1、考研数学二-220 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知矩阵 可逆， 且（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 P(x)在(-，+)连续，且以 T 为周期，则 是方程有解 y=y(x) （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 1， 2， 3， 4是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，那么 Ax=0 的基础解系还可以是（分数：4.00）A. 1- 2， 2+ 3， 3+ 4， 4- 1B. 1， 2+ 3， 2- 3， 4C. 1+ 2， 2+ 3， 3- 4， 4- 1D. 1， 2
2、+ 3， 1+ 2+ 35.设 0，f(x)在(-，)有连续的三阶导数，f(0)=f“(0)=0 且 （分数：4.00）A.B.C.D.6.函数 在区间0，+)上（分数：4.00）A.B.C.D.7.已知当 x0 时， （分数：4.00）A.B.C.D.8.下列反常积分（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设曲线 y=y(x)由方程 x2y+lny=1 确定，则该曲线在(0，e)处的曲率半径为_（分数：4.00）填空项 1:_10.曲线 （分数：4.00）11.已知 则 （分数：4.00）填空项 1:_12.已知 z=z(x，y)满足 （分数：4.00
3、）填空项 1:_13.设 f(x，y)为连续函数，且 （分数：4.00）填空项 1:_14. （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 f(x)在0，+)内可导，且 f(1)=2若 f(x)的反函数 g(x)满足（分数：10.00）_16.() 设 f(x)在(a，+)上连续，又存在极限 及 ，求证：f(x)在(a，+)上有界() 求证： （分数：10.00）_17.设曲线 L 的参数方程为 x=(t)=t-sint，y=(t)=1-cost (0t2)() 求证：由 L 的参数方程确定连续函数 y=y(x)，并求它的定义域；() 求曲线 L 与
4、x 轴所围图形绕 Oy 轴旋转一周所成旋转体的体积 V；() 设曲线 L 的形心为 ，求 （分数：11.00）_18.设 D 由曲线 xy=2，y=x+1，y=x-1 围成，求二重积分 （分数：10.00）_19.设 z=z(x，y)有二阶连续偏导数，且满足 （分数：10.00）_20.子弹以速度 v0(米/秒)与铁板垂直方向打入厚度为 10 厘米的铁板，穿过后以速度 v1(米/秒)离开此板设板对子弹的阻力与速度平方成正比() 求子弹穿过板 5 厘米时的速度；() 求子弹穿过板所用时间（分数：11.00）_21.设函数 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 g(x)0( x
5、(a，b)，求证：若单调增加，则 （分数：10.00）_22.已知 A 是 24 矩阵，齐次方程组 Ax=0 的基础解系是 1=(1，3，0，2) T， 2=(1，2，-1，3) T，又知齐次方程组 Bx=0 的基础解系是 1=(1，1，2，1) T， 2=(0，-3，1，0) T，() 求矩阵 A；() 如果齐次线性方程组 Ax=0 与 Bx=0 有非零公共解，求 a 的值并求公共解（分数：11.00）_23.已知 （分数：11.00）_考研数学二-220 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知矩阵 可逆， 且（分数：4.00）
6、A.B. C.D.解析：分析 因*，则有*，故选(B)评注 本题考查初等矩阵的两个基本定理，一是左乘右乘问题，另一是实行矩阵逆矩阵的公式2.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析一 先求出 gf(x)*因此，应选(B)分析二 不必先求 gf(x)的表达式，直接计算*因此，应选(B)3.设 P(x)在(-，+)连续，且以 T 为周期，则 是方程有解 y=y(x) （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 题设方程(*)的解 y(X)0 以 T 为周期*且 C0*故选(C)*4.设 1， 2， 3， 4是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，那么 Ax=0 的基础解系还可以是（分数：
7、4.00）A. 1- 2， 2+ 3， 3+ 4， 4- 1B. 1， 2+ 3， 2- 3， 4 C. 1+ 2， 2+ 3， 3- 4， 4- 1D. 1， 2+ 3， 1+ 2+ 3解析：分析 齐次方程组 Ax=0 的基础解系有三层含义：它们是 Ax=0 的解；它们线性无关；向量个数f=n-r(A)根据齐次方程组解的性质，我们知(A)，(B)，(C)，(D)均是 Ax=0 的解；由已知条件 Ax=0 的基础解系由 4个线性无关的解所构成，而(D)中只有 3 个，不合要求；用观察法易见(A)，(C)均线性相关，故应选(B)注意：*或*由*(A)相关5.设 0，f(x)在(-，)有连续的三阶
8、导数，f(0)=f“(0)=0 且 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 由*时，*f“(x)在(- 0， 0)单调上升*(0，f(0)是 y=f(x)的拐点故应选(C)*6.函数 在区间0，+)上（分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 由题设有*f(x)在0，+)单调减少*f(x)f(0)=0(x0)*f(x)在0，+)单调减少，f(x)f(0)=1(x0)因此选(A)*7.已知当 x0 时， （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 本题即要确定正的常数 n，使得*为非零常数这是*型极限，用洛必达法则及变限积分求导法得*其中 ln(1+x 3)x 3(x0)因此，n
9、=6应选(D)8.下列反常积分（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 这 4 个反常积分中有两个收敛，两个发散方法 1 找出其中两个收敛的 *收敛*收敛因此选(B)方法 2 找出其中两个发散的*发散*发散因为，发散，余下，收敛，故选(B)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设曲线 y=y(x)由方程 x2y+lny=1 确定，则该曲线在(0，e)处的曲率半径为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 先求出 y(0)与 y“(0)将方程对 x 求导得*，即 2xy2+x2yy+y=0令 x=0，得 y(0)=0再对 x 求导，并令 x=0，y=e 得2y
10、2(0)+y“(0)=0*y“(0)=-2e2因此该曲线在点(0，e)的曲率半径为*10.曲线 （分数：4.00）解析：分析 本题主要考查曲线凹凸性的概念以及利用二阶导数的符号判定曲线的凹凸性不难求得*于是当 x(-，-3)时 y“0，当 x(-3，+)时 y“0由此可见曲线的凸区间是(-，-3)*11.已知 则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 *12.已知 z=z(x，y)满足 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 *由*由 z(x，0)=e x*C2(x)=ex因此，*13.设 f(x，y)为连续函数，且 （分数：4.00）填空项 1:
11、_ （正确答案：*）解析：分析 注意*为常数，记为 A，由于 xy2对 u、v 为常数，因此对 u，v 积分时可提出积分号外*求 f(x，y)归结为求常数 A等式两边在 D 积分得*作极坐标变换*又*(D 关于 y 轴对称，被积函数对 x 为奇函数)，将它代入式*因此*14. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 由于 A(A2)2=A5，故 A=(A2)2-1A5=(A2)-12A5而*所以*注意*本题中计算出*更简捷一些三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 f(x)在0，+)内可导，且 f(1)=2若 f(x)的反函数 g(x)满足（分数：10.0
12、0）_正确答案：(在题设等式中令 x=1，由于 f(1)=2，则等式自然成立现将题设等式两端对 x 求导，利用变上限定积分求导公式，复合函数求导公式及反函数的概念可得所求函数的导数满足的关系式，再由定解条件即可求出 f(x)将题设等式两端对 x 求导数，得*(将上式对 x 从 1 到 x 积分即得题设等式，因此上式与原等式等价)因 f(x)与 g(x)互为反函数，所以 gf(u)=u，代入上式，得*令 lnx+1=u，则有 x=eu-1，且 f(u)=eu-1，积分得 f(u)=eu-1+C利用已知函数值 f(1)=2 可确定常数 C=1，故 f(x)=ex-1+1)解析：16.() 设 f(
13、x)在(a，+)上连续，又存在极限 及 ，求证：f(x)在(a，+)上有界() 求证： （分数：10.00）_正确答案：() 由极限的性质可知，因*，当 x(a，a+)时 f(x)有界，又*，f(x)在A，+)上有界，又因 f(x)在a+，A上连续，故有界因此 f(x)在(a，+)上有界() 由于 f(x)在(0，+)上连续，又*其中 ex-1x(x0)；且*因此 f(x)在(0，+)上有界)解析：17.设曲线 L 的参数方程为 x=(t)=t-sint，y=(t)=1-cost (0t2)() 求证：由 L 的参数方程确定连续函数 y=y(x)，并求它的定义域；() 求曲线 L 与 x 轴所
14、围图形绕 Oy 轴旋转一周所成旋转体的体积 V；() 设曲线 L 的形心为 ，求 （分数：11.00）_正确答案：(*)解析：18.设 D 由曲线 xy=2，y=x+1，y=x-1 围成，求二重积分 （分数：10.00）_解析：19.设 z=z(x，y)有二阶连续偏导数，且满足 （分数：10.00）_正确答案：(z(x，2x)是 z(x，y)与 y=2x 的复合函数为求 z“11(x，2x)与 z“12(x，2x)，先将 z(x，2x)=x 两边对 x 求导，由复合函数求导法得z1(x，2x)+2x 2(x，2x)=1，其中 z1(x，2x)=x 2(已知条件)于是x2+2x2(x，2x)=1
15、，再将它对 x 求导并由复合函数求导法得2x+2x“21(x，2x)+4x“ 22(x，2x)=0由于 z“21=x“12(它们连续，与求导次序无关)，以及 z“11=z“22(题中条件)，我们得到 z“11(x，2x)与z“12(x，2x)满足的关系式2z“11(x，2x)+z“ 12(x，2x)=-x为求得 z“11(x，2x)与 z“12(x，2x)的另一关系式，我们将已知等式 z1(x，2x)=x 2对 x 求导得z“11(x，2x)+2z“ 12(x，2x)=2x 联立与解得*)解析：20.子弹以速度 v0(米/秒)与铁板垂直方向打入厚度为 10 厘米的铁板，穿过后以速度 v1(米/
16、秒)离开此板设板对子弹的阻力与速度平方成正比() 求子弹穿过板 5 厘米时的速度；() 求子弹穿过板所用时间（分数：11.00）_正确答案：(分析与求解一 () 为了求解方便，先求出子弹的速度 v 与子弹进入板的深度 s 的关系由牛顿第二定律得*其中 m 为子弹的质量，k 为阻力系数为了以 s 为自变量，把上式改写为*因*，所以*初值 u| s=0=v0易解此初值问题得 v=v 0e-s 令 s=0.1，v=v 1*再令 s=0.05，得子弹穿过 5cm 时的速度*() 为了求子弹穿过板所用时间 t1，需要求出子弹速度 v 与时间 t 的关系或 s 与 t 的关系由式*积分得*分析与求解二 (
17、) 先求出 s=s(t)与 v=v(t)设 t 时刻子弹进入板的位移为 s(t)，速度*，子弹质量为 m，则*积分并由初值得*令 v=v1，得穿过板所用时间为*为了求出 ，由式得*两边从 t=0 到 t=t1积分得*再由式*因此，先求得穿过板所用时间*现由式得*积分并由 s(0)=0 得*记 t=t*时刻子弹穿过板 5 厘米(0.05 米)处，则*代入得相应的速度*() 同分析与求解一 )解析：21.设函数 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 g(x)0( x(a，b)，求证：若单调增加，则 （分数：10.00）_正确答案：(不妨设 g(x)0(x(a，b)，考察*=*(
18、柯西中值公式，其中 (a，x)，由 g(x)0(x(a，b)，g(x)在a，b连续*g(x)-g(a)0(x(a，b)由*在(a，b)单调增加*，因此*，即*在(a，b)单调增加)解析：22.已知 A 是 24 矩阵，齐次方程组 Ax=0 的基础解系是 1=(1，3，0，2) T， 2=(1，2，-1，3) T，又知齐次方程组 Bx=0 的基础解系是 1=(1，1，2，1) T， 2=(0，-3，1，0) T，() 求矩阵 A；() 如果齐次线性方程组 Ax=0 与 Bx=0 有非零公共解，求 a 的值并求公共解（分数：11.00）_正确答案：() 记 C=( 1， 2)，由 AC=A( 1，
19、 2)=0 知 CTAT=0，那么矩阵 AT的列向量(即矩阵 A 的行向量)是齐次线性方程组 CTx=0 的解对 CT作初等行变换，有*得到 CTx=0 的基础解系为： 1=(3，-1，1，0) T， 2=(-5，1，0，1) T所以矩阵*() 设齐次线性方程组 Ax=0 与 Bx=0 的非零公共解为 y，则 y 既可由 1，2 线性表出，也可由 1， 2线性表出，故可设=x 1 1+x2 2=-x3 1-x4 2，于是 x1 1+x2 2+x3 1+x4 2=0对( 1， 2， 1， 2)作初等行变换，有*0*x 1，x 2，x 3，x 4不全为 0*秩 r( 1， 2， 1， 2)4*a=
20、0当 a=0 时，解出 x4=t，x 3=-t，x 2=-t，x 1=2t因此 Ax=0 与 Bx=0 的公共解为 y=2t 1-t 2=t(1，4，1，1) T，其中 t 为任意常数评注 矩阵 A 的答案不唯一)解析：23.已知 （分数：11.00）_正确答案：(由矩阵 A 的特征多项式*得到 A 的特征值是 1=1-a， 2=a， 3=a+1由(1-a)E-Ax=0，*得到属于 1=1-a 的特征向量是 1=k1(1，0，1) T，k10由*得到属于 1=a 的特征向量是 2=k2(1，1-2a，1) T，k 20由(a+1)E-Ax=0，*得 到属于 3=a+1 的特征向量 3=k3(2-a，-4a，a+2) T，k 30如果 1， 2， 3互不相同，即 1-aa，1-aa+1，aa+1，即*且 a0，则矩阵 A 有 3 个不同的特征值，A 可以相似对角化若*即*，此时 A 只有一个线性无关的特征向量，故 A 不能相似对角化若 a=0，即 1= 3=1，此时 A 只有一个线性无关的特征向量，故 A 不能相似对角化*)解析：
