(一 1，1)(1，+)。C.I=(一 1，+)，J=(一 1，+
4、)。D.I=(一 1，1)，J=(一 1，1)。11.设 f(x)在点 x 0 的某邻域内有定义，且 f(x)在 x 0 间断，则在点 x 0 处必定间断的函数是( )（分数：2.00）A.f(x)sinx。B.f(x)+sinx。C.f 2 (x)。D.|f(x)|。12.设 f(x)和 (x)在(一，+)上有定义,f(x)为连续函数，且 f(x)0，(x)有间断点，则( )（分数：2.00）A.f(x)必有间断点。B.(x) 2 必有间断点。C.f(x)必有间断点。D.必有间断点。13.设 f(x)在 R 上连续，且 f(x)0，(x)在 R 上有定义，且有间断点，则下列结论中正确的个数是
5、( ) f(x)必有间断点； (x) 2 必有间断点； (x)没有间断点。（分数：2.00）A.0B.1C.2D.314.设函数 内连续，且 （分数：2.00）A.a0，b0。B.a0，b0。C.a0，b0。D.a0，b0。15.设函数 （分数：2.00）A.x=0，x=1 都是 f(x)的第一类间断点。B.x=0，x=1 都是 f(x)的第二类间断点。C.x=0 是 f(x)的第一类间断点，x=1 是 f(x)的第二类间断点。D.x=0 是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点。16.函数 （分数：2.00）A.x=1 为第一类间断点，x=一 1 为第二类间断点。B.x
6、=1 均为第一类间断点。C.x=1 为第二类间断点，x=一 1 为第一类间断点。D.x=1 均为第二类间断点。二、填空题(总题数：6，分数：12.00)17.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_18.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_19.设 1 , 2 m (m2)为正数，则 （分数：2.00）填空项 1:_20.设 （分数：2.00）填空项 1:_21.数列 （分数：2.00）填空项 1:_22.表示不超过 x 的最大整数， （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：7，分数：14.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_24.
7、求极限 （分数：2.00）_25.求极限 （分数：2.00）_26.求极限 （分数：2.00）_27.求极限 （分数：2.00）_28.求极限 （分数：2.00）_29.求极限 （分数：2.00）_考研数学二（函数、极限、连续）-试卷 5 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：16，分数：32.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 x0 时，ax 2 +bx+ccosx 是 x 2 高阶的无穷小，其中 a，b，c 为常数，则( )（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由题意得 得 c=1，
8、又因为 所以 b=0,3.设 x0 时，(1+sinx) x 一 1 是比 xtanx n 低阶的无穷小，而 xtanx n 是比(e sin2x 一 1)ln(1+x 2 )低阶的无穷小，则正整数 n 等于( )（分数：2.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解析：当 x0 时， 4.设当 x0 时，(1 一 cosx)ln(1+x 2 )是比 xsinx n 高阶的无穷小，而 xsinx n 是比(e x2 一 1)高阶的无穷小，则正整数 n 等于( )（分数：2.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解析：因当 x0 时， 5.当 x0 时，e x 一(ax 2 +bx+1)是比 x
9、2 高阶的无穷小，则( )（分数：2.00）A. B.a=1，b=1。C.D.a=一 1，b=1。解析：解析： 显然要使上式是比 x 2 高阶的无穷小(x0 时)，只要 6.当 x0 时 f(x)=x 一 sinax 与 g(x)=x 2 ln(1 一 bx)是等价无穷小，则( )（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：本题可以利用排除法解答，由于 ln(1 一 bx)与一 bx 为等价无穷小，则 所以 a 3 =一6b，故排除 B，C。另外 7.已知当 x0 时，函数 f(x)=3sinxsin3x 与 cx k 是等价无穷小，则( )（分数：2.00）A.k=1，c=4。B.k=1
10、，c=一 4。C.k=3，c=4。 D.k=3，c=一 4。解析：解析：由麦克劳林展开式 可得8.设 xa 时 f(x)与 g(x)分别是 x 一 a 的 n 阶与 m 阶无穷小，则下列命题中，正确的个数是( )f(x)g(x)是x 一 a 的 n+m 阶无穷小；若 nm，则 （分数：2.00）A.1B.2 C.3D.0解析：解析：此类问题按无穷小阶的定义要逐一分析：命题：9.设 （分数：2.00）A.b=4dB.b=一 4dC.a=4cD.a=一 4c 解析：解析：当 x0 时，由带佩亚诺型余项的泰勒公式可知，tanx，ln(12x)均为 x 的一阶无穷小；而1 一 cosx，1 一 e -
11、t2 均为 x 的二阶无穷小，因此有 故有 10.设数列极限函数 （分数：2.00）A.I=(一，+)，J=(一，+)。B.I=(一 1，+)，J=(一 1，1)(1，+)。 C.I=(一 1，+)，J=(一 1，+)。D.I=(一 1，1)，J=(一 1，1)。解析：解析：11.设 f(x)在点 x 0 的某邻域内有定义，且 f(x)在 x 0 间断，则在点 x 0 处必定间断的函数是( )（分数：2.00）A.f(x)sinx。B.f(x)+sinx。 C.f 2 (x)。D.|f(x)|。解析：解析：若 f(x)+sinx 在 x=x 0 处连续，则 f(x)=f(x)+sinx一 si
12、nx 在 x=x 0 连续，与已知矛盾。因此 f(x)+sinx 在点 x 0 处必间断。故选 B。12.设 f(x)和 (x)在(一，+)上有定义,f(x)为连续函数，且 f(x)0，(x)有间断点，则( )（分数：2.00）A.f(x)必有间断点。B.(x) 2 必有间断点。C.f(x)必有间断点。D.必有间断点。 解析：解析：取 13.设 f(x)在 R 上连续，且 f(x)0，(x)在 R 上有定义，且有间断点，则下列结论中正确的个数是( ) f(x)必有间断点； (x) 2 必有间断点； (x)没有间断点。（分数：2.00）A.0 B.1C.2D.3解析：解析：错误。举例：设 则 f
13、(x)=1 在 R 上处处连续。错误。举例：设 则(x) 2 =9 在 R 上处处连续。错误。举例：设 14.设函数 内连续，且 （分数：2.00）A.a0，b0。B.a0，b0。C.a0，b0。D.a0，b0。 解析：解析：因 f(x)连续，所以 a+e bx 0，因此只要 a0 即可。再由 15.设函数 （分数：2.00）A.x=0，x=1 都是 f(x)的第一类间断点。B.x=0，x=1 都是 f(x)的第二类间断点。C.x=0 是 f(x)的第一类间断点，x=1 是 f(x)的第二类间断点。D.x=0 是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点。 解析：解析：显然函
14、数 f(x)在 x=0，x=1 两个点处无定义，因此这两个点均为间断点。因为 ，所以x=0 为第二类间断点；因为16.函数 （分数：2.00）A.x=1 为第一类间断点，x=一 1 为第二类间断点。B.x=1 均为第一类间断点。 C.x=1 为第二类间断点，x=一 1 为第一类间断点。D.x=1 均为第二类间断点。解析：解析：分别就x=1，x1，x1 时求极限 ，得出 f(x)的分段表达式：在x=1 处，因二、填空题(总题数：6，分数：12.00)17.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e 6）解析：解析：将所给极限化为指数函数的形式，则有18.= 1. （分数
15、：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：19.设 1 , 2 m (m2)为正数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：maxa 1 ，a 2 ，a m ）解析：解析：不妨设 a 1 为最大值，则 20.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln2）解析：解析：21.数列 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：利用等价无穷小因子，当 n时22.表示不超过 x 的最大整数， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：三、解答题(总题数：7，分数：14.00)23.
16、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：24.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由麦克劳林展开式 及常见的等价无穷小代换，可得 )解析：25.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由麦克劳林展开式 得 )解析：27.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由麦克劳林展开式 )解析：28.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由洛必达法则可知， )解析：29.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由积分上限函数求导法则，且 所以 x0 + 时，有 ，故 )解析：
