1、考研数学二（常微分方程）模拟试卷 17及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.微分方程 y4ye 2 的特解形式为( )（分数：2.00）A.ae 2 bcB.a 2 e 2 bcC.ae 2 b 2 cD.ae 2 bc3.设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 y 1 e ，y 2 2e ，y 3 3e - ，则该微分方程为( )（分数：2.00）A.yyyy0B.yyyy0C.y2yy2y0D.y2yy2y0二、填空题(总题数：7，分数：14.00)4.微
2、分方程 yytancos 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_5.设 f()在0，)上非负连续，且 f() 0 f(t)dt2 3 ，则 f() 1（分数：2.00）填空项 1:_6.连续函数 f()满足 f()3 0 f(t)dt2，则 f() 1（分数：2.00）填空项 1:_7.设 yy()可导，y(0)2，令yy()y()，且y （分数：2.00）填空项 1:_8.的通解为 1 （分数：2.00）填空项 1:_9.微分方程 yyln(y)10 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_10.微分方程 y 2 d( 2 y)dy0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_三
3、、解答题(总题数：21，分数：42.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_12.求微分方程 （分数：2.00）_13.求微分方程 yyln （分数：2.00）_14.求微分方程 y2ye 的通解（分数：2.00）_15.设 0 时，f()可导，且满足：f()1 （分数：2.00）_16.求微分方程(y （分数：2.00）_17.求微分方程(y 3 )d2dy0 的通解（分数：2.00）_18.求微分方程 y 2 d(2yy 2 )dy0 的通解（分数：2.00）_19.求微分方程 cosy （分数：2.00）_20.求微分方程 y （分数：2.00）_2
4、1.求微分方程 2 yyy 2 满足初始条件 y(1)1 的特解（分数：2.00）_22.求微分方程 （分数：2.00）_23.求微分方程 （分数：2.00）_24.设 ye 为微分方程 yP()y 的解，求此微分方程满足初始条件 y(ln2)0 的特解（分数：2.00）_25.设 f()e 0 (t)f(t)dt，其中 f()连续，求 f()（分数：2.00）_26.求微分方程 y3y0 的通解（分数：2.00）_27.设当 0 时，f()满足 1 f(t)dtf()，求 f()（分数：2.00）_28.求满足初始条件 y2(y) 2 0，y(0)1，y(0)1 的特解（分数：2.00）_2
5、9.求微分方程 yyy 2 满足初始条件 y(0)y(0)1 的特解（分数：2.00）_30.求微分方程 yy6y0 的通解（分数：2.00）_31.求微分方程 y4y4y0 的通解（分数：2.00）_考研数学二（常微分方程）模拟试卷 17答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.微分方程 y4ye 2 的特解形式为( )（分数：2.00）A.ae 2 bcB.a 2 e 2 bcC.ae 2 b 2 cD.ae 2 bc 解析：解析：y4y0 的特征方程
6、为 2 40，特征值为 1 2， 2 2 y4ye 2 的特解形式为 y 1 ae 2 ， y4y 的特解形式为 y 2 bc，故原方程特解形式为 ae 2 bc，选 D3.设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 y 1 e ，y 2 2e ，y 3 3e - ，则该微分方程为( )（分数：2.00）A.yyyy0 B.yyyy0C.y2yy2y0D.y2yy2y0解析：解析：由 y 1 e ，y 2 2e ，y 3 3e 为三阶常系数齐次线性微分方程的特解可得其特征值为 1 2 1， 3 1，其特征方程为(1) 2 (1)0，即 3 2 10，所求的微分方程为 yyy0，选 A二、填空题(总题数
7、：7，分数：14.00)4.微分方程 yytancos 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y(C)cos）解析：5.设 f()在0，)上非负连续，且 f() 0 f(t)dt2 3 ，则 f() 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析： 0 f(t)dt 0 f(u)(du) 0 (u)du， 令 F() 0 f(u)du，由 f() 0 f(t)dt2 3 ，得 f() 0 f(u)du2 3 ， 即 6.连续函数 f()满足 f()3 0 f(t)dt2，则 f() 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案
8、：2e 3 ）解析：解析：由 0 f(t)dt 7.设 yy()可导，y(0)2，令yy()y()，且y （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2*）解析：8.的通解为 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 得 2y 2 ，则 9.微分方程 yyln(y)10 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln(y)C）解析：解析：令 yu，yy ，代入原方程得 0，分离变量得10.微分方程 y 2 d( 2 y)dy0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：yC*）解析：解析：令
9、u，则 ， 代入原方程得 ，两边积分得 ulnulnlnC0， 解得 yC三、解答题(总题数：21，分数：42.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：12.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 1yy 得 (1)(1y)，分离变量得 (1)d， 两边积分得 ln1y )解析：13.求微分方程 yyln （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：yyln 可写为 ， 令 u ，原方程化为 u ulnu， 变量分离得 )解析：14.求微分方程 y2ye 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 yp，则原方程化为 )解析：
10、15.设 0 时，f()可导，且满足：f()1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f()1 f(t)dt得 f() 1 f(t)dt， 两边对 求导得 f()f()1f()，解得 f() )解析：16.求微分方程(y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(y )ddy0，得 令 u ，则原方程化为 ，积分得 ln(u )lnlnC， 即 C，将初始条件 y(1)0 代入得 C1 由 即满足初始条件的特解为 y )解析：17.求微分方程(y 3 )d2dy0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(y 2 )d2dy0，得 即原方程的通解为 y )解析：18.求微
11、分方程 y 2 d(2yy 2 )dy0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 y 2 d(2yy 2 )dy0 得 令 u ，则 ，解得 u 2 (u3) )解析：19.求微分方程 cosy （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 cosy cossin 2 ysiny 得 cossin 2 ysiny， 令usiny，则 ucos.u 2 ，令 u -1 z，则 zcos， 解得 zcos)e d dCe d e cosdC e (sincosCe Ce (sincos) 则 )解析：20.求微分方程 y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 y 2 y 2 ，
12、得 ， 令 u，得 )解析：21.求微分方程 2 yyy 2 满足初始条件 y(1)1 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 2 yyy 2 得 ， 令 u ，则有 ， 两边积分得 ， 即 C 2 ， 因为 y(1)1，所以 C1，再把 u 代入 C 2 得原方程的特解为 y )解析：22.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 yu，则 1，于是有 ， 变量分离得 )解析：24.设 ye 为微分方程 yP()y 的解，求此微分方程满足初始条件 y(ln2)0 的特解（分数：2.00）_正确答
13、案：(正确答案：把 ye 代入微分方程 yP()y，得 P()e ，原方程化为 y(e 1)y1， 则 将 y(ln2)0 代入 yC e 中得 C ，故特解为 y )解析：25.设 f()e 0 (t)f(t)dt，其中 f()连续，求 f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f()e 0 (t)f(t)dt，得 f()e 0 f(t)dt 0 tf(t)dt， 两边对 求导，得 f()e 0 f(t)dt，两边再对 求导得 f()f()e ， 其通解为 f() C 1 cosC 2 sin e 在 f()e 0 (t)f(t)dt 中，令 0 得 f(0)1，在 f()e 0
14、f(t)dt出中，令 0 得 f(0)1， 于是有 ， 故 f() )解析：26.求微分方程 y3y0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 yp，则 ， 解得 p ，即 y ，则 y )解析：27.设当 0 时，f()满足 1 f(t)dtf()，求 f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 1 f(t)dtf()，两边求导得 f()f()1， 解得 f()Ce 1，而 f(1)1，所以 f()12e 1 )解析：28.求满足初始条件 y2(y) 2 0，y(0)1，y(0)1 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 yp，则 y ，代入方程得 2p 2
15、0，解得 2 C 1 ， 由 y(0)1 得 C 1 1，于是 y )解析：29.求微分方程 yyy 2 满足初始条件 y(0)y(0)1 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 yp，则 y ，代入原方程得 当 p0 时，y1 为原方程的解； 当 P0 时，由 ，解得 pC 1 C 1 y 由 y(0)y(0)1 得 C 1 1， 于是 y0，解得 yC 2 )解析：30.求微分方程 yy6y0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 2 60，特征值为 1 2， 2 3，则原方程的通解为 yC 1 e 2 C 1 e 3 )解析：31.求微分方程 y4y4y0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 2 40，特征值为 1 2 2，则原方程的通解为y(C 1 C 2 )e 2 )解析：
