1、2014 年湖南省长沙市中考真题数学 一、选择题 (共 10 小题，每小题 3 分，共 30分 ) 1.(3 分 ) 的倒数是 ( ) A.2 B.-2 C. D.- 解析 ： 的倒数是 2， 答案： A. 2.(3 分 )下列几何体中，主视图、左视图、俯视图完全相同的是 ( ) A. 圆锥 B. 六棱柱 C. 球 D. 四棱锥 解析 ： A、圆锥的主视图、左视图、俯视图分别为等腰三角形，等腰三角形，圆及圆心，故A 选项不符合题意； B、六棱柱的主视图、左视图、俯视图分别为四边形，四边形，六边形，故 B 选项不符合题意； C、球的主视图、左视图、俯视图分别为三个全等的圆，故 C 选项符合题意；
2、 D、四棱锥的主视图、左视图、俯视图分别为三角形，三角形，四边形，故 D 选项不符合题意； 答案： C. 3.(3 分 )一组数据 3， 3， 4， 2， 8 的中位数和平均数分别是 ( ) A. 3 和 3 B. 3 和 4 C. 4 和 3 D. 4 和 4 解析 ： 将数据从小到大排列为 ： 2， 3， 3， 4， 8，则中位数是 3，平均数 = =4. 答案： B. 4.(3 分 )平行四边形的对角线一定具有的性质是 ( ) A.相等 B.互相平分 C.互相垂直 D.互相垂直且相等 解析 ： 平行四边形的对角线互相平分， 答案： B. 5.(3 分 )下列计算正确的是 ( ) A. +
3、 = B. (ab2)2=ab4 C. 2a+3a=6a D. a a3=a4 解析 ： A、被开方数不能相加，故 A 错误； B、积的乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，故 B 错误； C、系数相加字母部分不变，故 C 错误； D、底数不变指数相加，故 D 正确； 答案： D. 6.(3 分 )如图， C、 D 是线段 AB 上的两点，且 D 是线段 AC 的中点，若 AB=10cm， BC=4cm，则AD 的长为 ( ) A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 6cm 解析 ： AB=10cm ， BC=4cm， AC=AB -BC=6cm， 又点 D 是 AC 的中点，
4、AD= AC=3m， 答案： B. 7.(3 分 )一个关于 x 的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是 ( ) A. x 1 B. x1 C. x 3 D. x3 解析 ： 一个关于 x 的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是x 3. 答案： C. 8.(3 分 )如图，已知菱形 ABCD 的边长为 2， DAB=60 ，则对角线 BD 的长是 ( ) A. 1 B. C. 2 D. 2 解析 ： 菱形 ABCD 的边长为 2， AD=AB=2 ， 又 DAB=60 ， DAB 是等边三角形， AD=BD=AB=2 ，则对角线 BD 的长是
5、 2. 答案： C. 9.(3 分 )下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转 120 后，能与原图形完全重合的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： A、最小旋转角度 = =120 ； B、最小旋转角度 = =90 ； C、最小旋转角度 = =180 ； D、最小旋转角度 = =72 ； 综上可得：顺时针旋转 120 后，能与原图形完全重合的是 A. 答案： A. 10.(3 分 )函数 y= 与 y=ax2(a0 )在同一平面直角坐标系中的图象可能是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： a 0 时， y= 的函数图象位于第一三象限， y=ax2的函数图象
6、位于第一二象限且经过原点， a 0 时， y= 的函数图象位于第二四象限， y=ax2的函数图象位于第三四象限且经过原点，纵观各选项，只有 D 选项图形符合 . 答案： D. 二、填空题 (共 8 小题，每小题 3 分，共 24分 ) 11.(3 分 )如图，直线 ab ，直线 c 分别与 a， b 相交，若 1=70 ，则 2= 度 . 解析 ： 1=70 ， 3=1=70 ， ab ， 2+3=180 ， 2=180 -70=110 . 答案： 110. 12.(3 分 )抛物线 y=3(x-2)2+5 的顶点坐标是 . 解析 ： 抛物线 y=3(x-2)2+5， 顶点坐标为： (2， 5
7、). 答案： (2， 5). 13.(3 分 )如图， A、 B、 C 是 O 上的三点， AOB=100 ，则 ACB= 度 . 解析 ： ACB= AOB= 100=50 . 答案： 50. 14.(3 分 )已知关于 x 的一元二次方程 2x2-3kx+4=0 的一个根是 1，则 k= . 解析 ： 依题意，得 21 2-3k1+4=0 ，即 2-3k+4=0，解得， k=2. 答案： 2. 15.(3 分 )100 件外观相同的产品中有 5 件不合格，现从中任意抽取 1 件进行检测，抽到不合格产品的概率是 . 解析 ： 100 件外观相同的产品中有 5 件不合格， 从中任意抽取 1 件
8、进行检测，抽到不合格产品的概率是： = . 答案： . 16.(3 分 )如图，在 ABC 中， DEBC ， = ， ADE 的面积是 8，则 ABC 的面积为 18 . 解析 ： 在 ABC 中， DEBC ， ADEABC . = ， =( )2= ， ， S ABC =18， 答案： 18. 17.(3 分 )如图，点 B、 E、 C、 F 在一条直线上， ABDE ， AB=DE， BE=CF， AC=6，则 DF= . 解析 ： ABDE ， B=DEF BE=CF ， BC=EF ， 在 ABC 和 DEF 中， ， ABCDEF (SAS)， AC=DF=6 . 答案： 6.
9、18.(3 分 )如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(2， 3)，点 B(-2， 1)，在 x 轴上存在点 P到 A， B 两点的距离之和最小，则 P 点的坐标是 . 解析 ： 作 A 关于 x 轴的对称点 C，连接 BC 交 x 轴于 P，则此时 AP+BP最小， A 点的坐标为 (2， 3)， B 点的坐标为 (-2， 1)， C (2， -3)， 设直线 BC 的解析式是： y=kx+b， 把 B、 C 的坐标代入得： ， 解得 .即直线 BC 的解析式是 y=-x-1， 当 y=0 时， -x-1=0，解得： x=-1， P 点的坐标是 (-1， 0). 答案： (-1， 0). 三
10、、解答题 (共 2 小题，每小题 6 分，共 12分 ) 19.(6 分 )计算： (-1)2014+ -( )-1+ sin45 . 解析 ： 本题涉及零指数幂、乘方、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点 .针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果 . 答案 ：原式 =1+2-3+1=1. 20.(6 分 )先简化，再求值： (1+ ) ，其中 x=3. 解析 ： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将 x 的值代入计算即可求出值 . 答案 ：原式 = = = ， 当 x=3 时，原式 = = . 四、解答题 (共
11、 2 小题，每小题 8 分，共 16分 ) 21.(8 分 )某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了 50 名同学进行 “ 舌尖上的长沙 -我最喜爱的长沙小吃 ” 调查活动，将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图： 请根据所给信息解答以下问题： (1)请补全条形统计图； (2)若全校有 2000 名同学，请估计全校同学中最喜爱 “ 臭豆腐 ” 的同学有多少人？ (3)在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为四种小吃的序号 A、 B、C、 D，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，请用列表或画树形图的方法，求出恰好两次都摸到 “A” 的概率 . 解析 ： (
12、1)总人数以及条形统计图求出喜欢 “ 唆螺 ” 的人数，补全条形统计图即可； (2)求 出喜欢 “ 臭豆腐 ” 的百分比，乘以 2000 即可得到结果； (3)列表得出所有等可能的情况数，找出恰好两次都摸到 “A” 的情况数，即可求出所求的概率 . 答案 ： (1)根据题意得：喜欢 “ 唆螺 ” 人数为： 50-(14+21+5)=10(人 )，补全统计图，如图所示： (2)根据题意得： 2000 100%=560 (人 )，则估计全校同学中最喜爱 “ 臭豆腐 ” 的同学有560 人； (3)列表如下： 所有等可能的情况有 16 种，其中恰好两次都摸到 “A” 的情况有 1 种，则 P= .
13、22.(8 分 )如图，四边形 ABCD 是矩形，把矩形沿对角线 AC 折叠，点 B 落在点 E 处， CE 与 AD相交于点 O. (1)求证： AOECOD ； (2)若 OCD=30 ， AB= ，求 AOC 的面积 . 解析 ： (1)根据矩形的对边相等可得 AB=CD， B=D=90 ，再根据翻折的性质可得 AB=AE，B=E ，然后求出 AE=CD， D=E ，再利用 “ 角角边 ” 证明即可； (2)根据全等三角形对应边相等可得 AO=CO，解直角三角形求出 CO，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解 . 答案： (1) 四边形 ABCD 是矩形， AB=CD ， B=D=9
14、0 ， 矩形 ABCD 沿对角线 AC 折叠点 B 落在点 E处， AB=AE ， B=E ， AE=CD ， D=E ， 在 AOE 和 COD 中， ， AOECOD (AAS)； (2)AOECOD ， AO=CO ， OCD=30 ， AB= ， CO=CDcos30= =2， AOC 的面积 = AO CD= 2 = . 五、解答题 (共 2 小题，每小题 9 分，共 18分 ) 23.(9 分 )为建设 “ 秀美幸福之市 ” ，长沙市绿化提质改造工程正如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共 400 棵对芙蓉路的某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵 200 元，乙种树苗
15、每棵 300 元 . (1)若购买两种树苗的总金额为 90000 元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？ (2)若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？ 解析 ： (1)设购买甲种树苗 x 棵，则购买乙种树苗 (400-x)棵，根据购买两种树苗的总金额为90000 元建立方程求出其解即可； (2)设至少应购买甲种树苗 a 棵，则购买乙 种树苗 (400-a)棵，根据购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额建立不等式求出其解即可 . 答案 ： (1)设购买甲种树苗 x 棵，则购买乙种树苗 (400-x)棵，由题意，得 200x+300(400-x)=90000，解
16、得： x=300， 购买乙种树苗 400-300=100 棵， 答：购买甲种树苗 300 棵，则购买乙种树苗 100 棵； (2)设至少应购买甲种树苗 a棵，则购买乙种树苗 (400-a)棵，由题意，得 200a300 (400-a)， 解得： a240 . 答：至少应购买甲种树苗 240 棵 . 24.(9 分 )如图，以 ABC 的一边 AB 为直径作 O ， O 与 BC 边的交点恰好为 BC 的中点 D，过点 D 作 O 的切线交 AC 于点 E. (1)求证： DEAC ； (2)若 AB=3DE，求 tanACB 的值 . 解析 ： (1)连接 OD，可以证得 DEOD ，然后证明
17、 ODAC 即可证明 DEAC ； (2)利用 DAECDE ，求出 DE 与 CE 的比值即可 . 答案： (1)连接 OD， D 是 BC 的中点， OA=OB， OD 是 ABC 的中位线， ODAC ， DE 是 O 的切线， ODDE ， DEAC ； (2)连接 AD， AB 是 O 的直径， ADB=90 ， DEAC ， ADC=DEC=AED=90 ， ADE=DCE 在 ADE 和 CDE 中， ， CDEDAE ， ， 设 tanACB=x ， CE=a，则 DE=ax， AC=3ax， AE=3ax-a， ，整理得： x2-3x+1=0，解得： x= ， tanACB=
18、 . 六、解答题 (共 2 小题，每小题 10 分，共 20分 ) 25.(10 分 )在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为 “ 梦之点 ” ，例如点 (-1， -1)， (0， 0)， ( ， )， 都是 “ 梦之点 ” ，显然，这样的 “ 梦之点 ” 有无数个 . (1)若点 P(2， m)是反比例函数 y= (n 为常数， n0 )的图象上的 “ 梦之点 ” ，求这个反比例函数的解析式； (2)函数 y=3kx+s-1(k， s 是常数 )的图象上存在 “ 梦之点 ” 吗？若存在，请求出 “ 梦之点 ”的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若二次函数 y=ax2+bx
19、+1(a， b 是常数， a 0)的图象上存在两个不同的 “ 梦之点 ”A (x1，x1)， B(x2， x2)，且满足 -2 x1 2， |x1-x2|=2，令 t=b2-2b+ ，试求出 t的取值范围 . 解析 ： (1)先由 “ 梦之点 ” 的定义得出 m=2，再将点 P 坐标代入 y= ，运用待定系数法即可求出反比例函数的解析式； (2)假设函数 y=3kx+s-1(k， s 是常数 )的图象上存在 “ 梦之点 ” (x， x)，则有 x=3kx+s-1，整理得 (3k-1)x=1-s，再分三种情况进行讨论即可； (3)先将 A(x1， x1)， B(x2， x2)代入 y=ax2+b
20、x+1，得到 ax12+(b-1)x1+1=0， ax22+(b-1)x2+1=0，根据方程的解的定义可知 x1， x2是一元二次方程 ax2+(b-1)x+1=0 的两个根，由根与系数的关系可得 x1+x2= ， x1 x2= ，则 (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1 x2= =4，整理得出 b2-2b=(2a+1)2-2，则 t=b2-2b+ =(2a+1)2+ .再由 -2 x1 2， |x1-x2|=2，得出 -4 x2 4， -8 x1 x2 8，即 -8 8，又 a 0，解不等式组得出 a ，进而求出 t 的取值范围 . 答案 ： (1) 点 P(2， m)是 “ 梦之点
21、” ， m=2 ， 点 P(2， 2)在反比例函数 y= (n 为常数， n0 )的图象上， n=22=4 ， 反比例函数的解析式为 y= . (2)假设函数 y=3kx+s-1(k， s 是常数 )的图象上存在 “ 梦之点 ” (x， x)，则有 x=3kx+s-1， 整理，得 (3k-1)x=1-s， 当 3k-10 ，即 k 时，解得 x= ； 当 3k-1=0， 1-s=0，即 k= ， s=1 时， x 有无穷多解； 当 3k-1=0， 1-s0 ，即 k= ， s1 时， x 无解； 综上所述，当 k 时， “ 梦之点 ” 的坐标为 ( ， )；当 k= ， s=1 时， “ 梦之
22、点 ” 有无数个；当 k= ， s1 时，不存在 “ 梦之点 ” ； (3) 二次函数 y=ax2+bx+1(a， b 是常数， a 0)的图象上存在两个不同的 “ 梦之点 ”A (x1，x1)， B(x2， x2)， x 1=ax12+bx1+1， x2=ax22+bx2+1， ax 12+(b-1)x1+1=0， ax22+(b-1)x2+1=0， x 1， x2是一元二次方程 ax2+(b-1)x+1=0 的两个不等实根， x 1+x2= ， x1 x2= ， (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1 x2=( )2-4 = =4， b 2-2b=4a2+4a-1=(2a+1)2-2，
23、 t=b 2-2b+ =(2a+1)2-2+ =(2a+1)2+ . -2 x1 2， |x1-x2|=2， -4 x2 0 或 0 x2 4， -4 x2 4， -8 x1 x2 8， -8 8， a 0， a (2a+1)2+ + = ， t . 26.(10 分 )如图，抛物线 y=ax2+bx+c(a， b， c 是常数， a0 )的对称轴为 y 轴，且经过 (0，0)和 ( ， )两点，点 P 在该抛物线上运动，以点 P 为圆心的 P 总经过定点 A(0， 2). (1)求 a， b， c 的值； (2)求证：在点 P 运动的过程中， P 始终与 x 轴相交； (3)设 P 与 x
24、轴相交于 M(x1， 0)， N(x2， 0)(x1 x2)两点，当 AMN 为等腰三角形时，求圆心 P 的纵坐标 . 解析 ： (1)根据题意得出二次函数一般形式进而将已知点代入求出 a， b， c 的值即可； (2)设 P(x， y)，表示出 P 的半径 r，进而与 x2比较得出答案即可； (3)分别表示出 AM， AN 的长，进而分别利用当 AM=AN 时，当 AM=MN 时，当 AN=MN 时，求出 a的值，进而得出圆心 P 的纵坐标即可 . 答案 ： (1) 抛物线 y=ax2+bx+c(a， b， c 是常数， a0 )的对称轴为 y 轴，且经过 (0， 0)和( ， )两点， 抛
25、物线的一般式为： y=ax2， =a( )2，解得： a= ， 图象开口向上， a= ， 抛物线解析式为： y= x2，故 a= ， b=c=0； (2)设 P(x， y)， P 的半径 r= ， 又 y= x2，则 r= ，化简得： r= x2， 点 P 在运动过程中， P 始终与 x 轴相交； (3)设 P(a， a2)， PA= ，作 PHMN 于 H，则 PM=PN= ， 又 PH= a2，则 MH=NH= =2，故 MN=4， M (a-2， 0)， N(a+2， 0)， 又 A (0， 2)， AM= ， AN= ， 当 AM=AN 时， = ，解得： a=0， 当 AM=MN 时， =4，解得： a=22 ，则 a2=42 ； 当 AN=MN 时， =4，解得： a=-22 ，则 a2=42 ； 综上所述， P 的纵坐标为 0 或 4+2 或 4-2 .
