1、考研数学二（常微分方程与差分方程）-试卷 1及答案解析(总分：82.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2. （分数：2.00）A.B.C.D.3.设线性无关的函数 y 1 ，y 2 与 y 3 均为二阶非齐次线性微分方程的解，C 1 和 C 2 是任意常数，则该非齐次线性方程的通解是( )（分数：2.00）A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3 B.C 1 y 1 +C 2 y 2 一(C 1 +C 2 )y 3 C.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1一 C 1
2、C 2 )y 3 D.C 1 y 1 +C 2 y 2 一(1 一 C 1 C 2 )y 3 4.如果函数 y 1 (x)与 y 2 (x)都是以下四个选项给出方程的解，设 C 1 与 C 2 是任意常数，则 y=C 1 y 1 (x)+C 2 y 2 (x)必是( )的解（分数：2.00）A.)y”+y+y 2 =0B.y”+y+2y=1C.D.x+y+ 0 x y(t)dt=15.设 是某二阶常系数非齐次线性方程的解，则该方程的通解是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 y 1 (x)和 y 2 (x)是微分方程 y”+p(x)y+q(x)y=0的两个特解，则由 y 1 (x)
3、，y 2 (x)能构成该方程的通解的充分条件为( )（分数：2.00）A.y 1 (x)y 2 (x)一 y 1 (x)y 2 (x)=0B.y 1 (x)y 2 (x)-y 2 (x)y 1 (x)0C.y 1 (x)y 2 (x)+y 1 (x)y 2 (x)=0D.y 1 (x)y“ 2 (x)+y 2 (x)y 1 (x)07.微分方程 y“-y=e x +x的特解形式为 y*=( )（分数：2.00）A.Ae x +BxB.Axe x +Bx+CC.Ae x +Bx+CD.Axe x +Bx 2 +C8.微分方程 y”+4y=cos 2x的特解可设为 y*=( )（分数：2.00）A
4、.Acos 2xB.Axcos 2xC.x(Acos 2x+Bsin 2x)D.Acos 2x+Bsin 2x二、解答题(总题数：33，分数：66.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_10.解下列一阶微分方程 （分数：2.00）_11.求下列微分方程满足初始条件的特解： (1)(y+x 3 )dx一 2xdy=0，且 (2)x 2 y+xy=y 2 ，且y| x=1 =1； (3)xy+(1 一 x)y=e 2x (x0)，且 y| x=1 =0； (4) （分数：2.00）_12.设 y=e x 是微分方程 xy+p(x)y=x的一个解，求此微分方程满
5、足条件 y| x=ln2 =0的特解（分数：2.00）_13.求满足方程 f(x)+xf(一 x)=x的 f(x)（分数：2.00）_14.已知 f(x)连续，且满足 0 1 f(ux)du= （分数：2.00）_15.如果 F(x)是 f(x)的一个原函数，G(x)是 （分数：2.00）_16.设曲线 L位于 xOy平面的第一象限内，L 上任一点 M处的切线与 y轴总相交，交点记为 A已知（分数：2.00）_17.设 L是一条平面曲线，其上任意一点 P(x，y)(x0)到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在 y轴上的截距，且 L经过点 （分数：2.00）_18.求微分方程 xdy+(x一 2
6、y)dx=0的一个解 y=y(x)，使得由曲线 y=y(x)与直线 x=1，x=2 以及 x轴所围成的平面图形绕 x轴旋转一周的旋转体体积最小（分数：2.00）_19.求解下列微分方程： (1)(x 3 +xy 2 )dx+(x 2 y+y 3 )dy=0； （分数：2.00）_20.设可微函数 f(x)满足方程 （分数：2.00）_21.按要求求下列一阶差分方程的通解或特解 (1)求 y x+1 -2y x =2 x 的通解； (2)求 y x+1 一 2y x =3x 2 满足条件 y x (0)=0的解； (3)求 2y x+1 +10y x 一 5x=0的通解（分数：2.00）_22.
7、求下列可降阶的高阶微分方程的通解 (1)x 2 y”=(y) 2 +2xy； (2)(1+x)y”+y=ln(x+1)； (3)1+yy”+(y) 2 =0； (4)y”=1+(y) 2 （分数：2.00）_23.求下列微分方程的初值问题 （分数：2.00）_24.在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点 P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ长度的倒数(Q 是法线与 x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与 x轴平行（分数：2.00）_25.已知 y 1 =3，y 2 =3+x 2 ，y 3 =3+x 2 +e x 都是微分方程(x 2 一 2x)y”一(x 2 一 2)y+
8、(2x一 2)y=6x一 6的解，求此方程的通解（分数：2.00）_26.求微分方程 y“+4y+4y=e ax 的通解，其中 a是常数（分数：2.00）_27.求微分方程 y“+2y+y=xe x 的通解（分数：2.00）_28.设有方程 y”+(4x+e 2y )(y) 3 =0 (1)将方程转化为 x为因变量，y 作为自变量的方程； (2)求上述方程的通解（分数：2.00）_29.求微分方程 y”+a 2 y=sin x的通解，其中常数 a0（分数：2.00）_30.求方程 y“+4y=3|sinx|满足初始条件 （分数：2.00）_31.求微分方程 y”+y=x+cosx的通解（分数：
9、2.00）_32.设函数 y=y(x)满足微分方程 y“-3y+2y=2e x ， 且其图形在点(0，1)处的切线与曲线 y=x 2 一 x+1在该点的切线重合，求 y=y(x)的表达式（分数：2.00）_33.设 f(x)为连续函数，且 f(x)=sinx一 0 x (x一 t)ft)dt，求 f(x)（分数：2.00）_34.利用代换 （分数：2.00）_35.设 (x)是方程 y“+y=0的满足条件 y(0)=0，y(0)=1 的解，证明方程 y”+y=f(x)满足条件 y(0)=y(0)=0的解为 y= 0 x (t)f(x-t)dt（分数：2.00）_36.设函数 f(x)连续，且满
10、足 f(x)=e x + 0 x tf(t)dt一 x 0 x f(t)dt，求 f(x)的表达式（分数：2.00）_37.设 f(x)有二阶连续导数，且 f(0)=0，f(0)=一 1，已知曲线积分 L xe 2x -6f(x)sin ydx一5f(x)-f“(x)cos ydy 与积分路径无关，求 f(x)（分数：2.00）_38.设 f(x)有二阶连续导数，且 f(0)=0，f(0)=1，且 xy(x+y)-A x)ydx+f(x)+x 2 ydy=0 为一全微分方程，求 f(x)（分数：2.00）_39.设 y 1 =e -x ，y 2 =2xe -x ，y 3 =3e x 是某三阶常
11、系数齐次线性微分方程的解，试确定该微分方程的形式.（分数：2.00）_40.已知 y 1 =xe x +e 2x ，y 2 =xe x +e -x ，y 3 =xe x +e 2x e -x 是某二阶线性非齐次方程三个解，求此微分方程（分数：2.00）_41.求解欧拉方程 x 3 y“+x 2 y”一 4xy=3x 2 （分数：2.00）_考研数学二（常微分方程与差分方程）-试卷 1答案解析(总分：82.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2. （分数：2.00）A. B.
12、C.D.解析：解析：3.设线性无关的函数 y 1 ，y 2 与 y 3 均为二阶非齐次线性微分方程的解，C 1 和 C 2 是任意常数，则该非齐次线性方程的通解是( )（分数：2.00）A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3 B.C 1 y 1 +C 2 y 2 一(C 1 +C 2 )y 3 C.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1一 C 1 C 2 )y 3 D.C 1 y 1 +C 2 y 2 一(1 一 C 1 C 2 )y 3 解析：解析：如果设该二阶非齐次线性微分方程的形式为 y”+p(x)y+g(x)y=f(x) 由题意，y 1 ，y 2 ，y 3 均为其线性无关的解
13、，则 y=C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3 是 y“+p(x)y+q(x)y=3f(x)的解，故(A)选项不正确 y=C 1 y 1 +C 2 y 2 一(C 1 +C 2 )y 3 =C 1 (y 1 一 y 3 )+C 2 (y 2 一 y 3 )是方程对应的齐次方程的解，故(B)选项不正确 y=C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1一 C 1 C 2 )y 3 =C 1 (y 1 一 y 3 )+C 2 (y 2 一 y 3 )+y 3 ， 其中 C 1 (y 1 一 y 2 )+C 2 (y 2 一 y 3 )为齐次方程的通解，y 3 为原方程的一个特解，故(C)选项正确
14、y=C 1 y 1 +C 2 y 2 一(1 一 C 1 C 2 )y 3 =C 1 (y 1 +y 3 )+C 2 (y 2 +y 3 )一 y 3 是 y”+p(x)y+g(x)y=(2C 1 +2C 2 1)f(x)的解， 综上讨论，应选(C)4.如果函数 y 1 (x)与 y 2 (x)都是以下四个选项给出方程的解，设 C 1 与 C 2 是任意常数，则 y=C 1 y 1 (x)+C 2 y 2 (x)必是( )的解（分数：2.00）A.)y”+y+y 2 =0B.y”+y+2y=1C. D.x+y+ 0 x y(t)dt=1解析：解析：显然将 y代入四个方程逐一验证虽可行，但效率低
15、 选项(A)、(D)都不是线性方程，可排除 对于(B)选项，y”+y+2y=1，则 y=C 1 y 1 +C 2 y 2 应是 y”+y+2y=C 1 +C 2 的解，而 C 1 ，C 2 为任意常数，故(B)不正确，根据线性微分方程解的结构定理只有(C)是正确的5.设 是某二阶常系数非齐次线性方程的解，则该方程的通解是( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由解的结构定理，知 y 1 一 y 3 =e -x 是对应的齐次方程的解 也是对应的齐次方程的解 从而 是齐次方程的解，且 线性无关 即对应的齐次方程的通解为 又 y=4y 1 -y 2 -2y 3 = 6.设 y 1 (
16、x)和 y 2 (x)是微分方程 y”+p(x)y+q(x)y=0的两个特解，则由 y 1 (x)，y 2 (x)能构成该方程的通解的充分条件为( )（分数：2.00）A.y 1 (x)y 2 (x)一 y 1 (x)y 2 (x)=0B.y 1 (x)y 2 (x)-y 2 (x)y 1 (x)0 C.y 1 (x)y 2 (x)+y 1 (x)y 2 (x)=0D.y 1 (x)y“ 2 (x)+y 2 (x)y 1 (x)0解析：解析：y 1 (x)、y 2 (x)能构成该方程的通解，需 y 1 (x)与 y 2 (x)线性无关由(B)知 即lny 2 (x)lny 1 (x)+C，从而
17、 7.微分方程 y“-y=e x +x的特解形式为 y*=( )（分数：2.00）A.Ae x +BxB.Axe x +Bx+C C.Ae x +Bx+CD.Axe x +Bx 2 +C解析：解析：特征方程为 r 2 -1=0，特征根为 r 1 =1，r 2 =一 1 设 y“-y=e x 的特解为 y 1 *，由于=1 为特征方程的单根，故设 y 1 *=Axe x 设 y”一 y=x的特解为 y 2 *，由于 =0 不是特征方程的根，故设 y 2 *=Bx+C，从而原方程的特解为 y*=y 1 *+y 2 *，故应选(B)8.微分方程 y”+4y=cos 2x的特解可设为 y*=( )（分
18、数：2.00）A.Acos 2xB.Axcos 2xC.x(Acos 2x+Bsin 2x) D.Acos 2x+Bsin 2x解析：解析：特征方程为 r 2 +4=0故特征根为 r 1,2 =2i，由于 =2i 为特征方程的根，从而 y*应设为 x(Acos 2x+Bsin 2x)，应选(C)二、解答题(总题数：33，分数：66.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：10.解下列一阶微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (1)方程为可分离变量方程，分离变量得 积分得一 ln|2一 e y |=ln(x+1)一 ln|C 1 |，C
19、1 为任意常数 从而方程的通解为(x+1)e y 一 2x=C (2)方程变形为 积分得通解为 ，同时，y=2n(n=0，1，2，)也是方程的解 方程为一阶线性微分方程，由通解公式 这是以 x为未知函数的一阶线性方程，由通解公式有 (5)方程变形为 ，此为齐次方程 从而所求方程的解为 x 3 +y 3 =Cxy (6)因方程含有 sin(x+y)项，可令 x+y=u，则 即 )解析：11.求下列微分方程满足初始条件的特解： (1)(y+x 3 )dx一 2xdy=0，且 (2)x 2 y+xy=y 2 ，且y| x=1 =1； (3)xy+(1 一 x)y=e 2x (x0)，且 y| x=1
20、 =0； (4) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)方程变形为 此为一阶线性方程 )解析：12.设 y=e x 是微分方程 xy+p(x)y=x的一个解，求此微分方程满足条件 y| x=ln2 =0的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 y=e x 代入原方程，得 xe x +p(x)e x =x，解得 p(x)=xe -x 一 x方程化为y+(e -x -1)y=1 由通解公式，有 由 y| x=ln2 =0，有 )解析：13.求满足方程 f(x)+xf(一 x)=x的 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 x换为一 x，有 f(一 x)一 xf(x
21、)=一 x，由 消去 f(一 x)，得 )解析：14.已知 f(x)连续，且满足 0 1 f(ux)du= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.如果 F(x)是 f(x)的一个原函数，G(x)是 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.设曲线 L位于 xOy平面的第一象限内，L 上任一点 M处的切线与 y轴总相交，交点记为 A已知（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 L：y=y(z)在点 M(x，y)处的切线 MA的方程为 Yy=y(X一 x)，令 X=0，解得 A的坐标为(0，y 一 xy) 由于所求曲线在第一象限内，故方程为 将点 代入解得
22、C=3，于是所求曲线方程为 )解析：17.设 L是一条平面曲线，其上任意一点 P(x，y)(x0)到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在 y轴上的截距，且 L经过点 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)L 过点 P(x，y)的切线方程为 Y=y=y“(X一 x)， 其在 y轴上的截距为 y一xy (2)曲线 在点 P(x，y)处的切线方程为 它与 x轴、y 轴交点分别为 设 L与 x轴、y 轴在第一象限内所围图形的面积为 a，则所求面积为 (x0，y0)， )解析：18.求微分方程 xdy+(x一 2y)dx=0的一个解 y=y(x)，使得由曲线 y=y(x)与直线 x=1，x=2
23、 以及 x轴所围成的平面图形绕 x轴旋转一周的旋转体体积最小（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将方程 xdy+(x一 2y)dx=0变形为 )解析：19.求解下列微分方程： (1)(x 3 +xy 2 )dx+(x 2 y+y 3 )dy=0； （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (1)设 P=x 3 +xy 2 ，Q=x 2 y+y 3 ， 此方程为全微分方程， u(x，y)= (0,0) (x,y) (x 3 +xy 2 )dx+(x 2 y+y 3 )dy= 0 x (x 3 +xy 2 )dx+ 0 y y 3 dy= 从而通解为 (2)化为以 为未知函数，y 为自变量
24、的伯努利方程 原方程化为 =一 xlnx，此为一阶线性方程，通解为 =Cx+x 2 (1一 lnx)，即原方程通解为 (4)方程为全微分方程，P=5x 4 +3xy 2 一 y 3 ，Q=3x 2 y一 3xy 2 +y 2 ， u(x，y)= (0,0) (x,y) Pdx+Qdy= 0 x 5x 4 dx+ 0 y (3x 2 y-3xy 2 +y 2 )dy = 故所求方程的解为 )解析：20.设可微函数 f(x)满足方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将方程两端对 x求导“有 f“(x)=f 2 (x)ln x- 此方程为伯努利方程，可求得通解为 又 f(1)= dx=1，
25、代入通解，得 c=1，从而 )解析：21.按要求求下列一阶差分方程的通解或特解 (1)求 y x+1 -2y x =2 x 的通解； (2)求 y x+1 一 2y x =3x 2 满足条件 y x (0)=0的解； (3)求 2y x+1 +10y x 一 5x=0的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)齐次差分方程 y x+1 -2y x =0的通解为 y x =C2 x 设特解形式为 y x *=ax.2 x ，代入原方程得 故原方程的通解为 (2)齐次差分方程 y x+1 -2y x =0的通解为 y x =C.2 x 设特解形式为 y x *=ax 2 +bx+c，代入
26、方程得 a=3，b=-6，c=-9， 即通解为 y x =C.2 x 一(3x 2 +6x+9) 由 y x (0)=0，得 C=9，从而所求特解为 y x =9.2 x -3x 2 一 6x一 9 (3)齐次差分方程 2y x+1 +10y x =0的通解为 y x =C(-5) x 设特解形式为 y x *=ax+b，代入方程，得 2(ax+a+b)+10(ax+b)一5x=0， 即 ，从而所求通解为 )解析：22.求下列可降阶的高阶微分方程的通解 (1)x 2 y”=(y) 2 +2xy； (2)(1+x)y”+y=ln(x+1)； (3)1+yy”+(y) 2 =0； (4)y”=1+
27、(y) 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)方程中不显含 y，故令 y=p，则 代入原方程，原方程变形为 即 此方程为伯努利方程，再令 则有 (2)令 yp，则 y”=p，原方程化为 (x+1)p+p=ln(x+1)， 分离变量并积分，原方程通解为 y=(x+C 1 )ln(x+1)-2x+C 2 (3)令 p=y，方程中不显含 x，故 原方程化为 (4)令 p=y，则原方程化为 p=1+p 2 ，即 )解析：23.求下列微分方程的初值问题 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)方程中不显含 x，令 y=p，则 ，原方程变形为 由 y(0)=1，y(0)=2知 P0，
28、故 积分得 ln|p一 1|=2ln|y|+C 1 ，即 p一 1=C 2 y 2 ，由 y(0)=2，得 C 2 =1，从而 又由 y(0)=1，得 (2)令 y=p，则 由 )解析：24.在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点 P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ长度的倒数(Q 是法线与 x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与 x轴平行（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 y=y(x)在点(x，y)处的法线方程是 令 Y=0，得 Q点坐标为(x+yy，0) 又曲线 y=y(x)在点(1，1)处的切线与 x轴平行，从而 x=1时，y=1，y=0 令 y=p，则
29、 代入方程并整理得 即 =C 1 y 由初始条件 y(1)=0，得 C 1 =1 )解析：25.已知 y 1 =3，y 2 =3+x 2 ，y 3 =3+x 2 +e x 都是微分方程(x 2 一 2x)y”一(x 2 一 2)y+(2x一 2)y=6x一 6的解，求此方程的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 y 1 ，y 2 ，y 3 是所给线性非齐次方程的通解，所以 y 2 一 y 1 =(3+x 2 )一 3=x 2 和 y 3 -y 2 =(3+x 2 +e x )一(3+x 2 )= e x 是对应的齐次方程的两个解 又 )解析：26.求微分方程 y“+4y+4y=e
30、 ax 的通解，其中 a是常数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：齐次方程的特征方程为 r 2 +4r+4=0，解得特征根为 r 1 =r 2 =一 2，故对应的齐次方程的通解为 r=(C 1 +C 2 x)e -2x 当 a=-2时，设非齐次方程的特解为 y*=Ax 2 e -2x ， 代入原方程得 当 a-2 时，应设非齐次方程的特解为 y*=Be ax ，代入原方程得 综上，原方程的通解为 )解析：27.求微分方程 y“+2y+y=xe x 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程 r 2 +2r+1=0的两个根为 r 1 =r 2 =一 1 对应的齐次方程的通解为
31、 Y=(C 1 +C 2 x)e -x 设所求方程的特解为 y=(ax+b)e x ，则有 (y*)=(ax+a+b)e x ，(y*)“=(ax+2a+b)e x 代入所给方程，有 (4ax+4a+4b)e x =xe x 解得 最后得到所求的通解为 )解析：28.设有方程 y”+(4x+e 2y )(y) 3 =0 (1)将方程转化为 x为因变量，y 作为自变量的方程； (2)求上述方程的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (1)由于 ，两边对 x求导得 于是原方程化为 即 x”(y)一4x=e 2y (2)特征方程为 r 2 一 4=0，得特征根 r 1 =一 2，r 2 =
32、2，故方程对应的齐次方程的通解为 x=C 1 e -2y +C 2 e 2y 设特解的形式为 x=Aye 2y ， x*“=4Ae 2y +4Aye 2y )解析：29.求微分方程 y”+a 2 y=sin x的通解，其中常数 a0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对应的齐次方程的通解为 Y=C 1 cosax+C 2 sinax (1)当 a1 时，特征根+aii 设原方程的特解为 y=Asinx+Bcosx，代入方程，得 A(a 2 1)sinx+B(a 2 1)cos x=sinx， 解得 故原方程的特解为 (2)当 a=1时，设原方程的特解为 y=x(Asinx+Bcosx)，代入原方程，得 2Acosx 一 2Bsinx=sinx 解得 故原方程的特解为 综合上述讨论，得 当 a1 时，通解为 y=C 1 cosax+C 2 sinax+ 当 a=1时，通解为 y=C 1 cos x+C 2 si
