1、考研数学二（向量、线性方程组）历年真题试卷汇编 1及答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.(2002年)设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，向量 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，而向量 2 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，则对于任意常数 k，必有 【 】（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 ，k 1 2 线性无关B. 1 ， 2 ， 3 ，k 1 2 线性相关C. 1 ， 2 ， 3 ， 1 k 2 线性无关D. 1 ， 2 ，
2、3 ， 1 k 2 线性相关3.(2003年)设向量组： 1 ， 2 ， r 可由向量组： 1 ， 2 ， r 线性表示，则 【 】（分数：2.00）A.当 rs 时，向量组必线性相关B.当 rs 时，向量组必线性相关C.当 rs 时，向量组必线性相关D.当 rs 时，向量组必线性相关4.(2004年)设 A，B 为满足 ABO 的任意两个非零矩阵，则必有 【 】（分数：2.00）A.A的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关B.A的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关C.A的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关D.A的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关5.(2006年)设 1
3、 ， 2 ， s 均为 n维列向量，A 是 mn矩阵，下列选项正确的是 【 】（分数：2.00）A.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关B.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性无关C.若 1 ， 2 ， s 线性无关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关D.若 1 ， 2 ， s 线性无关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性无关6.(2007年)设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，则下列向量组线性相关的是 【 】（分数：2.00）A. 1 2 ， 2 3 ， 3 1 B. 1 2 ， 2 3 ， 3 1 C. 1
4、 2 2 ， 2 2 3 ， 3 2 1 D. 1 2 2 ， 2 2 3 ， 3 2 1 7.(2010年)设向量组： 1 ， 2 ， r 可由向量组： 1 ， 2 ， s 线性表示下列命题正确的是 【 】（分数：2.00）A.若向量组线性无关，则 rsB.若向量组线性无关，则 rsC.若向量组线性无关，则 rsD.若向量组线性无关，则 rs8.(2012年)设函数 f(，y)可微，且对任意 ，y 都有 （分数：2.00）A. 1 2 ，y 1 y 2 B. 1 2 ，y 1 y 2 C. 1 2 ，y 1 y 2 D. 1 2 ，y 1 y 2 9.(2013年)设 A，B，C 均为 n阶
5、矩阵若 ABC，且 B可逆，则 【 】（分数：2.00）A.矩阵 C的行向量组与矩阵 A的行向量组等价B.矩阵 C的列向量组与矩阵 A的列向量组等价C.矩阵 C的行向量组与矩阵 B的行向量组等价D.矩阵 C的列向量组与矩阵 B的列向量组等价10.(2014年)设 1 ， 2 ， 3 均为 3维向量，则对任意常数 k，l，向量组 1 k 3 ， 2 l 3 线性无关是向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关的 【 】（分数：2.00）A.必要非充分条件B.充分非必要条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件11.(2011年)设 A( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )是 4阶矩阵，A * 为 A的伴
6、随矩阵若(1，0，1，0) T 是方程组 A0 的一个基础解系，则 A * 0 的基础解系可为 【 】（分数：2.00）A. 1 ， 3 B. 1 ， 2 C. 1 ， 2 ， 3 D. 2 ， 3 ， 4 12.(2015年)设矩阵 （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：2，分数：4.00)13.(1997年)已知向量组 1 (1，2，1，1)， 2 (2，0，t，0)， 3 (0，4，5，2)的秩为 2，则 t 1（分数：2.00）填空项 1:_14.(2001年)设方程组 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：21，分数：42.00)15.解答题解答应写出文
7、字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_16.(1999年)设向量组 1 1，1，1，3 T ， 2 1，3，5，1 T ， 3 3，2，1，p2 T ， 4 2，6，10，P T (1)p 为何值时，该向量组线性无关?并在此时将向量4，1，6，10 T 用 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出； (2)p 为何值时，该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组（分数：2.00）_17.(2000年)已知向量组 （分数：2.00）_18.(2005年)确定常数 ，使向量组 1 (11，a) T ， 2 (1，a，1) T ， 3 (a，1，1) T 可由向量组 1 (1，1
8、，a) T ， 2 (2，a，4) T ， 3 (2，a，a) T 线性表示，但向量组 1 ， 2 ， 3 不能由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表示（分数：2.00）_19.(2011年)设向量组 1 (1，0，1) T ， 2 (0，1，1) T ， 3 (1，3，5) T 不能由向量组 1 (1，1，1) T ， 2 (1，2，3) T ， 3 (3，4，a) T 线性表示 ()求 a的值； ()将 1 ， 2 ， 3 用 1 ， 2 ， 3 线性表示（分数：2.00）_20.(1997年) 取何值时，方程组 （分数：2.00）_21.(1998年)已知 1 1，4，0，2 T ， 2
9、2，7，1，3 T ， 3 0，1，1，a T ，3，10，6，4 T ，问： (1)a，b 取何值时， 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示? (2)a，b取何值时， 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示?并写出此表示式（分数：2.00）_22.(2000年)设 （分数：2.00）_23.(2001年)已知 1 ， 2 ， 3 ， 4 是线性方程组 AX0 的一个基础解系，若 1 1 t 2 ， 2 2 t 3 ， 3 3 t 4 ， 4 4 t 1 ，讨论实数 t满足什么关系时， 1 ， 2 ， 3 ， 4 也是 AX0 的一个基础解系（分数：2.00）_24.(2002年)已知矩阵 A 1
10、 2 3 4 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 均为 4维列向量，其中 2 ， 3 ， 4 线性无关， 1 2 2 3 如果 1 2 3 4 ，求线性方程组 A 的通解（分数：2.00）_25.(2003年)已知平面上三条不同直线的方程分别为 l 1 ：a2by3c0，l 2 ：b2cy3a0，l 3 ：c2ay3b0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为abc0（分数：2.00）_26.(2004年)设有齐次线性方程组 （分数：2.00）_27.(2005年)已知 3阶矩阵 A的第一行是(a，b，c)，a，b，c 不全为零，矩阵 B （分数：2.00）_28.(2006年)已知非齐次线性方程
11、组 （分数：2.00）_29.(2007年)设线性方程组 （分数：2.00）_30.(2008年)设 n元线性方程组 Ab，其中 （分数：2.00）_31.(2009年)设 （分数：2.00）_32.(2010年)设 （分数：2.00）_33.(2012年)设 （分数：2.00）_34.(2013年)设 （分数：2.00）_35.(2014年)设 A （分数：2.00）_考研数学二（向量、线性方程组）历年真题试卷汇编 1答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_
12、解析：2.(2002年)设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，向量 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，而向量 2 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，则对于任意常数 k，必有 【 】（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 ，k 1 2 线性无关 B. 1 ， 2 ， 3 ，k 1 2 线性相关C. 1 ， 2 ， 3 ， 1 k 2 线性无关D. 1 ， 2 ， 3 ， 1 k 2 线性相关解析：解析：由已知，存在常数 ，l，l，l，使得 1 l 1 1 l 2 2 l 3 3 (*) 如果k 1 2 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，则存在常数 m 1 ，m 2 ，m 3 ，
13、使得 k 1 2 m 1 1 m 2 2 m 3 3 (*) 将(*)式代入(*)式，可得 2 (m 1 kl 1 ) 1 (m 2 kl 2 ) 2 (m 3 kl 3 ) 3 即 2 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，这与已知条件矛盾，故k 1 2 必不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示再根据结论：“若 1 ， 2 ， 3 线性无关，则向量 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示 3.(2003年)设向量组： 1 ， 2 ， r 可由向量组： 1 ， 2 ， r 线性表示，则 【 】（分数：2.00）A.当 rs 时，向量组必线性相关B.当 rs 时，向量组必线性相关C.当 rs 时，向量
14、组必线性相关D.当 rs 时，向量组必线性相关 解析：解析：利用下述熟知的结论：“若向量组可由线性表示，则秩()秩()”，由于秩()s，得秩()s，当 rs 时，有秩()sr，即()的秩小于()所含向量个数，亦即()线性相关4.(2004年)设 A，B 为满足 ABO 的任意两个非零矩阵，则必有 【 】（分数：2.00）A.A的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关C.A的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关D.A的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关解析：解析：设 A按列分块为 A 1 2 n ，由 BO 知 B至少有一列非零，设
15、B的第 j列(b 1j ，b j ，b nj ) T 0，则 AB的第 j列为 1 2 n 5.(2006年)设 1 ， 2 ， s 均为 n维列向量，A 是 mn矩阵，下列选项正确的是 【 】（分数：2.00）A.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关 B.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性无关C.若 1 ， 2 ， s 线性无关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关D.若 1 ， 2 ， s 线性无关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性无关解析：解析：若 1 ， 2 ， s 线性相关，则存在一组不全为零的常数 k
16、 1 ，k 2 ，k s ，使得 k 1 1 k 2 2 k s s 0 两端左乘矩阵 A，得 k 1 A 1 k 2 A 2 k s A s 0 因 k 1 ，k 2 ，k 3 不全为零，故由线性相关的定义，即知向量组 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关6.(2007年)设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，则下列向量组线性相关的是 【 】（分数：2.00）A. 1 2 ， 2 3 ， 3 1 B. 1 2 ， 2 3 ， 3 1 C. 1 2 2 ， 2 2 3 ， 3 2 1 D. 1 2 2 ， 2 2 3 ， 3 2 1 解析：解析：观察易知 ( 1 2 )( 2 3 )( 3
17、1 )0 即选项 A中 3个向量之和为零向量，故为线性相关组，从而知选项 A正确7.(2010年)设向量组： 1 ， 2 ， r 可由向量组： 1 ， 2 ， s 线性表示下列命题正确的是 【 】（分数：2.00）A.若向量组线性无关，则 rs B.若向量组线性无关，则 rsC.若向量组线性无关，则 rsD.若向量组线性无关，则 rs解析：解析：由于()可由()线性表示，所以有 r()r()，而 r()s，当()线性无关时，就有 rr()r()s，所以选项 A正确8.(2012年)设函数 f(，y)可微，且对任意 ，y 都有 （分数：2.00）A. 1 2 ，y 1 y 2 B. 1 2 ，y
18、 1 y 2 C. 1 2 ，y 1 y 2 D. 1 2 ，y 1 y 2 解析：9.(2013年)设 A，B，C 均为 n阶矩阵若 ABC，且 B可逆，则 【 】（分数：2.00）A.矩阵 C的行向量组与矩阵 A的行向量组等价B.矩阵 C的列向量组与矩阵 A的列向量组等价 C.矩阵 C的行向量组与矩阵 B的行向量组等价D.矩阵 C的列向量组与矩阵 B的列向量组等价解析：解析：因为矩阵 B可逆，所以 B可以表示成若干个初等矩阵之积，而用初等矩阵右乘矩阵相当于对矩阵施行初等列变换经一次初等列变换，变换前与变换后的矩阵的列向量组可以相互线性表示，经若干次初等列变换，亦是如此，即变换前与变换后矩阵
19、的列向量组等价，所以选 B10.(2014年)设 1 ， 2 ， 3 均为 3维向量，则对任意常数 k，l，向量组 1 k 3 ， 2 l 3 线性无关是向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关的 【 】（分数：2.00）A.必要非充分条件 B.充分非必要条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件解析：解析：记向量组()： 1 k 3 ； 2 l 3 向量组()： 1 ， 2 ， 3 ()是由()线性表出的，写成矩阵形式即是： 1 k 3 ， 2 l 3 1 ， 2 ， 3 当()线性无关时，矩阵 1 ， 2 ， 3 为列满秩的，由于用列满秩阵左乘矩阵后，矩阵的秩不变，而矩阵 11.(2011年
20、)设 A( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )是 4阶矩阵，A * 为 A的伴随矩阵若(1，0，1，0) T 是方程组 A0 的一个基础解系，则 A * 0 的基础解系可为 【 】（分数：2.00）A. 1 ， 3 B. 1 ， 2 C. 1 ， 2 ， 3 D. 2 ， 3 ， 4 解析：解析：首先，4 元齐次线性方程组 A * 0 的基础解系所含解向量的个数为 4r(A * )，其中r(A * )为 A * 的秩，因此求 r(A * )是一个关键其次，由 A0 的基础解系只含 1个向量，即 4r(A)1，得 r(A)3，于是由 r(A * )与 r(A)的关系，知 r(A * )1，因此，方程
21、组 A * 0 的基础解系所含解向量的个数为 4r(A * )3，故选项 A、B 不对再次，由(1，0，1，0) T 是方程组 A0 或 1 1 2 2 3 3 4 4 0 的解，知 1 3 0，故 1 与 3 线性相关，于是只有选项 D正确12.(2015年)设矩阵 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：对方程组的增广矩阵施行初等行变换(化成阶梯形)：二、填空题(总题数：2，分数：4.00)13.(1997年)已知向量组 1 (1，2，1，1)， 2 (2，0，t，0)， 3 (0，4，5，2)的秩为 2，则 t 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：
22、解析：以 1 ， 2 ， 3 为行作成矩阵 A，并对 A作初等变换： 14.(2001年)设方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：对方程组的增广矩阵 作初等行变换： 由此可见： (1)当 a1 且 a2 时，r(A)r( )3，方程组有唯一解； (2)当 a1 时，r(A)1，r( )2，方程组无解； (3)当a2 时，r(A)r(三、解答题(总题数：21，分数：42.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：16.(1999年)设向量组 1 1，1，1，3 T ， 2 1，3，5，1 T ， 3 3，2，1，
23、p2 T ， 4 2，6，10，P T (1)p 为何值时，该向量组线性无关?并在此时将向量4，1，6，10 T 用 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出； (2)p 为何值时，该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对矩阵 A 1 2 3 4 作初等行变换： (1)当 P2 时，矩阵 1 2 3 4 的秩为 4，即向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，此时设 1 1 2 2 3 3 4 4 ，解得 1 2， 2 ， 3 1， 4 即有 2 1 )解析：17.(2000年)已知向量组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
24、1 和 2 线性无关， 3 3 1 2 2 ，所以向量组 1 ， 2 ， 3 线性相关，且其秩为 2， 1 ， 2 是它的一个极大线性无关组 由于向量组 1 ， 2 ， 3 与 1 ， 2 ， 3 具有相同的秩，故 1 ， 2 ， 3 届线性相关，从而，行列式 1 2 3 0 由此解得 a3b 又 3 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，从而可由 1 ， 2 线性表示，所以 1 ， 2 ， 3 线性相关，于是，行列式 1 2 3 )解析：18.(2005年)确定常数 ，使向量组 1 (11，a) T ， 2 (1，a，1) T ， 3 (a，1，1) T 可由向量组 1 (1，1，a) T ，
25、 2 (2，a，4) T ， 3 (2，a，a) T 线性表示，但向量组 1 ， 2 ， 3 不能由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表示（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 A( 1 ， 2 ， 3 )，B( 1 ， 2 ， 3 )，由于 1 ， 2 ， 3 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，故秩 r(A)3，从而A(a1) 2 (a2)0，所以a1 或 a2 当 a1 时， 1 2 3 1 (1，1，1) T ，故 1 ， 2 ， 3 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，但 2 (2，1，4) T 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，所以a1 符合题意 当 a2 时，由下列矩阵
26、的初等行变换 )解析：19.(2011年)设向量组 1 (1，0，1) T ， 2 (0，1，1) T ， 3 (1，3，5) T 不能由向量组 1 (1，1，1) T ， 2 (1，2，3) T ， 3 (3，4，a) T 线性表示 ()求 a的值； ()将 1 ， 2 ， 3 用 1 ， 2 ， 3 线性表示（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()4 个 3维向量 1 ， 2 ， 3 ， i 线性相关(i1，2，3)，若 1 ， 2 ， 3 线性无关，则 i 可由 1 ， 2 ， 2 线性表示(i1，2，3)，这与题设矛盾，于是 1 ， 2 ， 3 线性相关，从而 0 1 ， 2 ，
27、 3 a5， 于是 a5此时， 1 不能由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表示 ()令矩阵 A 1 2 3 1 2 3 ，对 A施行初等行变换 )解析：20.(1997年) 取何值时，方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原方程组的系数行列式 故当 1 且 时，A0，所以方程组有唯一解 当 1 时，对方程组的增广矩阵 作初等行变换： 因此，当 1 时有r(A)r( )23，故原方程组有无穷多解，其通解为 (或( 1 ， 2 ， 3 ) T (1，1，0) T k(0，1，1) T (k为任意常数) 当 时，对其增广矩阵作初等行变换：此时有 r(A)2，r( )解析：21.(1998
28、年)已知 1 1，4，0，2 T ， 2 2，7，1，3 T ， 3 0，1，1，a T ，3，10，6，4 T ，问： (1)a，b 取何值时， 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示? (2)a，b取何值时， 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示?并写出此表示式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：考虑线性方程组( 1 ， 2 ， 3 )，其中 ( 1 ， 2 ， 3 ) T ，对其增广矩阵 1 2 3 作初等行变换： 所以(1)当 b2 时，方程组无解，此时 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示； (2)当 b2 且 a1 时，r(A)r( )3，方程组有唯一解： ( 1 ， 2 ， 3
29、 ) T (1，2，0) T ， 于是 可唯一表示为 1 2 2 ； (3)当 b2 且 a1 时，r(A)r( )解析：22.(2000年)设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设得 又 A 2 1 1 ( 1 ) 1 2A A 4 (A 2 ) 2 (2A) 2 8A 代入原方程，得 16A8A16 即 8(A2E)(其中 E是 3阶单位矩阵) 令 ( 1 ， 2 ， 3 ) T ，代入上式，得非齐次线性方程组 解其对应的齐次方程组，得通解 k(1，2，1) T ，(k 为任意常数)， 显然，非齐次方程组有一个特解为 * (0，0， ) T 于是所求方程的解为 * ，即 )解析
30、：23.(2001年)已知 1 ， 2 ， 3 ， 4 是线性方程组 AX0 的一个基础解系，若 1 1 t 2 ， 2 2 t 3 ， 3 3 t 4 ， 4 4 t 1 ，讨论实数 t满足什么关系时， 1 ， 2 ， 3 ， 4 也是 AX0 的一个基础解系（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 1 A( 1 t 2 )A 1 tA 2 000，知 1 为 A0 的解同理可知 2 ， 3 也都是 A0 的解已知 A0 的基础解系含 4个向量，故 1 ， 2 ， 3 ， 4 为 A0 的一个基础解系，当且仅当 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关 设有一组数 1 ， 2 ， 3 ，
31、 4 ，使得 1 1 2 2 3 3 4 4 0 即( 1 t 4 ) 1 (t 1 2 ) 2 (t 2 3 ) 3 (t 3 4 ) 4 0，由于 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，故 )解析：24.(2002年)已知矩阵 A 1 2 3 4 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 均为 4维列向量，其中 2 ， 3 ， 4 线性无关， 1 2 2 3 如果 1 2 3 4 ，求线性方程组 A 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ，则由 A 1 2 3 4 得 1 1 2 2 3 3 4 4 1 2 3 4 将 1 2 2 3 代入上式，整理后得 (2 1 2 3) 2 ( 1
32、 3 ) 3 ( 4 1) 4 0 由 2 ， 3 ， 4 线性无关，得 解此方程组，得 )解析：25.(2003年)已知平面上三条不同直线的方程分别为 l 1 ：a2by3c0，l 2 ：b2cy3a0，l 3 ：c2ay3b0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为abc0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性：设三直线 l 1 ，l 2 ，l 3 交于一点，则二元线性方程组 有惟一解，故其系数矩阵 A 与增广矩阵 的秩均为 2，于是有 0 由于 6(abc)a 2 b 2 c 2 abacbc 3(abc)(ab) 2 (bc) 2 (ca) 2 及(ab) 2 (bc) 2
33、(ca) 2 0(否则 abc，则三条直线重合，从而有无穷多个交点，与交点惟一矛盾)，所以 abc0 充分性：若 abc0，则由必要性的证明知 0，故秩( )3，又系数矩阵 A中有一个二阶子式 故秩(A)2，于是有秩(A)秩( )解析：26.(2004年)设有齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对方程组的系数矩阵作初等行变换，有 当 a0 时，r(A)14，故方程组有非零解，其同解方程组为 1 2 3 4 0， 由此得基础解系为 1 (1，1，0，0) T ， 2 (1，0，1，0) T ， 3 (1，0，0，1) T ， 于是所求方程组的通解为 k 1 2 k 2 2 k 3 3 ，
