1、考研数学二-线性代数特征值及答案解析(总分：126.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：28.00)1.设 （分数：4.00）A.1，2，1TB.1，-2，1TC.2，1，2TD. 2，1，-2T2.设 A 是三阶矩阵，有特征值 1，-1，2，则下列矩阵中可逆矩阵是（分数：4.00）A.E-AB.E+AC.2E-AD.2E+A3.已知 A 是三阶矩阵，r(A) =1，则 =0（分数：4.00）A.必是 A 的二重特征值B.至少是 A 的二重特征值C.至多是 A 的二重特征值D.一重、二重、三重特征值都可能4.下列矩阵中能相似于对角阵的矩阵是 (A) (B) (C) (D)
2、 （分数：4.00）A.B.C.D.5.A，B 是 n 阶矩阵，且 AB，则（分数：4.00）A.A，B 的特征矩阵相同B.A，B 的特征方程相同C.A，B 相似于同一个对角阵D.存在 n 阶方阵 Q，使得 QTAQ=B6.A 是三阶矩阵，P 是三阶可逆矩阵， （分数：4.00）A.1，2，1+3B.2，3，1C.1+2，-2，33D.1+2，2+3，3+17.设 是可逆矩阵，且 ，则 A (A) (B) (C) (D) （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：7，分数：28.00)8.A 满足关系式 A 2 -2A+E=0，则 A 的特征值的取值范围是 1 （分数：4.00）9
3、.已知-2 是 （分数：4.00）10.已知 =1，a T 是 （分数：4.00）11.三阶矩阵 A 有特征值-1，1，2，B=A-3A 2 ，则|B|= 1 （分数：4.00）12.已知 （分数：4.00）13.已知是 A 的对应于 (单根)的特征向量，则 P -1 AP 对应于 的一个特征向量是 1 （分数：4.00）14.设 A 是 n 阶实对称阵， 1 ， 2 ， n 是 A 的 n 个互不相同的特征值， 1 是 A 的对应于 1 的 1 个单位特征向量，则矩阵 （分数：4.00）三、解答题(总题数：14，分数：70.00)15.已知 （分数：5.00）_16.设 （分数：5.00）_
4、17.已知 （分数：5.00）_18.已知 A=a ij nn ，其中 a ij =1(i=1，2，n；j=1，2，n)，求可逆阵 P，使 P -1 AP=A （分数：5.00）_19.设 （分数：5.00）_设三阶实对称矩阵 A 有特征值 1 =1， 2 =2， 2 =3A 的对应于 1 =1， 2 =2 的特征向量分别是 1 =-1，-1，1 T ， 2 =1， 2，-1 T ，（分数：5.00）(1).求 A 的属于 3 =3 的特征向量（分数：2.50）_(2).求 A（分数：2.50）_20.设 A 是三阶矩阵，有特征值 1 ， 2 ， 3 ，其对应的特征向量分别是 1 =1，0，0
5、 T ， 2 =1，1，0 T ， 3 =1，1，1 T ，求 A n （分数：5.00）_21.设 A 是三阶矩阵，有特征值 1 =1， 2 =-2， 3 =3，对应的特征向量分别是 1 =1，-2，1 T ， 2 =1，0，-1 T ， 3 =1，1，1 T ，=3，-1，1 T ，求 A 100 （分数：5.00）_22.已知 （分数：5.00）_23.设 A 33 与对角阵 （分数：5.00）_24.设 A 是 n 阶实矩阵，有 A=，A T =，其中 ， 是数，且 ， 是 n 维非零向量，证明 ， 正交 （分数：5.00）_25.设 1 ， 2 ， n 是 A=a ij nn 的 n
6、 个特征值，证明 （分数：5.00）_26.已知 A 是 n 阶实对称阵， 1 ， 2 ， n 是 A 的特征值， 1 ， 2 ， n 是 A 的 n个标准正交特征向量，证明 A 可表示为 （分数：5.00）_设 A=E+X T Y，其中，X=x 1 ，x 2 ，x n ，y=y 1 ，y 2 ，y n ，且 XY T =2（分数：5.00）(1).求 A 的特征值和特征向量；（分数：2.50）_(2).求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=A（分数：2.50）_考研数学二-线性代数特征值答案解析(总分：126.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：28.00)1.设 （分
7、数：4.00）A.1，2，1TB.1，-2，1T C.2，1，2TD. 2，1，-2T解析：解析 只需验算 A= 即可，因 ，故2.设 A 是三阶矩阵，有特征值 1，-1，2，则下列矩阵中可逆矩阵是（分数：4.00）A.E-AB.E+AC.2E-AD.2E+A 解析：解析 因-2 不是 A 的特征值，故|2E+A|0，2E+A 是可逆矩阵3.已知 A 是三阶矩阵，r(A) =1，则 =0（分数：4.00）A.必是 A 的二重特征值B.至少是 A 的二重特征值 C.至多是 A 的二重特征值D.一重、二重、三重特征值都可能解析：解析 至少二重(因 r(A)=1，A 是三阶矩阵)，也可能三重，如4.
8、下列矩阵中能相似于对角阵的矩阵是 (A) (B) (C) (D) （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 四个矩阵的特征值均是 1，1，2，存在多重特征值时，若对应线性无关特征向量个数等于特征值重数，则该矩阵能相似于对角阵5.A，B 是 n 阶矩阵，且 AB，则（分数：4.00）A.A，B 的特征矩阵相同B.A，B 的特征方程相同 C.A，B 相似于同一个对角阵D.存在 n 阶方阵 Q，使得 QTAQ=B解析：解析 相似矩阵有相同的特征值6.A 是三阶矩阵，P 是三阶可逆矩阵， （分数：4.00）A.1，2，1+3B.2，3，1C.1+2，-2，33 D.1+2，2+3，3+1解析：解
9、析 要注意：(1)特征值和对应的特征向量排列次序应一致；(2) 1 ， 2 是 =1 的特征向量，k 1 1 +k 2 2 (k 1 ，k 2 不同时为零)仍是 =1 的特征向量；(3)不同特征值对应的特征向量之和不再是特征向量7.设 是可逆矩阵，且 ，则 A (A) (B) (C) (D) （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 ，B 可逆，右乘 B -1 得 BAB -1 = 二、填空题(总题数：7，分数：28.00)8.A 满足关系式 A 2 -2A+E=0，则 A 的特征值的取值范围是 1 （分数：4.00）解析：1 设 A 有特征值 ，则 f(A)=A 2 -2A+E 有特征
10、值 f(A)= 2 -2+1=(-1) 2 ，而 f(A)=0 是零矩阵，故有(-1) 2 =0，得 A 的特征值为 1，即 A 的特征值只能是 1(1 是 A 的 n 重特征值)9.已知-2 是 （分数：4.00）解析：-4 由|E-A|=|-2E-A|=0，可求得 x=-410.已知 =1，a T 是 （分数：4.00）解析：5 或-111.三阶矩阵 A 有特征值-1，1，2，B=A-3A 2 ，则|B|= 1 （分数：4.00）解析：-80B 有特征值-4，-2，-10，故|B|=-8012.已知 （分数：4.00）解析：4 r(A-E)=r(PAP -1 -E)=r(P(A-E)P -
11、1 )=r(A-E)=1，同理 r(A+E)=3，故 r(A-E)+r(A+E)=413.已知是 A 的对应于 (单根)的特征向量，则 P -1 AP 对应于 的一个特征向量是 1 （分数：4.00）解析：P -1 设 P -1 AP 的特征向量为 ，则 P -1 AkP=，AP=P，取 P=，=p -1 (或 kP -1 ，其中 k 是不为零的任意常数)14.设 A 是 n 阶实对称阵， 1 ， 2 ， n 是 A 的 n 个互不相同的特征值， 1 是 A 的对应于 1 的 1 个单位特征向量，则矩阵 （分数：4.00）解析：0 A 是实对称阵，其余的特征向量为 2 ， 3 ， n 因不同特
12、征值对应的特征向量相互正交，且有(A- 故知 三、解答题(总题数：14，分数：70.00)15.已知 （分数：5.00）_正确答案：()解析：A 不能相似于对角阵，因 =-2 是二重特征值但只对应一个线性无关特征向量16.设 （分数：5.00）_正确答案：()解析：A，B 均是实对称阵，它们均可相似于对角阵，而|E-A|=0 及|E-B|=0，解得相同的特征值4，1，-2，故 A，B 相似于同一个对角阵，由相似关系的传递性，得 AB17.已知 （分数：5.00）_正确答案：()解析： 1 =1-a， 2 =a， 3 =1+n当 且 a0 时， 1 2 3 ，AA；当 时； 1 - 2 = 18
13、.已知 A=a ij nn ，其中 a ij =1(i=1，2，n；j=1，2，n)，求可逆阵 P，使 P -1 AP=A （分数：5.00）_正确答案：()解析：19.设 （分数：5.00）_正确答案：()解析： 1 =5， 2 = 3 =-1 设三阶实对称矩阵 A 有特征值 1 =1， 2 =2， 2 =3A 的对应于 1 =1， 2 =2 的特征向量分别是 1 =-1，-1，1 T ， 2 =1， 2，-1 T ，（分数：5.00）(1).求 A 的属于 3 =3 的特征向量（分数：2.50）_正确答案：()解析： 3 =1，0，1 T ， (2).求 A（分数：2.50）_正确答案：(
14、)解析： 20.设 A 是三阶矩阵，有特征值 1 ， 2 ， 3 ，其对应的特征向量分别是 1 =1，0，0 T ， 2 =1，1，0 T ， 3 =1，1，1 T ，求 A n （分数：5.00）_正确答案：()解析：21.设 A 是三阶矩阵，有特征值 1 =1， 2 =-2， 3 =3，对应的特征向量分别是 1 =1，-2，1 T ， 2 =1，0，-1 T ， 3 =1，1，1 T ，=3，-1，1 T ，求 A 100 （分数：5.00）_正确答案：()解析：由 =x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 ，解得x 1 ，x 2 ，x 3 =1，1，1= 1 + 2 + 3 ，A 100
15、 =A 100 ( 1 + 2 + 3 )= 1 +(-2) 100 2 +3 100 3 = 22.已知 （分数：5.00）_正确答案：()解析：A 的特征值为 =3(二重根)，=-1(单根)=3 时应有两个线性无关特征向量，定出参数 x=2，且 23.设 A 33 与对角阵 （分数：5.00）_正确答案：()解析：设 A=PP -1 ，代入 B 得 B=(PP -1 - 1 E)(PP -1 - 2 E)(PP -1 - 3 E) =P(- 1 E)P -1 P(- 2 E)P -1 P(- 2 E)P -124.设 A 是 n 阶实矩阵，有 A=，A T =，其中 ， 是数，且 ， 是
16、n 维非零向量，证明 ， 正交 （分数：5.00）_正确答案：()解析：A=， T A T = T ，右乘 ，得 T A T = T ， T =025.设 1 ， 2 ， n 是 A=a ij nn 的 n 个特征值，证明 （分数：5.00）_正确答案：()解析：A 的特征值为 1 ， 2 ， n ，则 A 2 有特征值 ，故 26.已知 A 是 n 阶实对称阵， 1 ， 2 ， n 是 A 的特征值， 1 ， 2 ， n 是 A 的 n个标准正交特征向量，证明 A 可表示为 （分数：5.00）_正确答案：()解析：设 ，Q 是正交阵，则 A=QAQ T 设 A=E+X T Y，其中，X=x 1 ，x 2 ，x n ，y=y 1 ，y 2 ，y n ，且 XY T =2（分数：5.00）(1).求 A 的特征值和特征向量；（分数：2.50）_正确答案：()解析：=3，=1(n-1 重根)； 1 =-y 2 ，y 1 ，0，0 T ， 2 =-y 3 ，0，y 1 ，0，0 T ， n-1 =-y n ，0，0，y 1 T ， n =x 1 ，x 2 ，x n T (2).求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=A（分数：2.50）_正确答案：()解析：
