1、考研数学二（线性代数）-试卷 23 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2. （分数：2.00）A.2B.一 2C.3D.一 33.设 （分数：2.00）A.c 一 2 mB.mC.cmD.c 3 m4.一个值不为零的 n 阶行列式，经过若干次矩阵的初等变换后，该行列式的值 ( )（分数：2.00）A.保持不变B.保持不为零C.保持相同的正、负号D.可以变为任何值5.设 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 都是四维列向量，KISt 阶行列式 1 ， 2
2、， 3 ， 1 =m， 1 ， 2 ， 2 ， 3 =n，则四阶行列式 3 ， 2 ， 1 ， 1 + 2 等于 ( )（分数：2.00）A.m+nB.一(m+n)C.n 一 mD.m 一 n6.线性方程组 （分数：2.00）A.若方程组无解，则必有系数行列式A=0B.若方程组有解，则必有系数行列式A0C.系数行列式A=0，则方程组必无解D.系数行列式A0 是方程组有唯一解的充分非必要条件7.线性方程组 （分数：2.00）A.当 a，b，c 为任意实数时，方程组均有解B.当 a=0 时，方程组无解C.当 b=0 时，方程组无解D.当 c=0 时，方程组无解8.设 A，B 是 n 阶矩阵，则下列
3、结论正确的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.设 A 是 nn 矩阵，X 是任意的 n 维列向量，B 是任意的 n 阶方阵，则下列说法错误的是 ( )（分数：2.00）A.AB=OA=OB.B T AB=OA=OC.AX=0A=OD.X T AX=0A=O10.设 n 维行向量 = （分数：2.00）A.OB.一 EC.ED.E+ T 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)11.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_12.A= （分数：2.00）填空项 1:_13.设 a，b，a+b 均非 0，行列式 （分数：2.00）填空项 1:_14.已知 A，B 为 3 阶相似矩阵，
4、 1 =1， 2 =2 为 A 的两个特征值，行列式B=2，则行列式 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 n 阶矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_16.设 A= 1 ， 2 ， 3 是 3 阶矩阵，A=4，若 B= 1 一 3 2 +2 3 ， 2 一 2 3 ，2 2 + 3 ， 则B= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：32.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_18.计算行列式 （分数：2.00）_19.计算行列式 （分数：2.00）_20.计算 D n = （分数：2.00）_21.已知 n(n3)
5、阶实矩阵 A=(a ij ) nn 满足条件：(1)a ij =A ij (i，j=1，2，n)，其中 A ij 是 a ij 的代数余子式；(2)a 11 0求A（分数：2.00）_22.A是 n 阶行列式，其中有一行(或一列)元素全是 1，证明：这个行列式的全部代数余子式的和等于该行列式的值（分数：2.00）_23.计算 D 5 = （分数：2.00）_24.计算行列式 （分数：2.00）_25.设 f(x)= （分数：2.00）_26.计算 D n = （分数：2.00）_27.设 A 为 1010 矩阵， （分数：2.00）_28.A 为 n(n3)阶非零实矩阵，A ij 为 A 中元
6、素 a ij 的代数余子式，试证明： (1)a ij =A ij A T A=E 且A=1； (2)a ij =一 A ij A T A=E 且A=一 1（分数：2.00）_29.设 3 阶矩阵 A 满足AE=A+E=A+2E=0，试计算A * +3E（分数：2.00）_30.设 A 是 n 阶矩阵，满足 AA T =E(E 是 n 阶单位矩阵，A T 是 A 的转置矩阵)，A0，求A+E（分数：2.00）_31.设 a 1 ，a 2 ，a n 是互不相同的实数，且 （分数：2.00）_32.设 B=2A 一 E，证明：B 2 =E 的充分必要条件是 A 2 =A（分数：2.00）_考研数学二
7、（线性代数）-试卷 23 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2. （分数：2.00）A.2B.一 2 C.3D.一 3解析：解析：按第 1 行展开： 其中第 1，3，4 项都没有 x 3 的因子，所以只分析第 2 项 又因为第 2 项一(一 x) 的行列式中只有主对角线上元素的乘积是 x 2 项，所以行列式展开式含 x 3 项的系数是一 2 由行列式展开定理，只有 a 12 A 12 这一项有可能得到 x 3 项，又 a 12 A 12 =一(一
8、x) 3.设 （分数：2.00）A.c 一 2 mB.m C.cmD.c 3 m解析：解析：由4.一个值不为零的 n 阶行列式，经过若干次矩阵的初等变换后，该行列式的值 ( )（分数：2.00）A.保持不变B.保持不为零 C.保持相同的正、负号D.可以变为任何值解析：解析：三类初等变换，都保持行列式不为零5.设 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 都是四维列向量，KISt 阶行列式 1 ， 2 ， 3 ， 1 =m， 1 ， 2 ， 2 ， 3 =n，则四阶行列式 3 ， 2 ， 1 ， 1 + 2 等于 ( )（分数：2.00）A.m+nB.一(m+n)C.n 一 m D.m 一 n解析：解
9、析：因 3 ， 2 ， 1 ， 1 + 2 = 3 ， 2 ， 1 ， 1 + 3 ， 2 ， 1 ， 2 =一 1 ， 2 ， 3 ， 1 1 ， 2 ， 3 ， 2 =一 1 ， 2 ， 3 ， 1 + 1 ， 2 ， 2 ， 3 =n 一 m 应选(C)6.线性方程组 （分数：2.00）A.若方程组无解，则必有系数行列式A=0 B.若方程组有解，则必有系数行列式A0C.系数行列式A=0，则方程组必无解D.系数行列式A0 是方程组有唯一解的充分非必要条件解析：解析：方程组无解，则有A=0(反证，若A=0，用克拉默法则，方程组必有解)；(B)方程组有解，A可能为零，也可能不为零；(C)A=0
10、，方程组也可能有解；(D)A0，则方程组解唯一，反过来，若方程组有唯一解，则A一定不为零7.线性方程组 （分数：2.00）A.当 a，b，c 为任意实数时，方程组均有解 B.当 a=0 时，方程组无解C.当 b=0 时，方程组无解D.当 c=0 时，方程组无解解析：解析：因 a=0 或 b=0 或 c=0 时，方程组均有解，且系数行列式8.设 A，B 是 n 阶矩阵，则下列结论正确的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：因AB=AB=0A=0 或B=0，(C)正确；9.设 A 是 nn 矩阵，X 是任意的 n 维列向量，B 是任意的 n 阶方阵，则下列说法错误的是 ( )
11、（分数：2.00）A.AB=OA=OB.B T AB=OA=OC.AX=0A=OD.X T AX=0A=O 解析：解析：对任意的 X，有 X T AX=0，可推出 A T =一 A,不能推出 A=O例 ，对任意的x 1 ，x 2 T ，均有 10.设 n 维行向量 = （分数：2.00）A.OB.一 EC.E D.E+ T 解析：解析：AB=(E 一 T )(E+2 T )=E+ T 一 2 T T =E+ T 一 2 T ( T )， 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)11.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(x 2 一 y 2 )(b 2 一 c 2
12、)）解析：解析：12.A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：A=13.设 a，b，a+b 均非 0，行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2(a 2 +b 2 )）解析：解析：将第 2，3 行加到第 1 行上去，提出公因子 2(a+b)后，再将第 1 列的一 1 倍加到第 2，3 列，得到 14.已知 A，B 为 3 阶相似矩阵， 1 =1， 2 =2 为 A 的两个特征值，行列式B=2，则行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设 为 A 的另一特征值，则由 AB 知，A=B=2，且
13、 1 2 3 =A=2，可见 3 =1，从而 A，B 有相同的特征值 1 =1， 2 =2， 3 =1于是有 A+E=( 1 +1)( 2 +1)( 3 +1)=12， (2B) 2 =2 2 B * =4 3 B * =4 3 B 2 =256， 故 15.设 n 阶矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(一 1) n 一 1 (n 一 1)）解析：解析：16.设 A= 1 ， 2 ， 3 是 3 阶矩阵，A=4，若 B= 1 一 3 2 +2 3 ， 2 一 2 3 ，2 2 + 3 ， 则B= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：20）
14、解析：解析：利用行列式的性质 B= 1 3 2 +2 3 ， 2 2 3 ，5 3 =5 1 一 3 2 +2 3 ， 2 一 2 3 ， 3 =5 1 3 2 ， 2 ， 3 =5 1 ， 2 ， 3 =20三、解答题(总题数：16，分数：32.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.计算行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：按第一列展开，得 )解析：19.计算行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.计算 D n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把 D n 按第一行展开，得 D n =(+)
15、D n 一 1 一 =(+)D n 一 1 一D n 一 2 把递推公式改写成 D n 一 D n 一 1 =(D n 一 1 一 D n 一 2 )， 继续用递推关系递推，得 D n 一 D n 一 1 =(D n 一 1 一 D n 一 2 )= 2 (D n 一 2 一 D n 一 3 )= n 一 2 (D 2 一D 1 )， 而 D 2 =(+) 2 一 ，D 1 =+， D n 一 D n 一 1 = n 一 2 (D 2 一 D 1 )= n ， 式递推得 D n =D n 一 1 + n =(D n 一 2 + n 一 1 )+ n = n + n 一 1 + n 一 2 2
16、+ n 一 1 + n 除了将式变形得式外，还可将式改写成 D n 一 D n 一 1 =(D n 一 1 一D n 一 2 ) 由式递推可得 D n 一 D n 一 1 = n ， 一 得 ()D n = n+1 + n+1 ， 一 0 时，有 D n = )解析：21.已知 n(n3)阶实矩阵 A=(a ij ) nn 满足条件：(1)a ij =A ij (i，j=1，2，n)，其中 A ij 是 a ij 的代数余子式；(2)a 11 0求A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知 a ij =A ij ，所以 A * =A T ，且 AA * 一 AA T =AE 两边取行列
17、式得 AA T =A 2 =AE=A n 从而 A=1 或A=0 由于 a0，可知 A=a 11 A 11 +a 12 A 12 +a 1n A 1n =a 11 2 +a 12 2 +a 1n 2 0 于是A=1)解析：22.A是 n 阶行列式，其中有一行(或一列)元素全是 1，证明：这个行列式的全部代数余子式的和等于该行列式的值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不失一般性，设 )解析：23.计算 D 5 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：按第一行展开 D 5 (1 一 x)D 4 一 x =(1 一 x)D 4 +xD 3 ， 得到递推公式 D 5 一 D 4 =一 x
18、(D 4 一 D 3 )=一 x 3 (D 2 一 D 1 ) )解析：24.计算行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)显然在0，1上连续，在(0，1)上可导而 可知 f(x)在0，1上满足罗尔定理的条件，故 )解析：26.计算 D n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把第 1 行的(一 x)倍分别加到第 2，3，n 行，得 当 x0 时，再把第 j列的 倍加到第 1 列(j=2，n)，就把 D n 化成了上三角行列式 )解析：27.设 A 为 1010 矩阵， （分数：2.00）_正确
19、答案：(正确答案：A 一 E )解析：28.A 为 n(n3)阶非零实矩阵，A ij 为 A 中元素 a ij 的代数余子式，试证明： (1)a ij =A ij A T A=E 且A=1； (2)a ij =一 A ij A T A=E 且A=一 1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)当 a ij =A ij 时，有 A T =A * ，则 A T A=AA * =AE。由于 A 为行阶非零实矩阵，即不全为 0，所以 tr(AA T )= a ij 0而 tr(AA T )=tr(AE)=nA，这说明A0。在 AA T =AE 两边取行列式，得A n 一 2 =1，A=1 反之，
20、若 A T A=E且A=1，则 A * A=AE=E 且 A 可逆，于是 A T A=A * A，A T =A * ，即 a ij =A ij (2)当 a ij =一 A ij 时，有 A T =一 A * ，则 A T A=一 A * A=一AE由于 A 为 n 阶非零实矩阵，即 a ij 不全为0，所以A= )解析：29.设 3 阶矩阵 A 满足AE=A+E=A+2E=0，试计算A * +3E（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由AE=A+E=A+2E=0 可知 =1，一 1，一 2 均满足特征方程A 一E=0， 又由于 A 为 3 阶矩阵，可知 1，一 1，一 2 为 A 的 3
21、 个特征值可知A=2，因此 A * +3E=AA 一 1 +3E=2A 一 1 +3E 有特征值 21 一 1 +3=5， 2(一 1) 一 1 +3=1， 2(一 2) 一 1 +3=2， 故A * +3E=512=10)解析：30.设 A 是 n 阶矩阵，满足 AA T =E(E 是 n 阶单位矩阵，A T 是 A 的转置矩阵)，A0，求A+E（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A+E=A+AA T =A(E+A T ) =A(A+E) T =AA+E (1 一A)A+E=0 )解析：31.设 a 1 ，a 2 ，a n 是互不相同的实数，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 1 ， 2 ， n 互不相同，故由范德蒙德行列式知，A0，根据克拉默法则，方程组 AX=b 有唯一解，且 x i = )解析：32.设 B=2A 一 E，证明：B 2 =E 的充分必要条件是 A 2 =A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：B=一 2A 一 E，B 2 =(2AE)(2AE)=4A 2 一 4A+E 4A 2 4A+E=一 E4A 2 一 4A=OA 2 =A)解析：
