1、考研数学二（函数、极限、连续）-试卷 3及答案解析(总分：86.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：22，分数：44.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设当 x0 时，(1 一 cosx)In(1+x 2 )是比 xsinx n 高阶的无穷小，而 xsinx n 是 tt(e x2 一 1)高阶的无穷小，则正整数 n等于( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.43.设 f(x)在 x 0 点连续，且在 x 0 一空心邻域中有 f(x)0，则( )（分数：2.00）A.f(x 0 )0B.f(x 0 )0C.f(x 0
2、)0D.f(x 0 )=04.把 x0 + 时的无穷小量 （分数：2.00）A.，B.，C.，D.，5.函数 （分数：2.00）A.x=1为第一类间断点，x=一 1为第二类间断点B.x=1均为第一类间断点C.x=1为第二类间断点，x=一 1为第一类间断点D.x=1均为第二类间断点6.设 （分数：2.00）A.B.C.D.7.设 f(x)在 R上连续，且 f(x)0，(x)在 R上有定义，且有间断点，则下列陈述中正确的个数是( ) f(x)必有间断点 (x) 2 必有间断点 (x)没有间断点（分数：2.00）A.0B.1C.2D.38.设对任意的 x，总有 (x)f(x)g(x)，且 则 （分数
3、：2.00）A.存在且等于零B.存在但不一定为零C.一定不存在D.不一定存在9.设 f(x)=2 x +3 x 一 2，则当 x0 时( )（分数：2.00）A.f(x)是 x等价无穷小B.f(x)与 x是同阶，但非等价无穷小C.f(x)是比 x高阶的无穷小D.f(x)是比 x低阶的无穷小10.设 （分数：2.00）A.b=4dB.b=一 4dC.a=4cD.a=一 4c11.当 x0 时，e x 一(ax 2 +bx+1)是 x 2 高阶的无穷小，则( )（分数：2.00）A.B.a=1，b=1C.D.a=一 1，b=112.设函数 在(一，+)内连续，且 （分数：2.00）A.a0，b0B
4、.a0，b0C.a0，b0D.a0，b013.设函数 （分数：2.00）A.x=0，x=1 都是 f(x)的第一类间断点B.x=0，x=1 都是 f(x)的第二类间断点C.x=0是 f(x)的第一类间断点，x=1 是 f(x)的第二类间断点D.x=0是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点14.当 x0 + 时，与 （分数：2.00）A.B.C.D.15.函数 （分数：2.00）A.0B.1C.D.16.设函数 （分数：2.00）A.1个可去间断点，1 个跳跃间断点B.1个可去间断点，1 个无穷间断点C.2个跳跃间断点D.2个无穷间断点17.当 x0 时 f(x)=x一
5、sinax与 g(x)=x 2 ln(1一 bx)是等价无穷小，则( )（分数：2.00）A.B.C.D.18.已知当 x0 时，函数 f(x)=3sinxsin3x与 cx k 是等价无穷小，则( )（分数：2.00）A.k=1，c=4B.k=1，c=一 4C.k=3，c=4D.k=3，c=一 419.函数 （分数：2.00）A.0B.1C.2D.320.设 f(x)是奇函数，除 x=0外处处连续，x=0 是其第一类间断点，则 0 2 f(t)dt是( )（分数：2.00）A.连续的奇函数B.连续的偶函数C.在 x=0间断的奇函数D.在 x=0间断的偶函数21.设函数 f(x)在(一，+)内
6、单调有界，x n 为数列，下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若x n 收敛，则f(x n )收敛B.若x n 单调，则f(x n )收敛C.若f(x n )收敛，则x n 收敛D.若f(x n )单调，则x n 收敛22.设a n ，b n ，c n 均为非负数列，且 （分数：2.00）A.a n b n 对任意 n成立B.b n c n 对任意 n成立C.极限D.极限二、填空题(总题数：12，分数：24.00)23.设 a 1 ，a 2 ，a m 为正数(m2)，则 （分数：2.00）填空项 1:_24.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_25.x表示 x的最大整数部分，则
7、（分数：2.00）填空项 1:_26.数列 （分数：2.00）填空项 1:_27.若 （分数：2.00）填空项 1:_28.设函数 f(x)在 x=1连续，且 f(1)=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_29.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_30.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_31.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_32.当 x0 时，a(x)=kx 2 与 （分数：2.00）填空项 1:_33.已知函数 f(x)连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_34.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)35.解答题解答应写
8、出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_36.设 f(x)在0，1连续，且 f(0)=f(1)，证明在0，1上至少存在一点 ，使得 f() （分数：2.00）_37.设函数 设数列x 0 满足 ，证明 （分数：2.00）_38.计算： （分数：2.00）_39.求 （分数：2.00）_40.求 （分数：2.00）_41.求 （分数：2.00）_42.求 （分数：2.00）_43.求 （分数：2.00）_考研数学二（函数、极限、连续）-试卷 3答案解析(总分：86.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：22，分数：44.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项
9、符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设当 x0 时，(1 一 cosx)In(1+x 2 )是比 xsinx n 高阶的无穷小，而 xsinx n 是 tt(e x2 一 1)高阶的无穷小，则正整数 n等于( )（分数：2.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解析：因当 x0 时， 3.设 f(x)在 x 0 点连续，且在 x 0 一空心邻域中有 f(x)0，则( )（分数：2.00）A.f(x 0 )0B.f(x 0 )0 C.f(x 0 )0D.f(x 0 )=0解析：解析：由 f(x)在 x 0 连续，有 4.把 x0 + 时的无穷小量 （分数：2.00）A.，B.， C.，D
10、.，解析：解析：因为 5.函数 （分数：2.00）A.x=1为第一类间断点，x=一 1为第二类间断点B.x=1均为第一类间断点 C.x=1为第二类间断点，x=一 1为第一类间断点D.x=1均为第二类间断点解析：解析：分别就x=1，z1，x1 时求极限 得出 f(x)的分段表达式：6.设 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：用推演法将题设条件 f(x)中的所有自变量 z都用(一 x)替换，得7.设 f(x)在 R上连续，且 f(x)0，(x)在 R上有定义，且有间断点，则下列陈述中正确的个数是( ) f(x)必有间断点 (x) 2 必有间断点 (x)没有间断点（分数：2.00）A.0
11、B.1 C.2D.3解析：解析：错误举例如下：设 则 f(x)=1 在 R上处处连续 错误举例如下：设 8.设对任意的 x，总有 (x)f(x)g(x)，且 则 （分数：2.00）A.存在且等于零B.存在但不一定为零C.一定不存在D.不一定存在 解析：解析：取 (x)=f(x)=g(x)=x，显然有 (x)f(x)g(x)，且 ，但 不存在，故 A、B排除再取 (x)=f(x)=g(x)=1，同样有 (x)f(x)g(x)，且 ，但9.设 f(x)=2 x +3 x 一 2，则当 x0 时( )（分数：2.00）A.f(x)是 x等价无穷小B.f(x)与 x是同阶，但非等价无穷小 C.f(x)
12、是比 x高阶的无穷小D.f(x)是比 x低阶的无穷小解析：解析：利用洛必达法则求解因10.设 （分数：2.00）A.b=4dB.b=一 4dC.a=4cD.a=一 4c 解析：解析：当 x0 时，由皮亚诺型余项的泰勒公式可知，tanx，ln(12x)均为 x的一阶无穷小；而 1一 cosx，1 一 e -2 均为 x的二阶无穷小，因此有 11.当 x0 时，e x 一(ax 2 +bx+1)是 x 2 高阶的无穷小，则( )（分数：2.00）A. B.a=1，b=1C.D.a=一 1，b=1解析：解析： 显然要使上式为 x 2 高阶的无穷小(x0 时)，只要 12.设函数 在(一，+)内连续，
13、且 （分数：2.00）A.a0，b0B.a0，b0C.a0，b0D.a0，b0 解析：解析：因 f(x)连续，所以 a+e bx 0，因此只要 a0 即可再由 13.设函数 （分数：2.00）A.x=0，x=1 都是 f(x)的第一类间断点B.x=0，x=1 都是 f(x)的第二类间断点C.x=0是 f(x)的第一类间断点，x=1 是 f(x)的第二类间断点D.x=0是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点 解析：解析：显然函数 f(x)在 x=0，x=1 两个点处无定义，因此这两个点均为间断点因 ，所以x=0为第二类间断点；因为14.当 x0 + 时，与 （分数：2.0
14、0）A.B. C.D.解析：解析：本题主要考查的内容是等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可当 x0 + 时，有下列几个等价无穷小成立： 故用排除法可得正确选项为 B本题亦可以利用另外的方法来解答 或者直接分解 15.函数 （分数：2.00）A.0 B.1C.D.解析：解析：可以先找出函数的无定义点，再根据左右极限判断间断点的类型显然函数在 x=0，x=1，均无意义，而16.设函数 （分数：2.00）A.1个可去间断点，1 个跳跃间断点 B.1个可去间断点，1 个无穷间断点C.2个跳跃间断点D.2个无穷间断点解析：解析：x=0，x=1 时 f(x)均无定义，所以 x=0，x=1 是函数
15、的间断点并且17.当 x0 时 f(x)=x一 sinax与 g(x)=x 2 ln(1一 bx)是等价无穷小，则( )（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：本题可以利用排除法解答，由于 ln(1一 bx)与一 bx为等价无穷小，则18.已知当 x0 时，函数 f(x)=3sinxsin3x与 cx k 是等价无穷小，则( )（分数：2.00）A.k=1，c=4B.k=1，c=一 4C.k=3，c=4 D.k=3，c=一 4解析：解析：根据题意且由泰勒公式和洛必达法则有19.函数 （分数：2.00）A.0B.1 C.2D.3解析：解析：20.设 f(x)是奇函数，除 x=0外处处连续
16、，x=0 是其第一类间断点，则 0 2 f(t)dt是( )（分数：2.00）A.连续的奇函数B.连续的偶函数 C.在 x=0间断的奇函数D.在 x=0间断的偶函数解析：解析：本题可采用赋值法进行求解，取符合题意条件的特殊函数 计算21.设函数 f(x)在(一，+)内单调有界，x n 为数列，下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若x n 收敛，则f(x n )收敛B.若x n 单调，则f(x n )收敛 C.若f(x n )收敛，则x n 收敛D.若f(x n )单调，则x n 收敛解析：解析：因为 f(x)在(一，+)内单调有界，且结合选项 B，x n 单调，所以f(x n )单调且
17、有界故f(x n )一定存在极限，即f(x n )一定收敛22.设a n ，b n ，c n 均为非负数列，且 （分数：2.00）A.a n b n 对任意 n成立B.b n c n 对任意 n成立C.极限D.极限 解析：解析：本题主要考查极限的相关定义，由于极限值与数列前面有限项的大小无关，因此可排除A，B；而极限 是一个 0.型未定型极限，可能存在也可能不存在，因此可以排除 C；极限 是 1.型，必为无穷大量，即极限不存在因此选项 D正确也可用举反例法，取二、填空题(总题数：12，分数：24.00)23.设 a 1 ，a 2 ，a m 为正数(m2)，则 （分数：2.00）填空项 1:_
18、（正确答案：正确答案：maxa 1 ，a 2 ，a m ）解析：解析：假设 a 1 为最大值，则 所以 24.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：25.x表示 x的最大整数部分，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：26.数列 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：利用等价无穷小因子，27.若 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：因为 f(x)在(一，0)及(0，+)内连续，所以选择数 a，使 f(x)在 x=0处连续28.设函数 f(x)在
19、 x=1连续，且 f(1)=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln3）解析：解析：由题干可知， 由函数的连续性得29.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令函数 其中 g(x)，h(x)分别在a，x 0 ，(x 0 ，b是初等函数，因此连续且 f(x)在x 0 连续所以 g(x 0 )=h(x 0 )对任意常数 A，显然 x1 时 f(x)连续当且仅当 时 f(x)在 x=1连续因此，当 30.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：31.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_
20、 （正确答案：正确答案：*）解析：解析：已知 f(x)在 x=0处连续，则 所以32.当 x0 时，a(x)=kx 2 与 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题设可知， 所以得33.已知函数 f(x)连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：34.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：由题设知，cx0，所以三、解答题(总题数：9，分数：18.00)35.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：36.设 f(x)在0，1连续，且 f(0)=f(
21、1)，证明在0，1上至少存在一点 ，使得 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题可以转化为证明 在0，1存在零点，因为 f(x)在0，1连续，所以连续F(x)在 存在零点的情况可转化为函数 F(x)在 上存在两个点的函数值是异号)解析：37.设函数 设数列x 0 满足 ，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因此数列x n 单调递增 由于 得 0x n e，即数列x n 有界由单调有界必收敛定理可知，极限 )解析：38.计算： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：39.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：40.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：41.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：42.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：43.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
