1、考研数学二（微分方程）历年真题试卷汇编 1及答案解析(总分：46.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.(1999年试题，二)记行列式 （分数：2.00）A.1B.2C.3D.4二、填空题(总题数：5，分数：10.00)3.(2010年试题，14)设 A，B 为三阶矩阵，且A=3，B=2，A -1 +B=2，则A+B -1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_4.(2006年试题，一)设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_5.(2005年试题，一)设 a 1 ，a 2 ，a
2、3 均为三维列向量，记矩阵 A=(a 1 ，a 2 ，a 3 )，B=(a 1 +a 2 +a 3 ，a 1 +2a 2 +4a 3 ，a 1 +3a 2 +9a 3 )如果A=1，那么B= 1（分数：2.00）填空项 1:_6.(2004年试题，一)设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_7.(2003年试题，一)设三阶方阵 A * B满足 A 2 B一 AB=E，其中 E为三阶单位矩阵，若 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：14，分数：32.00)8.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_(2012年试题，三)已知函数 f(x)满足方程 f “ (x)+f “
3、(x)一 2f(x)=0及 f “ (x)+f(x)=2e x（分数：4.00）(1).求 f(x)的表达式；（分数：2.00）_(2).求曲线 （分数：2.00）_9.(2011年试题，三)设函数 y(x)具有二阶导数，且曲线 l：y=y(x)与直线 y=x相切于原点，记 为曲线l在点(x，y)外切线的倾角，若 （分数：2.00）_10.(2009年试题，三(20)设 y=y(x)是区间(一 ，)内过点 （分数：2.00）_11.(2004年试题，三(6)某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下现有一质量为 9000kg的飞机
4、，着陆时的水平速度为700kmh经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 k=6010 6 )问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少?(注：kg 表示千克，kmh 表示千米小时)（分数：2.00）_(2003年试题，九)有一平底容器，其内侧壁是由曲线 x=(y)(y0)绕 y轴旋转而成的旋转曲面(如图161)，容器的底面圆的半径为 2m，根据设计要求，当以 3m 3 min 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以,mn 2 min 的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体) （分数：4.00）(1).根据 t时刻液面的面积，写出 t与 (y)之间的关系式；（
5、分数：2.00）_(2).求曲线 x=(y)的方程(注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分)（分数：2.00）_(2003年试题，八)设位于第一象限的曲线 y=f(x)过点 （分数：4.00）(1).求曲线 y=f(x)的方程；（分数：2.00）_(2).已知曲线)，=sinx 在0，上的弧长为 l，试用 l表示曲线 y=f(x)的弧长 s（分数：2.00）_12.(2001年试题，九)一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积 S成正比，比例常数k0假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为 r 0 的雪堆在开始融化的 3小时内，融化了其体积的 （分数：2.00）_13.
6、(2001年试题，八)设 L是一条平面曲线，其上任意一点 P(x，y)(x0)到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在 y轴上的截距，且 L经过点 （分数：2.00）_14.(2000年试题，七)某湖泊的水量为 V，每年排入湖泊内含污染物 A的污水量为 ，流入湖泊内不含 A的水量为 ，流出湖泊的水量为 已知 1999年底湖中 A的含量为 5m 0 ，超过国家规定指标为了治理污染，从 2000年初起，限定排入湖泊中含 A污水的浓度不超过 （分数：2.00）_15.(1999年试题，九)设函数 y(x)(x0)二阶可导，且 y “ (x)0，y(0)=1通过曲线 y=y(x)上任意一点P(x，y)作
7、该曲线的切线及 x轴的垂线，上述两直线与 x轴所围成的三角形的面积记为 S 1 ，区间0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯：形面积记为 S 2 ，并设 2S 1 一 S 2 恒为 1，求此曲线)，=y(x)的方程（分数：2.00）_16.(1998年试题，十)设 y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为 （分数：2.00）_17.(1998年试题，七)从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度)，(从海平面算起)与下沉速度 v之间的函数关系设仪器在重力的作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用设仪器的质量为 m，体积
8、为 B，海水密度为 p，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为 k(k0)试建立 y与 v所满足的微分方程，并求出函数关系式 y=y(v)（分数：2.00）_18.(1997年试题，五)设曲线 L的极坐标方程为 r=r()，M(r，)为 L上任一点，M 0 (2，0)为 L上一定点若极径 OM 0 ，OM 与曲线 L所围成的曲边扇形面积值等于 L上 M 0 ，M 两点间弧长值的一半，求曲线 L的方程（分数：2.00）_考研数学二（微分方程）历年真题试卷汇编 1答案解析(总分：46.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一
9、个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.(1999年试题，二)记行列式 （分数：2.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解析：由题设，利用行列式的性质，由第 2，3，4 各列减第一列并将第 2列加到第 4列上得则 由此不难求得 x=0和 x=1是 f(x)=0的两个根，所以选 B 评注行列式的基本计算方法一般有三种，第一种：根据行列式的概念进行完全展开，即 n阶行列式二、填空题(总题数：5，分数：10.00)3.(2010年试题，14)设 A，B 为三阶矩阵，且A=3，B=2，A -1 +B=2，则A+B -1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：因为 A
10、(A -1 +B)B -1 =(E+AB)B -1 =A+B -1 ，所以A+B -1 =A -1 +B)B -1 =AA -1 +BB -1 = 又A=3，B=2，A -1 +B=2，故A+B -1 ）解析：4.(2006年试题，一)设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由已知 BA=B+2E有 B(AE)=2E，两边取行列式得BAB=4 因为 ）解析：5.(2005年试题，一)设 a 1 ，a 2 ，a 3 均为三维列向量，记矩阵 A=(a 1 ，a 2 ，a 3 )，B=(a 1 +a 2 +a 3 ，a 1 +2a 2 +4a 3 ，a 1 +3a 2 +9a
11、 3 )如果A=1，那么B= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由题意，我们对矩阵 B分块得 于是有 ）解析：解析：本题作为填空题，可用特殊值法，令 A=E即可很快求出B=2实际上，很显然矩阵B= 1 ， 2 ， 3 的行列向量可由矩阵 A的列向量线性表示，即 1 = 1 + 2 + 2 2 =- 1 +2 2 +4 3 3 = 1 +3 2 +9 3 所以 B= 1 ， 2 ， 3 = 1 ， 2 , 3 6.(2004年试题，一)设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由题设， ，则A=30，从而由公式AA * =A * A=AE 知 A *
12、 =AA -1 =3A -1 ，则A * =3 3 .3 -1 =9，将 ABA * =2BA * +E变形为(A一 2E)BA * =E，则A 一 2EBA * =E，其中 所以 ）解析：解析：本题含有 A的伴随矩阵 A * ，可利用伴随矩阵的性质 A * A=AA * =AE，以后在解题过程中，关于 A * 的问题，通常会用到 A * A=AA * =AE7.(2003年试题，一)设三阶方阵 A * B满足 A 2 B一 AB=E，其中 E为三阶单位矩阵，若 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由题设所给方程 A 2 B一 AB=E，得(A 2 一 e)B=A+E，即(
13、A+E)(AE)B=A+E 又由已知 则 且A 一 E20，于是 B=(A一 E) -1 (A+E) -1 (A+E)=(A一 E) -1 ，因此 ）解析：解析：考查了矩阵的运算和行列式的计算，这类题一般用方程的思想来解决，要先化简再计算三、解答题(总题数：14，分数：32.00)8.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：(2012年试题，三)已知函数 f(x)满足方程 f “ (x)+f “ (x)一 2f(x)=0及 f “ (x)+f(x)=2e x（分数：4.00）(1).求 f(x)的表达式；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：齐次方程 f “ (x)+f “
14、(x)一 f(x)=0的特征方程为 r 2 +r一 2=0，得特征根为 r 1 =1，r 2 =一 2，则有通解 f(x)=C 1 e x +C 2 e -2x ，代入方程 f “ (x)+f(x)=2e x 得 2C 1 e x 一 e2 -2x =2e x ，则 c 1 =1，c 2 =0因此 f(x)=e x )解析：(2).求曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(1)知 f(x)=e x ，则曲线 分别求它的一阶、二阶导数 )解析：9.(2011年试题，三)设函数 y(x)具有二阶导数，且曲线 l：y=y(x)与直线 y=x相切于原点，记 为曲线l在点(x，y)外切线的倾
15、角，若 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 两边对 x得 即(1+y 12 )y “ =y “ ，于是有 令 y “ =p，则 于是有 ，变量分离得 两边积分得 得 ，代入得 解出 面积分得： )解析：10.(2009年试题，三(20)设 y=y(x)是区间(一 ，)内过点 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意，当一 即 ydy=一 xdx,则 y 2 =一 x 2 +C又 代入 y 2 =一x 2 +C中，得 C= 2 ，从而有 y 2 =一 x 2 + 2 又 y=y(x)是区间(一 ,)内过点 的光滑曲线，故 当 0x“+y=0 的通解为 y=C 1 cosx+C 2
16、 sinx设 y “ +y+x=0的特解为 y * =Ax+B，代入方程得(A+1)x+B=0，则 A=一 1，B=0，即特解为 y “ =一 x故可知，微分方程 y “ +y+x=0的通解为 y=C 1 cosx+C 2 sinxx因为 y=y(x)是区间(一 ，)内的光滑曲线，故其在 x=0处连续且可导，且 所以根据 y(0 - )=y(0 + )可得 C 1 =；根据 y - “ =(0)=y + “ (0)可得 C 2 =1综上可知，y(x)的表达式为 )解析：11.(2004年试题，三(6)某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅
17、速减速并停下现有一质量为 9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700kmh经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 k=6010 6 )问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少?(注：kg 表示千克，kmh 表示千米小时)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设，设飞机质量为 m=9000(kg)，着陆时的水平速度为 v o =700(kmh)，并设从着陆点开始时的 t时刻，飞机滑行距离为 x(t)，速度为 v(t)，则 由牛顿第二定律知 关于式(1)，由 即 dx= 积分上式得 ，由初始条件，当 t=0时，x(0)=0，v(0)=v 0 ，知 C 1 =
18、 所以 令 v=0，可解得 即飞机滑行的最长距离为 105km关于式(2)，即 分离变量得 积分上式得 同样由初始台条件 v(0)=v 0 ,可解出 C 2 =v 0 ，所以 从而 )解析：解析：方程(1)实际上是一个二阶常系数微分方程，即 mx “ +kx “ =0，相应特征方程为 ，可解得特征根为 1 =0， 2 = ，则通解为 由初始条件 x(0)=0，v(0)=v 0 ，得 C 3 =一 C 4 = 所以 当 t+时, (2003年试题，九)有一平底容器，其内侧壁是由曲线 x=(y)(y0)绕 y轴旋转而成的旋转曲面(如图161)，容器的底面圆的半径为 2m，根据设计要求，当以 3m
19、3 min 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以,mn 2 min 的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体) （分数：4.00）(1).根据 t时刻液面的面积，写出 t与 (y)之间的关系式；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设，设 t时刻时液面的高度为 y，则此时液面面积 S=(y) 2 ，由已知 =，即得 S=t+S 0 =t+4 因此 t+4=(y) 2 ，从而 2 (y)=4+t(1)此即 t与 (y)之间的关系式；当 t时刻液面高度为 y时，容器内液体体积为 由已知，y=3t，则 将式(1)代入此式得 )解析：(2).求曲线 x=(y)的方程(注：m 表示长度单
20、位米，min 表示时间单位分)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将式(2)两边对)，求导，得 2 (y)=6(y) “ (y)，即 解此方程得(y)= 由已知 (0)=2，则可推知 C=2，所以曲线 x=(y)为 )解析：解析：考查了应用定积分求旋转体的体积和微分方程的求解方法(2003年试题，八)设位于第一象限的曲线 y=f(x)过点 （分数：4.00）(1).求曲线 y=f(x)的方程；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设，曲线 y=f(x)上任一点 P(x，y)处的法线方程为 令 x=0，得出该法线与 y轴的交点 Q的坐标为 又由已知 PQ被 x轴平分，则： 即 2y
21、y “ +x=0，分离变量得2ydy=一 xdx，积分得 ，即 又由已知 y=f(x)过点 ，则 )解析：(2).已知曲线)，=sinx 在0，上的弧长为 l，试用 l表示曲线 y=f(x)的弧长 s（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 y=sinx在0，上弧长为 l，则由弧长公式知 由前述已知，将曲线y=f(x)的方程写为参数方程，则 由此 y=f(x)的弧长为 )解析：解析：因为曲线 y=f(x)位于第一象限，所以在求弧长进行积分时，积分限应从 0到12.(2001年试题，九)一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积 S成正比，比例常数k0假设在融化过程中雪堆始终保持半球
22、体状，已知半径为 r 0 的雪堆在开始融化的 3小时内，融化了其体积的 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：以半径 r为未知函数，雪堆在时刻 t的体积 ，侧面积 s=2r 2 ， 由题设知 化简上式即可得到以 r为未知函数的微分方程 解之得 r=一 kt+C，由初始条件 r t=0 =r 0 ， 可得出 C=r 0 ，所以 r=r 0 一 kt又由已知 从而 可求出= ，因此 r=r 0 一 ，雪堆全部融化时 r=0， 从而 ，得 t=6， 即全部融化需 6小时解析二以雪堆体积 V为未知函数，在时刻 ，侧面积-S=2r 2 ，即 S= ， 由题设， 此即以 V，为未知函数的微分方程，分离
23、变量得 两边积分得 由已知， 当 t=0时， ；当 t=3时， 代入上式分别得到 联立此二式可解出 从而有 )解析：解析：本题为实际问题，可通过建立数学模型转化为数学问题来解决，但要注意速度为失量，把“体积融化的速率与半球面面积 S成正比”理解为13.(2001年试题，八)设 L是一条平面曲线，其上任意一点 P(x，y)(x0)到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在 y轴上的截距，且 L经过点 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设，设曲线 L在点 P(x，y)的切线方程为 Yy=)y “ (X一 x)， 则该切线在y轴上的截距为 yy “ x，而点 P(x，y)(x0)到坐标原点的
24、距离为 ，由已知 ，即有 令 ，则 分离变量得 两边积分后将 代入可得 又由已知曲线 L经过点 代入上式得 因此曲线 L的方程为 曲线 L： 在第一象限内点 P(x，y)处切线为 即 它与 x轴及 y轴交点分别为 因而所围成图形的面积为 令 S “ (x)=0， 得驻点 当 时 S “ (x) S “ (x)0，所以 是 s(x)的极小值点，从而也就是最小值点， 此时切线方程为 化简得 )解析：解析：把实际问题通过建立微分方程的数学模型转化为数学问题，再对微分方程进行求解，这是解决实际问题的一种重要方法14.(2000年试题，七)某湖泊的水量为 V，每年排入湖泊内含污染物 A的污水量为 ，流入
25、湖泊内不含 A的水量为 ，流出湖泊的水量为 已知 1999年底湖中 A的含量为 5m 0 ，超过国家规定指标为了治理污染，从 2000年初起，限定排入湖泊中含 A污水的浓度不超过 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意，设 t=0代表 2000年初，t 的单位为年，在 t时刻湖中污染物 A的总量为 m，则浓度 ，则在时间间隔t，t+dt内，排入湖中的 A的量为 ，而流出湖泊的水中 A的量为 所以此时间间隔内湖中污染物 A的改变量为 此为可分离变量的一阶微分方程，即 积分可得 ，由初始条件 m t=0 =5m 0 可求出 ，从而 )解析：解析：这里采用的是建立数学模型的思想，把实际问
26、题通过建立数学模型转化为数学问题，是解决实际问题的重要方法，应熟练掌握15.(1999年试题，九)设函数 y(x)(x0)二阶可导，且 y “ (x)0，y(0)=1通过曲线 y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及 x轴的垂线，上述两直线与 x轴所围成的三角形的面积记为 S 1 ，区间0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯：形面积记为 S 2 ，并设 2S 1 一 S 2 恒为 1，求此曲线)，=y(x)的方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设，曲线 y=y(x)上点 P(x，y)处的切线方程为 y一 y=y “ (x)(X一 x)，它与x轴的交点为 从而 又由已知，
27、 由条件 2S 1 一 S 2 =1知 将上式两边对 x求导并化简得 yy “ =y “2 令 p=y “ 代入上式，则 ，分离变量得 ，积分解得 p=C 1 y，因此 )解析：解析：本题是一道综合题，涉及切线问题、平面图形的面积公式、含变限积分的函数方程和微分方程问题，该题没有直接给出含变限积分的函数方程，而是由变化区间0，x上的面积用变限积分16.(1998年试题，十)设 y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设，曲线上凸，因而 y “ 化简得 令 p=y “ ，则 p “ =y “ ，代入上式，得 ，此为可分离变
28、量的方程，即 ，两边积分得 arctap=C 1 一 x又由已知曲线上点(0，1)处的切线方程为 y=x+1，则曲线过点(0，1)，且该点处 y x=0 =1，即 p x=0 =1，代入上式，得 ，所以 ，积分得 将点(0，1)代入上式，得 综上得所求曲线为 又由 所以 因为 lnx是严格递增的，且 g(x)= 在 取极大值 且 且 因而 y=y(x)无极小值，当 时取得最大值 )解析：解析：主要考查曲率计算公式17.(1998年试题，七)从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度)，(从海平面算起)与下沉速度 v之间的函数关系设仪器在重力的作用下，从海平面由静止开始铅直下
29、沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用设仪器的质量为 m，体积为 B，海水密度为 p，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为 k(k0)试建立 y与 v所满足的微分方程，并求出函数关系式 y=y(v)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设，建立坐标系，取沉放点为坐标原点 O，Oy 轴竖直向下为正，由已知仪器重力为 mg，浮力为一 B，阻力为 ，根据牛顿第二定律， (1)令 代入式(1)，得 此为可分离变量的微分方程，分离变量得 两边积分得 由初始条件 y y=0 =0，可求出 所以 )解析：解析：该题思路比较简单，主要考查考生的计算能力18.(1997年试题，五)设曲线 L的极坐标方程为 r=r()，M(r，)为 L上任一点，M 0 (2，0)为 L上一定点若极径 OM 0 ，OM 与曲线 L所围成的曲边扇形面积值等于 L上 M 0 ，M 两点间弧长值的一半，求曲线 L的方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意，由面积与弧长的计算公式得 将上式两边对 求导，得 ，即 ，此为可分离变量方程，从而 此式两边积分，得 即 由已知 r(0)=2，代入上式得，故曲线 L的方程为 ，由于 rcos=x，rsin0=y，于是所求直线为 )解析：解析：为查在极坐标下求面积和弧长的公式，及含有变限积分的函数方程问题转化为微分方程问题的方法，其中，面积公式 弧长公式：
